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旋转教材分析
WTDstandardizationoffice【WTD5AB-WTDK08-WTD2C】
旋转教材分析
第二十三章旋转教材分析
一、本章地位
本章学习第三种图形变换——旋转.旋转变换在平面几何中有着广泛的应用,特别是在解(证)有关等腰三角形(主要是等腰直角三角形、等边三角形)以及正方形等问题时,更是经常用到的思维方法.此前,学生已学习了平移、轴对称两种图形变换,对图形变换已具有一定的认识,通过本章的学习,学生对图形变换的认识会更完整,同时,也能对平移、轴对称有更深的认识.
二、课程学习目标
1、课标要求
⑴通过具体实例认识旋转,探索它的基本性质,理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质.
⑵了解平行四边形、圆是中心对称图形.
⑶能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形.
⑷欣赏旋转在现实生活中的应用.
⑸探索图形之间的变化关系(轴对称、平移、旋转及其组合).
⑹灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计.
2、2007年中考说明中对旋转的要求
基本要求:
通过具体实例认识图形的旋转,探索它的基本性质,理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质;会识别中心对称图形.
略高要求:
能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形,能依据旋转后的图形,指出旋转中心和旋转角.
较高要求:
能运用旋转的知识解决简单的计算问题;运用旋转的知识进行图案设计;与其他变换共同解决实际问题.
旋转及其性质
平移及其性质
轴对称及其性质
中心对称
中心对称图形
关于原点对称的点的坐标
图案设计
三、知识结构框图
四、课时安排
图形的旋转2课时
中心对称3课时
课题学习图案设计2课时(建议1课时)
小结1课时(建议2课时)
五、学法教法建议
1、明确学习图形变换的大致思路
⑴通过具体实例认识图形变换;
⑵探索图形变换的性质;
⑶依据图形变换的性质进行作图、计算和证明;
⑷利用图形变换进行图案设计;
⑸用坐标表示图形变换.
本章“旋转”的学习也是从以上几个方面展开的.关于⑸,本章只涉及用坐标表示中心对称.
2、注意联系实际
旋转与现实生活联系紧密,为此,在教学中应列举了大量实例来使学生认识和感受它们,增强学生对旋转的理解.利用图形变换进行图案设计、解决实际问题又加强了图形变换与现实生活的联系.
3、注意培养动手操作的意识
教材在探索旋转的性质(P63探究)、中心对称的性质(P69探究)以及如何设计图案最美观(P78数学活动1)等问题时,安排了转动硬纸板、转动三角板、转动模板等应用动手操作来探索结论的内容.动手操作是解决问题的一种方法,应加强学生主动进行动手操作的意识.
4、注意探索结论
教材在发现旋转的性质、中心对称的性质、关于原点对称的点的坐标特征、图形之间的变换关系、如何设计图案最美观、从坐标的角度揭示中心对称与轴对称的关系等问题中,设置了探究活动,注意结论的探索过程.在教学中,应充分利用这些资源,进行开放式探究,重视培养学生观察、发现、归纳、说理等综合能力.
5、注意概念之间的联系
⑴平移、旋转、轴对称
学习旋转变换与学习平移、轴对称的过程基本一致,主要都是研究变换过程中的不变量,是研究几何问题、发现几何结论的有效工具.平移、轴对称、旋转都是全等变换,只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小.由于变换方式的不同,故变换前后具有各自的性质.
平移
轴对称
旋转
相同点
都是全等变换,即变换前后的图形全等.
不
同
点
定义
把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换,叫~.
把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换叫~.
把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换叫~.
图形
要素
平移方向
平移距离
对称轴
旋转中心、旋转方向、
旋转角度
性质
连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等.
任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分.
对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.即:
对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等.
⑵旋转与中心对称
中心对称是一种特殊的旋转(旋转180°),满足旋转的性质,由旋转的性质可以得到中心对称性质.
旋转
中心对称
图
形
性质
1
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
对称点所连线段都经过对称中心.
2
对应点到旋转中心的距离相等.
对称点所连线段被对称中心所平分.
3
旋转前、后的图形全等.
关于中心对称的两个图形是全等图形
⑶中心对称与轴对称
中心对称
轴对称
1
有一个对称中心——点
有一条对称轴——直线
2
图形绕中心旋转180°
图形沿轴折叠
3
旋转后与另一图形重合
折叠后与另一图形重合
中心对称与轴对可以称类比着学习,对学生掌握新知识有帮助.
教材中P78的数学活动2还从坐标的角度揭示了中心对称
与轴对称的关系.作点A关于x轴的对称点B,作点B关于y
轴的对称点C,则点A与点C关于原点对称.由此可知,将一
点作上述两次轴对称变换相当于作出这个点关于原点的对称点.
中心对称
中心对称图形
区别
①指两个全等图形之间的相互位置关系.
②对称中心不定.
①指一个图形本身成中心对称.
②对称中心是图形自身或内部的点.
联系
如果将中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形),那么这个图形就是中心对称图形.
如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形,那么它们又关于中心对称.
⑷两个图形成中心对称与中心对称图形
⑸中心对称图形与轴对称图形
中心对称图形
轴对称图形
1
关于某一点对称
关于某一条直线对称
2
图形绕对称中心旋转180°后,与自身重合
图形沿对称轴折叠后,对称轴两旁的部分互相重合
以上五点在教学中要注意随时总结,帮助学生理清概念之间的关系.
6、注意用计算机辅助教学
利用几何画板的旋转功能,可以方便地作出一个图形绕某一点旋转某个角度后的图形.利用几何画板的度量功能,可以发现旋转变换中的不变量;关于原点对称的点的坐标特征.进行图案设计时,利用计算机,可以让学生直观地看到改变旋转中心、旋转角会出现不同的效果.同时利用计算机,可以直观地看到图形运动变换的过程.
7、从变换的角度重新认识几何图形,建立图形变换的意识.
图形变换是对几何图形认识方法上的一种改变,应有意识地从图形变换的角度分析图形.平移、轴对称、旋转变换,都可以在不改变图形性质的前提下,把图形移动,从而使问题的条件集中或者使图形更易于研究.从图形变换的角度思考问题,可以使问题更加明确.特别是当图形进行运动变化的时候,因为图形变换本身就是一种运动,从变换的角度更容易发现不变的量,从而更容易解决一般化的问题.图形变换可以提供添加辅助线构造全等的方法,我们平时常见的辅助线:
作平行线、截长补短、倍长中线等等,它们的实质就是在作平移、轴对称、旋转变换,目的是移动图形,集中条件,解决问题.
六、相关例题
1、利用旋转的性质确定一个旋转变换的旋转中心、旋转角,探索图形之间的变换关系.
图2
例1、如图1,ΔACB与ΔADE都是等腰直角三角形,∠ACB和∠ADE都是直角,点C在AE上,如果ΔACB经逆时针旋转后能与ΔADE重合.
①请指出其旋转中心与旋转角度;
C
A
E
D
B
图1
②用图1作为基本图形,经过怎样的旋转可以得到图2?
答案:
①旋转中心:
点A;
旋转角度:
45°(逆时针旋转)
②以点A为旋转中心,将图1顺时针(或逆时针)
旋转90°三次得到图2.
例2、(2006四川眉山)数学课上,老师让同学们观察如图所示的图形,
问:
它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合?
甲同学说:
45°;
乙同学说:
60°;丙同学说:
90°;丁同学说:
135°.以上四位同
学的回答中,错误的是(B)
A.甲B.乙C.丙D.丁
例3、如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△DEF为等边三角形,AB=DE,点B、C、D在x轴上,点A、E、F在y轴上,下面判断正确的是(A)
A.△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的
B.△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的
C.△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的
D.△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的
例4、以图1的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°后,再按顺时针方向旋转180°,所得到的图形是(A)
A
B
C
D
图1
2、利用旋转、中心对称的性质作图.
例5、在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个
单位的正方形,△ABC的三个顶点都在格点上
(每个小方格的顶点叫格点).画出△ABC绕点O
顺时针旋转90°后的△A1B1C1,并求AA1的长.
答案:
AA1=
例6、(2007江苏扬州)如图,△ABC中A(-2,3),B(-3,1),C(-1,2).
A
B
C
O
x
y
⑴将△ABC向右平移
个单位长度,画出平移后的△A1B1C1;
⑵画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2;
⑶画出△ABC关于原点O对称的△A3B3C3;
⑷在△A1B1C1,△A2B2C2,△A3B3C3中,
△______与△______成轴对称,对称轴是______;
△______与△______成中心对称,对称中心的坐
标是______.
答案:
⑷△A2B2C2与△A3B3C3成轴对称,对称轴是y轴.
△A3B3C3与△A1B1C成中心对称,对称中心的坐标是(-2,0).
例7、如图,△A’B’C’是△ABC旋转后得到的图形,
请确定旋转中心、旋转角.
答案:
∵对应点到旋转中心的距离相等,即OA=OA’
∴O点在AA’的垂直平分线上
同理O点也在BB’的垂直平分线上
∴两条垂直平分线的交点O就是旋转中心,∠AOA’的度数就是旋转角.
例8、如图,已知△ABC与△DEF关于某一点对称,作出对称中心.
注:
确定关于某点成中心对称的两个图形的对称中心的方法:
⑴利用中心对称的性质:
对称点所连线段被对称中心所平分,所以连接任意一对对称点,取这条线段的中点,则该点即为对称中心.
⑵利用中心对称的性质:
对称点所连线段都经过对称中心,所以连接任意两对对称点,则这两条线段的交点即为对称中心.
3、中心对称图形的概念.
例9、(2006江苏南京)下列图形中,是中心对称图形的是(A)
A.菱形B.等腰梯形C.等边三角形D.等腰直角三角形
例10、(2007湖南郴州)下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( A )
A.B.C.D.
例11、(2007上海)如图是
正方形网格,请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑,使图中黑色部分是一个中心对称图形.
答案:
例12、已知:
如图甲,试用一条直线把图形分成面积相等的两部分(至少三种方法).
注:
过中心对称图形的对称中心的任意一条直线,将该图形分成完全相同的两部分.当然其面积也相等.解决这类问题时,关键是将图形转化成两个中心对称图形(如果原图形本身就是中心对称图形,则直接过对称中心作直线即可),再由两点确定一条直线,过两个对称中心画直线即满足条件.
4、综合利用平移、轴对称、旋转变换进行图案设计.
例13、请用4块图1中的图形设计一个中心对称图形,把设计的图形画在下面10×10的方格中.(要求:
以点O为对称中心)
O
图1
答案:
O
M
B
A
22°
α
5、利用图形变换的性质进行计算或证明.
例14、(2007江苏扬州)用等腰直角三角板画∠AOB=45°,并将三角
板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M按逆时针方
向旋转22°,则三角板的斜边与射线OA的夹角α为22°.
例15、(2007山东日照)如图,把边长为1的正方形ABCD绕顶点A
逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′,则它们的公共部分的面积
等于
.
A
B
A’
C(C’)
B’
例16、(2007四川成都)如图,将一块斜边长为12cm,∠B=60°的
直角三角板ABC,绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A’B’C’
的位置,再沿CB向右平移,使点B’刚好落在斜边AB上,
那么此三角板向右平移的距离是
cm.
例17、(2007浙江义乌)如图1,小明将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片(如图2),量得它们的斜边长为10cm,较小锐角为30°,再将这两张三角纸片摆成如图3的形状,但点B、C、F、D在同一条直线上,且点C与点F重合(在图3~图6中统一用F表示)
A
B
C
D
E
F
(图1)(图2)(图3)
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决.
⑴将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置,使点B与点F重合,请你求出平移的距离;
⑵将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置,A1F交DE于点G,请你求出线段FG的长度;
⑶将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置,AB1交DE于点H,请证明:
AH=DH
(图4)(图5)(图6)
答案:
⑴平移的距离为5cm
⑵
cm
⑶证△AHE≌△DHB1(AAS)∴AH=DH
6、运用图形变换的思想解决问题.
例18.如图,以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD,连结DC,以DC为边作等边△DCE.B、E在C、D的同侧,若AB=
,则BE=1.
注:
从图形变换的角度思考问题,可以使问题简化,一目了然.
例19、如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DP⊥AB于P,若四边形ABCD的面积是16,求DP的长.
例20、(2007朝阳一模)已知:
如图①,△ABC是等边三角形,四边形BDEF是菱形,其中DF=DB,连接AF、CD.
⑴观察图形,猜想AF与CD之间有怎样的数量关系?
直接写出结论,不必证明;
⑵将菱形BDEF绕点B按顺时针方向旋转,使菱形BDEF的一边落在等边△ABC内部,在图②中画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母,请问:
⑴中的结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
⑶在上述旋转过程中,AF、CD所夹锐角的度数是否发生变化?
若不变,请你求出它的度数,并说明你的理由;若改变,请说明它的度数是如何变化的.
图①
图②
答案:
⑴AF=CD.
⑵变换后的菱形BDEF如图,结论AF=CD仍然成立.
⑶不变化;60°.
注:
从图形变换的角度解决运动变化的问题,更容易发现不变的量,从而容易解决一般化的问题.
例21、如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=3,BC=5,AB=1,把线段CD绕点D逆时针旋转90°到DE位置,连结AE,则AE的长为
.
例22、如图,设P是等边三角形ABC内一点,PB=3,PA=4,PC=5,求∠APB的度数.
答案:
∠APB=150°
注:
PA、PB、PC条件分散,想办法集中条件于一个三角形,进而求度数.根据旋转的性质“对应点到旋转中心的距离相等”,旋转后可得到等腰三角形,如果旋转60°,可得到等边三角形.
例23、如图,在四边形ABCD中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=CD.
求证:
BD2=AB2+BC2.
例24、如图,已知△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=900,E、F是BC边上点,且∠EAF=45°.
求证:
例25、(2007朝阳二模)已知:
如图1,Rt
ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点,DE、DF分别交AC于E,交BC于F,且DE⊥DF.
⑴如果CA=CB,求证:
AE2+BF2=EF2;
⑵如图2,如果CA 若成立,请证明;若不成立,请说明理由. 图3 例26、(2006黑龙江)已知∠AOB=90°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板直角顶点与点C重合,它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E.当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1),易证: OD+OE= OC.当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时,在图2、图3这两种情况下,上述结论是否还成立? 若成立,请给与证明;若不成立,线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系? 请写出你的猜想,不需要证明. 图2 图1 答案: 图2结论: OD+OE= OC 图3结论: OE-OD= OC 例27、(2007北京)在平面直角坐标系xOy中,OEFG为正方形,点F的坐标为 .将一个最短边长大于 的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上. ⑴如图,当三角形纸片的直角顶点与点F重合,一条直角边落在直线FO上时,这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分(即阴影部分)的面积为; 1 1 ⑵若三角形纸片的直角顶点不与点O,F重合,且两条直角边与正方形相邻两边相交,当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时,试确定三角形纸片直角顶点的坐标(不要求写出求解过程),并画出此时的图形. 例28、如图,已知△ABC. ⑴请你在BC边上分别取两点D,E(BC的中点除外),连结AD,AE,写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件,并表示出面积相等的三角形; ⑵请你根据使⑴成立的相应条件,证明: AB+AC>AD+AE. 图1 图2 图3
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