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一次函数
一次函数
一、解答题(本大题共41小题,共328.0分)
1.
如图,在平面直角坐标系中,直线l:
y=x-1与x轴交于点A,如图所示依次作正方形A1B1C1O,正方形A2B2C2C1,…,正方形AnBnCnCn-1,使得点A1、A2、A3…An在直线l上,点C1、C2、C3…Cn在y轴正半轴上,请解决下列问题:
(1)点A6的坐标是______;点B6的坐标是______;
(2)点An的坐标是______;正方形AnBnCnCn-1的面积是______.
2.快、慢两车分别从相距480km路程的甲、乙两地同时出发,匀速行驶,先相向而行,途中慢车因故停留1h,然后以原速继续向甲地行驶,到达甲地后停止行驶;快车到达乙地后,立即按原路原速返回甲地(快车掉头的时间忽略不计),快、慢两车距乙地的路ykm与所用时间xh之间的函数图象如图,请结合图象信息解答下列问题:
(1)直接写出慢车的行驶速度和a的值;
(2)求快车的速度和B点坐标;
(3)快车与慢车第一次相遇时,距离甲地的路程是多少千米?
3.
一列快车和一列慢车同时从甲地出发,分别以速度v1、v2(单位:
km/h,且v1>2v2)匀速驶向乙地.快车到达乙地后停留了2h,沿原路仍以速度v1匀速返回甲地.设慢车行驶的时间为x(h),两车之间的距离为y(km),图中的折线表示从慢车出发至慢车到达乙地的过程中,y与x之间的函数关系.根据图象进行以下探究:
(1)甲、乙两地之间的距离为______km;
(2)求线段AB、CD所表示的y与x之间的函数表达式;
(3)慢车出发多长时间后,两车相距480km?
4.我区注重城市绿化提高市民生活质量,新建林荫公园计划购买甲、乙两种树苗共800株,甲种树苗每株12元,乙种树苗每株15元.相关资料表明:
甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%.
(1)若购买这两种树苗共用去10500元,则甲、乙两种树苗各购买多少株?
(2)若要使这批树苗的总成活率不低于88%,则甲种树苗至多购买多少株?
(3)在
(2)的条件下,应如何选购树苗,使购买树苗的费用最低?
并求出最低费用.
5.已知购买1盆甲种花卉和3盆乙种花卉共需125元,购买3盆甲种花卉和2盆乙种花卉共需165元.
(1)求购买1盆甲种花卉和购买1盆乙种花卉各需多少元?
(2)某校为绿化校园决定购买甲乙两种花卉共60盆,要求购买的甲种花卉盆数不少于乙种花卉的
,请帮该校设计一种最省钱的购买方案,并计算此时购买这两种花卉所需的费用.
6.
已知A,B两地公路长300km,甲、乙两车同时从A地出发沿同一公路驶往B地,2小时后,甲车接到电话需返回这条公路上与A地相距105km的C处取回货物,于是甲车立即原路返回C地,取了货物又立即赶往B地(取货物的时间忽略不计),结果两下车同时到达B地,两车的速度始终保持不变,设两车山发x小时后,甲、乙两车距离A地的路程分别为y1(km)和y2(km).它们的函数图象分别是折线OPQR和线段OR.
(1)求乙车从A地到B地所用的时间;
(2)求图中线段PQ的解析式(不要求写自变量的取值范围);
(3)在甲车返回到C地取货的过程中,当x=,两车相距25千米的路程.
7.
如图,直线y=-
x+
与x轴,y轴分别交于B,C两点,抛物线y=x2+bx+c过点B,C.
(1)求b、c的值;
(2)若点D是抛物线在x轴下方图象上的动点,过点D作x轴的垂线,与直线BC相交于点E.当线段DE的长度最大时,求点D的坐标.
8.某公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的机械设备,现要将这些设备全部运往A、B两市,其中运往A市18台、运往B市14台,从甲地运往A、B两市的费用分别为800元/台和500元/台,从乙地运往A、B两市的费用分别为700元/台和600元/台.设甲地运往A市的设备有x台.
(1)请用x的代数式分别表示甲地运往B市、乙地运往A市、乙地运往B市的设备台数;
(2)求出总运费y(元)与x(台) 的函数关系式,并求出自变量的取值范围;
(3)要使总运费不高于20200元,请你帮助该公司设计调配方案,并写出有哪几种方案,哪种方案总运费最小,最小值是多少?
9.某校计划购进A,B两种树木共100棵进行校园绿化升级,经市场调查:
购买A种树木2棵,B种树木5棵,共需600元;购买A种树木3棵,B种树木1棵,共需380元.
(1)求A种,B种树木每棵各多少元?
(2)因布局需要,购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍.学校与公司签订的合同中规定:
在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素),实际付款金额按市场价九折优惠,请设计一种购买树木的方案,使实际所花费用最省.
10.
同时点燃甲乙两根蜡烛,蜡烛燃烧剩下的长度y(cm)与燃烧时间x(min)的关系如图所示.
(1)求乙蜡烛剩下的长度y与燃烧时间x的函数表达式;
(2)求点P的坐标,并说明其实际意义;
(3)求点燃多长时间,甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍.
11.
问题:
探究一次函数y=kx+k+2(k是不为0常数)图象的共性特点,探究过程:
小明尝试把x=-1代入时,发现可以消去k,竟然求出了y=2.老师问:
结合一次函数图象,这说明了什么?
小组讨论得出:
无论k取何值,一次函数y=kx+k+2的图象一定经过定点(-1,2),老师:
如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线,那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”.已知一次函数y=(k+3)x+(k-1)的图象是“点选直线”
(1)一次函数y=(k+3)x+(k-1)的图象经过的顶点P的坐标是______.
(2)已知一次函数y=(k+3)x+(k-1)的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B
①若△OBP的面积为3,求k值;
②若△AOB的面积为1,求k值.
12.
如图,直线l1的解析式为y=-3x+3,且l1与x轴交于点D,直线l2经过点A、B,直线l1、l2交于点C.
(1)求直线l2的解析表达式;
(2)求△ADC的面积;
(3)在直线l2上存在异于点C的另一点P,使得△ADP与△ADC的面积相等,请求出点P的坐标.
13.A校和B校分别库存有电脑12台和6台,现决定支援给C校10台和D校8台.已知从A校调运一台电脑到C校和D校的运费分别为40元和10元;从B校调运一台电脑到C校和D校的运费分别为30元和20元.
(1)设A校运往C校的电脑为x台,请仿照下图,求总运费W(元)关于x的函数关系式;
(2)求出总运费最低的调运方案,最低运费是多少?
14.
甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地,已知甲出发0.5h后乙开始出发,如图,线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离S(km)与时间t(h)的关系,请结合图中的信息解决如下问题:
(1)计算甲、乙两车的速度及a的值;
(2)乙车到达B地后以原速立即返回.
①在图中画出乙车在返回过程中离A地的距离S(km)与时间t(h)的函数图象;
②请问甲车在离B地多远处与返程中的乙车相遇?
15.
某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克,且10≤x≤18)之间的函数关系如图所示;
(1)求y(千克)与销售价x的函数关系式;
(2)该经销商想要获得150元的销售利润,销售价应定为多少?
16.我市某玩具厂生产的一种玩具每个成本为24元,其销售方案有如下两种:
方案一:
给本厂设在蓝天商厦的销售专柜销售,每个售价为32元,但每月需上缴蓝天商厦有关费用2400元;
方案二:
不设销售专柜,直接发给本市各商厦销售,出厂价为每个28元.
设该厂每月的销售量为x个.如果每月只能按一种方案销售,且每种方案都能按月销售完当月产品,那么应如何选择销售方案,可使该工厂当月所获利润最大?
17.函数学习中,自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一,请解决下面的问题.
(1)分别求出当2≤x≤4时,三个函数:
y=2x+1,y=
,y=2(x-1)2+1的最大值和最小值;
(2)若y=
的值不大于2,求符合条件的x的范围;
(3)若y=
,当a≤x≤2时既无最大值,又无最小值,求a的取值范围;
(4)y=2(x-m)2+m-2,当2≤x≤4时有最小值为1,求m的值.
18.如图1,已知正方形ABCD的边长为1,点E在边BC上,若∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)如图1,若点E是边BC的中点,M是边AB的中点,连接EM,求证:
AE=EF.
(2)如图2,若点E在线段BC上滑动(不与点B,C重合).
①在点E滑动过程中,AE=EF是否一定成立?
请说明理由;
②在如图所示的直角坐标系中,当点E滑动到某处时,点F恰好落在直线y=-2x+6上,求此时点F的坐标.
19.已知y是x的一次函数,且当x=-4时,y=9;当x=6时,y=-1.
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)当x=-
时,求函数y的值;
(3)求当-3<y≤1时,自变量x取值范围.
20.甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠,所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之
间的关系如图所示,请根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)描述乙队在0~6(h)内所挖河渠的长度变化情况;
(2)请你求出:
乙队在2≤x≤6的时段内,y与x之间的函数关系式;
(3)当x为何值时,甲队在施工过程中所挖河渠的长度y的值在30和50之间变化?
21.
平顶山市教育局举行'重走长征路”健步活动,某教师从起点体育村沿建设路到市生态园.再沿原路返回.该教师离开起点的路程S(千米)与步行时间t(小时)之间的函数关系如图所示.其中从起点到市生态园的平均速度是4千米/小时.用2小时.根据图象提供信息.解答下列问题
(1)求图中的a的值.
(2)若在距离起点5千米处有一个地点C,该教师从第一次经过点C到第二次经过点C,所用时间为1.75小时
①求AB所在直线的函数关系式;
②该教师走完全程用多少时间?
22.
如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A在y轴正半轴上,边AB、OA(AB>OA)的长分别是方程x2-11x+24=0的两个根,D是AB上的点,且满足
.
(1)矩形OABC的面积是______,周长是______.
(2)求直线OD的解析式;
(3)点P是射线OD上的一个动点,当△PAD是等腰三角形时,求点P的坐标.
23.
如图,直线y=-
x+3与坐标轴分别交于点A、B.
(1)点C在x轴上,并使得△ABC是等腰三角形,请用直尺和圆规作出所有满足条件的点C.(保留作图痕迹)
(2)求
(1)中作出的点C的坐标.
24.
如图,直线y=-
x+4交x轴于点A,交y轴于点C,抛物线y=ax2-
x+c过点A,交y轴于点B(0,-2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M为抛物线在第四象限部分上的一个动点,求四边形BMAC面积的最大值.
25.如图1,在直角坐标系中,点A坐标为(0,12),经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B(m,n)
(1)若m=9,n=3,求直线l1和l2的解析式;
(2)将△BAO绕点B顺时针旋转180°得△BFE,
如图2,连接AE,OF;
①证明:
四边形OFEA是平行四边形;
②若四边形OFEA是正方形,则m=______,n=______.
26.某商店通过调低价格的方式促销n个不同的玩具,调整后的单价y(元)与调整前的单价x(元)满足一次函数关系,如表:
第1个
第2个
第3个
第4个
…
第n个
调整前的单价x(元)
x1
x2=6
x3=72
x4
…
xn
调整后的单价y(元)
y1
y2=4
y3=59
y4
…
yn
已知这n个玩具调整后的单价都大于2元.
(1)求y与x的函数关系式,并确定x的取值范围;
(2)某个玩具调整前单价是108元,顾客购买这个玩具省了多少钱?
(3)这n个玩具调整前、后的平均单价分别为
,
,猜想
与
的关系式,并写出推导过程.
27.如图,反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程s(千米)和行驶时
间t(小时)之间的关系,根据所给图象,解答下列问题:
(1)写出甲的行驶路程s和行驶时间t(t≥0)之间的函数关系式;
(2)在哪一段时间内,甲的行驶速度小于乙的行驶速度;在哪一段时间内,甲的行驶速度大于乙的行驶速度;
(3)从图象中你还能获得什么信息?
请写出其中的一条.
28.某化工厂现有甲种原料7吨,乙种原料5吨,现计划用这两种原料生产两种不同的化工产品A和B共8吨,已知生产每吨A,B产品所需的甲、乙两种原料如下表:
甲原料
乙原料
A产品
0.6吨
0.8吨
B产品
1.1吨
0.4吨
销售A,B两种产品获得的利润分别为0.45万元/吨、0.5万元/吨.若设化工厂生产A产品x吨,且销售这两种产品所获得的总利润为y万元.
(1)求y与x的函数关系式,并求出x的取值范围;
(2)问化工厂生产A产品多少吨时,所获得的利润最大?
最大利润是多少?
29.嘉淇同学大学毕业后借助低息贷款创业,他向银行贷款30000元,分12个月还清贷款,月利率是0.2%,银行规定的还款方式为“等额本金法”,即每月除归还等额的本金为30000÷12=2500元外,还需要归还本月还款前的本金的利息,下面是还款的部分明细.
第1个月,由于本月还款前的本金是30000元,则本月应归还的利息为30000×0.2%=60元,本月应归还的本息和为2500+60=2560元;
第2个月,由于本月还款前的本金是27500元,则本月应归还的利息为27500×0.2%=55元,本月应归还的本息和为2500+55=2555元.
…
根据上述信息,则
(1)在空格处直接填写结果:
月数
第1个月
第2个月
…
第5个月
…
还款前的本金(单位:
元)
30000
27500
…
______
…
应归还的利息(单位:
元)
60
55
…
______
…
(2)设第x个月应归还的利息是y元,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)嘉淇将创业获利的2515元用于还款,则恰好可以用于还清第几个月的本息和?
30.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),且经过直线y=x-2与x轴的交点B及与y轴的交点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求抛物线的顶点坐标;
(3)若点M在第四象限内的抛物线上,且tan∠MOC=1,求M点的坐标及四边形OBMC面积.
31.已知抛物线y=
x2+x+c与x轴有交点.
(1)求c的取值范围;
(2)试确定直线y=cx+1经过的象限,并说明理由.
32.如图1所示,在A,B两地之间有汽车站C站,客车由A地驶往C站,货车由B地驶往A地.两车同时出发,匀速行驶.图2是客车、货车离C站的路程y1,y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象.
(1)填空:
A,B两地相距______千米;
(2)求两小时后,货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式;
(3)客、货两车何时相遇?
相遇处离C站的路程是多少千米?
33.往一个长25m,宽11m的长方体游泳池注水,水位每小时上升0.32m,
(1)写出游泳池水深d(m)与注水时间x(h)的函数表达式;
(2)如果x(h)共注水y(m3),求y与x的函数表达式;
(3)如果水深1.6m时即可开放使用,那么需往游泳池注水几小时?
注水多少(单位:
m3)?
34.某公司销售一种进价为20(元/个)的计算器,其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)之间为一次函数关系,其变化如下表:
价格x (元/个)
…
30
50
…
销售量y (万个)
…
5
3
…
同时,销售过程中的其他开支(不含进价)总计40万元.若该公司要获得40万元的净利润,且尽可能让顾客得到实惠,那么销售价格应定为多少?
(注:
净利润=总销售额-总进价-其他开支)
35.
如图,已知点P(m,5)在直线y=kx(k>0)上,线段OP的垂直平分线交y轴于点A,交x轴于点B,连接AP,BP,得“筝形”四边形PAOB.
(1)当m=2时,求tan∠POA的值;
(2)若直线x=5交x轴于点C,交线段AB于点D(异于端点),记“筝形”四边形PAOB的面积为s,△DCB的面积为t,试比较s与2t+
的大小,并说明理由.
36.已知,关于x的一元二次方程x2+(k-1)x-k=0(其中k为常数)
(1)判断方程根的情况并说明理由;
(2)若0<k<1,设方程的两根分别为m,n(m<n),求它的两个根m和n;
(3)在
(2)的条件下,若直线y=kx+1与x轴交于点C,x轴上另两点A(m,0)、点B(n,0),试说明是否存在k的值,使这三点中相邻两点之间的距离相等?
若存在,求出k的值,若不存在,请说明理由.
37.在实施“城乡危旧房改造工程”中,河西区计划推出A、B两种新户型.根据预算,建成10套A种户型和30
套B种户型住房共需资金480万元,建成30套A种户型和10套B种户型住房共需资金400万元
(1)在危旧房改造中建成一套A种户型和一套B种户型住房所需资金分别是多少万元?
(2)河西区有800套住房需要改造,改造资金由国家危旧房补贴和地方财政共同承担,若国家补贴拨付的改造资金不少于2100万元,河西区财政投入额资金不超过7700万元,其中国家财政投入到A、B两种户型的改造资金分别为每套2万元和3万元
①请你计算求出A种户型至少可以建多少套?
最多可以建多少套?
②设这项改造工程总投入资金W万元,建成A种户型m套,写出W与m的关系式,并求出最少总投入.
38.
如图,已知一次函数y=-
x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B.
(1)求点A,B两点的坐标.
(2)点M为一次函数y=x+3的图象上一点,若△ABM与△ABO的面积相等,求点M的坐标.
(3)点Q为y轴上的一点,若△ABQ为等腰三角形,请直接写出Q点坐标.
39.
甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城,在整个行驶过程中,甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶时间x(小时)之间的函数关系如图所示,根据图象提供的信息,解决下列问题:
(1)A,B两城相距多少千米?
(2)分别求甲、乙两车离开A城的距离y与x的关系式.
(3)求乙车出发后几小时追上甲车?
(4)求甲车出发几小时的时候,甲、乙两车相距50千米?
40.某电信公司手机的A类收费标准如下:
不管通话时间多长,每部手机每月必须缴月租费50元,另外,每通话1分钟交费0.4元.B类收费标准如下:
没有月租费,但每通话1分钟收费0.6元.
(1)若A类,B类两种收费标准每月应缴费用分别为y1元和y2元,写出每月应缴费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系式;
(2)若每月平均通话时间为300分,你选择哪类收费方式?
(3)每月通话多长时间,按A、B两类收费标准缴费,所交话费相等.
41.
如图,一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A(1,-2).
(1)求k与b的值.
(2)若一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点B,求△AOB的面积.
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