西安市蔬菜价格变动分析及采购计划的制定.docx
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西安市蔬菜价格变动分析及采购计划的制定
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(由组委会填写)
全
题目西安市蔬菜价格变动分析及采购计划的制定
摘要
食品价格是居民消费价格指数的重要组成部分,食品价格波动直接影响居民生活成本和农民收入,是关系国计民生的重要战略问题。
特别是蔬菜价格的变化关系到千家万户的日常生活,菜价的上涨将严重影响城市低收入群体的生活质量。
本文通过对蔬菜价格变动规律进行研究,建立蔬菜价格指数模型,并运用所建立的模型对蔬菜价格做出短期预测。
针对问题一,采用算术平均法计算出所选五种蔬菜每月平均价格占全年总价格的百分比,并用加权平均法预测出了茄子、西红柿、黄瓜、土豆和芹菜这五种蔬菜2015年的全年总价格,分别为72.3、71.5、67.6、44.0和36.7元/公斤。
然后预测出2015年五种蔬菜的每月平均价格,结果见表5-7。
针对问题二,利用近三年蔬菜价格计算出17种蔬菜价格月环比,然后将蔬菜分为根菜类、叶菜类和瓜果类,再根据蔬菜月销量与蔬菜价格指数权值的正比关系,推导出蔬菜价格指数的模型如式5-17所示,并分析了模型的合理性。
针对问题三,根据问题二所建立的蔬菜价格指数模型,求出近三年蔬菜价格总体的变化趋势,并分析了每年价格趋势的最高位和最低位。
针对问题四,根据题目的要求和条件建立了目标函数方程如式5-18,以及线性约束条件如式5-19和式5-20,并求解出满足约束条件的最佳采购方案见表5-10所示,最终选择胡家庙蔬菜批发市场进行采购,能够采购的最大重量为1111kg。
一问题重述
食品价格是居民消费价格指数的重要组成部分,食品价格波动直接影响居民生活成本和农民收入,是关系国计民生的重要战略问题。
特别是蔬菜价格的变化关系到千家万户的日常生活,菜价的上涨将严重影响城市低收入群体的生活质量。
为监测食品价格的实际变化情况,西安市物价局对食品价格一直进行着严密的监测,每周都会在其官方网站上公布食品价格监测数据,为了跟踪研究西安市农副产品价格变动的规律,请从该网站下载查阅相关监测数据,建立数学模型解决如下问题:
1)请从监测的17种蔬菜数据中任意选取5种蔬菜,并根据这5种蔬菜近几年的价格数据,建立数学模型研究这5种蔬菜价格随月份的变化规律,并预测2015年这5种蔬菜每月的价格。
2)监测17种蔬菜的价格数据给监测人员带来了很大的工作负担,为了综合评价蔬菜价格的总体水平,请建立一个蔬菜价格指数模型,使这个指数的升降能够从总体上较为准确地反映蔬菜价格的水平。
注意蔬菜的类型、人们的消费习惯、以及其它因素都可能与这个蔬菜价格指数有关,并说明你所建立指数的合理性。
3)根据你在问题2)中建立的蔬菜价格指数模型,研究一下近几年蔬菜价格总体的变化趋势,说明一下对于西安市每年什么时候蔬菜价格总体处于高位。
4)假设你是一家饭店的采购员,每一天都要根据当天西安市四个主要蔬菜批发市场的蔬菜牌价(如表1所示),选择到其中一家市场进行一次采购。
为满足饭店营业需求,饭店制定了采购单,并对采购量做出如下要求:
每天必须购买的蔬菜有:
豆角至少50公斤,青椒至少30公斤,土豆至少20公斤,西红柿至少100公斤,莲花白至少100公斤,胡萝卜至少20公斤,茄子至少10公斤,其余蔬菜品种采购员可以酌情自己选择购买至少5种,如果购买这种蔬菜要求至少购买10公斤。
假设采购所用的汽车是一辆载重量不超过1.5吨的小型三轮货车,因为车辆保养的原因,要求每天车辆的公里吨数(即路程╳载重吨数,空载不计)不得超过8(公里╳吨),每天采购额不得超过4000元,且采购单中要求必须购买蔬菜的采购额至少要达到实际采购总额的80%以上。
请建立数学模型为你今天的采购计划制定最佳方案,即在满足上述所有条件都满足的情况下,到哪一个蔬菜市场区购买蔬菜,购买哪些蔬菜,各多少公斤,使得当天采购蔬菜的总重量最大。
假定蔬菜批发的最小单位为1公斤。
二问题分析
对于问题一,要根据所选五种蔬菜近几年的价格数据,找出这五种蔬菜价格随月份变化的规律,并预测2015年这5种蔬菜每月的价格。
需要绘制5种蔬菜价格随月份的变化曲线,由于这5种蔬菜的价格分别是5个时间序列,因此可以考虑运用时间序列构建模型来研究蔬菜价格随月份的变化规律,并用所构建的模型对所选的5种蔬菜的价格进行预测。
对于问题二,价格指数可以分为月环比和价格指数权值两部分,其中价格指数权值可考虑到蔬菜的种类和人们的消费习惯对蔬菜的价格造成影响。
首先可以根据蔬菜的器官类型将蔬菜分为根菜类、叶菜类和瓜果类三种,然后根据每种蔬菜的月销量与价格指数权值的正比关系计算出价格指数权值。
对于问题三,利用西安市农业信息网上的数据,根据第二问所建立的模型分别计算出近三年的蔬菜月环比价格指数,并绘出近三年的蔬菜价格总体的变化趋势。
对于问题四,要求在满足题目所有要求的约束条件的情况下确定采购方案,使得采购蔬菜的总量最大。
显然是一个线性优化问题,我们根据题目要求对四个蔬菜批发市场建立目标函数和约束条件,利用lingo软件进行求解。
三模型假设
1.假设所有的统计数据都真实可靠。
2.假设各种蔬菜的供应量都充足。
3.假设每月平均价格占全年总价格的百分比与年份无关。
4.假设蔬菜往年总价格对2015年总价格的影响权值与时间长度成反比。
5.假设同一类蔬菜的月环比对价格指数的影响相同。
6.假设蔬菜的价格指数权值与销量成正比。
四符号与变量说明
符号与变量
说明
第k种蔬菜第i年第j月的平均价格
第k种蔬菜第i年的平均价格
第k种蔬菜第i年的全年总价格
第k种蔬菜第j月的平均价格占全年总价格的百分比
第k种蔬菜第i年第j月的月环比
第i年总价格对2015年总价格的影响权值
17种蔬菜第i年第j月的月环比价格指数
第i种蔬菜第j个市场的批发价格
第j个市场与饭店的距离
第i种蔬菜第j个市场的采购重量
五模型的建立与求解
5.1问题一的模型建立与求解
5.1.1模型的建立
设
表示第k种蔬菜第i年第j月的平均价格,则第k种蔬菜第i年的平均价格可表示为
(5-1)
为了描述同年不同月份的价格差异,引入全年总价格的概念。
第k种蔬菜第i年的全年总价格
表示如下
(5-2)
则第k种蔬菜第i年第j月的平均价格
可表示为
(5-3)
其中,
表示第k种蔬菜第i年第j月的平均价格占全年总价格的百分比。
本题要求预测2015年五种蔬菜的每月平均价格,这就要求知道2015年第k种蔬菜每月平均价格占总价格的百分比。
为了简化问题分析,这里假设每月平均价格占全年总价格的百分比与年份无关。
即
(5-4)
同时,为了充分利用2012年至2014年的价格数据,通过平均法计算出2015年每月平均价格占全年总价格的百分比为
(5-5)
将式(5-1)至(5-3)代入上式得
(5-6)
根据式(5-4)可知,为了预测2015年五种蔬菜的每月平均价格,除了根据式(5-6)计算出2015年每月平均价格占全年总价格的百分比之外,还需预测出2015年五种蔬菜的全年总价格,它可以表示为
(5-7)
其中,
表示第i年总价格对2015年总价格的影响权值。
将式(5-6)和(5-7)代入式(5-4)得2015年五种蔬菜的每月平均价格,2015年第k种蔬菜第j月的平均价格表示如下
(5-8)
5.1.2模型的求解
设17种蔬菜的顺序依次为豆角、茄子、青椒、西红柿、青菜、冬瓜、白萝卜、韭菜、黄瓜、尖椒、蒜薹、土豆、菜花、白菜、莲花白、芹菜和胡萝卜,选择茄子、西红柿、黄瓜、土豆和芹菜这五种蔬菜进行价格预测,即k分别取2、4、9、12和16。
表5-1至表5-5分别给出了所选五种蔬菜2012~2014年的每月平均价格。
表5-1近三年茄子的每月平均价格
年
月
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2012
7.7
8.5
9.1
7.8
7.0
5.3
3.0
2.5
3.5
3.4
3.6
5.2
2013
6.5
7.1
7.5
7.7
7.6
5.5
5.1
5.0
5.5
6.2
6.5
7.1
2014
8.7
9.1
9.2
6.6
5.3
4.5
3.7
3.4
4.5
4.7
4.9
7.0
平均
7.6
8.2
8.6
7.4
6.6
5.1
3.9
3.6
4.5
4.8
5.0
6.4
表5-2近三年西红柿的每月平均价格
年
月
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2012
5.5
6.4
7.9
7.9
6.6
3.3
2.6
4.6
5.5
4.6
5.2
5.6
2013
7.0
6.7
7.5
6.5
5.9
4.1
4.3
3.8
5.0
7.1
7.8
6.6
2014
9.2
10.7
9.1
8.2
6.3
4.3
3.4
3.5
3.8
4.7
4.6
5.0
平均
7.2
7.9
8.2
7.5
6.3
3.9
3.4
4.0
4.8
5.5
5.9
5.7
表5-3近三年黄瓜的每月平均价格
年
月
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2012
10.2
8.8
7.3
6.3
4.6
2.7
3.0
4.5
3.4
3.3
4.4
6.2
2013
8.1
10.2
8.7
6.8
3.6
4.0
3.7
3.9
5.8
5.7
5.8
5.7
2014
6.9
9.6
7.8
4.8
2.7
3.0
4.3
3.3
4.0
4.8
6.2
8.9
平均
8.4
9.5
7.9
6.0
3.6
3.2
3.7
3.9
4.4
4.6
5.5
6.9
表5-4近三年土豆的每月平均价格
年
月
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2012
2.0
2.3
3.0
3.2
3.3
3.1
2.4
2.4
3.1
2.8
2.9
3.2
2013
3.6
3.8
4.0
4.4
4.9
5.2
4.7
4.7
4.7
4.8
4.9
5.1
2014
3.6
3.9
4.9
4.9
3.8
3.1
3.1
3.2
3.3
2.8
2.6
3.0
平均
3.1
3.3
4.0
4.2
4.0
3.8
3.4
3.4
3.7
3.5
3.5
3.8
表5-5近三年芹菜的每月平均价格
年
月
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2012
2.4
3.5
5.0
4.0
5.0
3.2
2.3
3.5
3.8
1.9
2.1
3.3
2013
4.5
5.1
3.1
2.5
4.2
3.6
4.3
4.2
3.6
4.4
3.9
3.8
2014
3.1
3.3
2.5
2.2
2.2
2.7
3.1
2.6
2.3
2.4
2.1
2.3
平均
3.3
4.0
3.5
2.9
3.8
3.2
3.2
3.4
3.2
2.9
2.7
3.1
根据以上表格绘制出这五种蔬菜2012~2014年的每月平均价格随月份的变化规律,如图5-1至图5-5所示。
其中(a)图比较了近三年的每月平均价格的变化规律,(b)图为近三年的每月平均价格的平均变化规律。
图5-1近三年茄子的每月平均价格的变化规律
图5-2近三年西红柿的每月平均价格的变化规律
图5-3近三年黄瓜的每月平均价格的变化规律
图5-4近三年土豆的每月平均价格的变化规律
图5-5近三年芹菜的每月平均价格的变化规律
根据图5-1至图5-5的(b)图可知,由式(5-6)可计算出五种蔬菜每月平均价格占全年总价格的占有率,其结果如表5-6所示。
表5-6五种蔬菜每月平均价格的占有率(%)
k
月
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2
10.6
11.5
12.0
10.3
9.2
7.1
5.5
5.1
6.3
6.6
7.0
9.0
4
10.3
11.3
11.6
10.7
8.9
5.6
4.9
5.6
6.8
7.8
8.3
8.2
9
12.4
14.1
11.7
8.8
5.4
4.8
5.4
5.8
6.5
6.8
8.1
10.2
12
7.0
7.6
9.1
9.6
9.2
8.7
7.8
7.9
8.5
8.0
8.0
8.6
16
8.5
10.1
9.0
7.4
9.7
8.1
8.2
8.7
8.2
7.4
6.9
8.0
根据式(5-7)可以预测出2015年五种蔬菜的全年总价格。
式中,
表示第i年总价格对2015年总价格的影响权值。
假设五种蔬菜的往年总价格对2015年总价格的影响权值与时间长度成反比,则有以下关系成立
(5-9)
结合式(5-7)和式(5-9)可得
(5-10)
综合上式,可以预测出2015年这五种蔬菜的每月平均价格,如表5-7所示。
表5-72015年五种蔬菜的每月平均价格的预测值
k
月
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2
7.7
8.3
8.6
7.4
6.7
5.1
4.0
3.7
4.5
4.8
5.0
6.5
4
7.3
8.1
8.3
7.7
6.4
4.0
3.5
4.0
4.8
5.6
6.0
5.8
9
8.4
9.5
7.9
6.0
3.6
3.2
3.7
3.9
4.4
4.6
5.5
6.9
12
3.1
3.4
4.0
4.2
4.0
3.9
3.4
3.5
3.7
3.5
3.5
3.8
16
3.1
3.7
3.3
2.7
3.6
3.0
3.0
3.2
3.0
2.7
2.5
2.9
5.2问题二的模型建立及其合理性分析
5.2.1模型的建立
设
表示第k种蔬菜第i-1年第12月的价格,则第k种蔬菜第i年第j月的月环比
可表示为
(5-11)
则17种蔬菜第i年第j月的月环比价格指数
可表示为
(5-12)
其中,
为价格指数权值,表示第k种蔬菜对蔬菜价格指数的影响权值。
因此,对于各蔬菜的价格指数权值应满足如下关系:
(5-13)
考虑到不同种类的蔬菜对价格指数的影响不一样的因素,将17种蔬菜分为根菜类、叶菜类和瓜果类等三大类,分别记为A类、B类和C类,具体分类情况见表5-8所示。
表5-8蔬菜的分类情况(k为蔬菜的序号)
种类
根菜类(A)
叶菜类(B)
瓜果类(C)
k
7、11、12、17
5、8、13、14、15、16
1、2、3、4、6、9、10
由于同一类蔬菜对价格指数的影响相差不大,因此,以下假设被认为是合理可行的。
假设同一类蔬菜的月环比对价格指数的影响相同,即同一类蔬菜的价格指数权值相等。
(5-14)
同时,考虑到人们的消费习惯,认为销量高的蔬菜对应的价格指数权值则高,反之,销量低的蔬菜对应的价格指数权值则低。
假设蔬菜的价格指数权值与销量成正比例关系。
则有如下关系成立:
(5-15)
其中,
、
、
分别为A、B、C三类蔬菜的价格指数权值,
、
、
分别为三类蔬菜的月平均销量。
结合式(5-13)、式(5-14)和式(5-15),可以计算出A、B、C三类蔬菜的价格指数权值分别为
(5-16)
将式(5-11)代入式(5-12)可得
(5-17)
根据以上两式可得17种蔬菜第i年第j月的价格指数。
5.2.2合理性分析
根据上式可以看出,价格指数主要由价格指数权值和月环比两部分组成。
其中价格指数权值考虑到了蔬菜价格的类型和月销量(也即人们的消费习惯),某种蔬菜的月销量越高,则其权值越大,说明该蔬菜对蔬菜价格指数的影响越大。
而月环比是本月蔬菜价格相对上月蔬菜价格的涨跌幅,能够准确的反映蔬菜价格的变化情况。
这两部分结合在一起,便能真实而准确地反映蔬菜价格的水平。
5.3蔬菜价格总体的变化趋势
根据西安农业信息网上的数据可知,西安市每月根菜类、叶菜类和瓜果类蔬菜的销量之比约为18:
22:
25,根据式(5-16)可算出A、B、C三类蔬菜的价格指数权值分别为4.75、5.80、6.59。
再根据式(5-17),计算出2012年至2014年近三年的月环比价格指数如表5-9所示。
表5-9西安市近三年的蔬菜月环比价格指数
年
月
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2012
26.3
25.9
17.3
-5.4
-9.6
-23.9
0.0
17.4
8.1
-21.0
18.2
29.2
2013
25.9
9.5
-17.3
38.7
-16.5
-3.2
7.3
-5.6
5.8
6.5
-1.1
-8.0
2014
31.7
6.7
-9.4
-8.6
-15.8
7.8
16.0
-6.0
1.8
-8.5
2.9
15.8
根据表5-9的数据,描绘出西安市近三年蔬菜价格总体的变化趋势如图5-6至图5-8所示。
根据这三个图可以看出,每年蔬菜价格总体与季节有明显关系,总的来说在冬季处于高位,在春夏之际处于低位。
图5-62012年蔬菜价格总体的变化趋势
图5-72013年蔬菜价格总体的变化趋势
图5-82014年蔬菜价格总体的变化趋势
根据以上三个图,画出2012年至2014年蔬菜价格总体的平均变化趋势如下图所示。
由该图可以更加明显的看出,对于西安市每年1月份蔬菜价格总体处于最高位,也即春节期间的价格处于最高位。
图5-92012-2014年蔬菜价格总体的平均变化趋势
5.4问题四的模型建立与求解
5.4.1模型的建立
由于有必须购买的蔬菜7种,剩余的蔬菜为选购的,主要的限制有:
每天车辆的公里吨数,采购额,车的载重,必购蔬菜的重量,选购蔬菜的重量,采购单中必须购买蔬菜的采购额至少要达到实际采购总额的80%以上。
根据在不同蔬菜市场购买蔬菜确定到蔬菜市场的路程和蔬菜价格。
设A={1,2,3,4,12,15,17},B={5,6,7,8,9,10,11,13,14,16},C={1,2,3,4},则根据题意可构建如下整数线性规划模型。
目标函数为
(5-18)
根据题目提供的信息可将约束条件分为两类:
1)采购量约束:
(5-19)
2)公里吨数和采购额的约束:
(5-20)
5.4.2模型求解
根据建立的目标函数与约束条件编写程序,利用lingo软件进行求解,得出如果按照表5-10方案采购蔬菜时,可以在满足题目所有要求的约束条件的情况下,使得采购蔬菜的总量最大,且最大的总量为1111kg。
表5-10蔬菜采购方案表(单位:
公斤)
胡家庙(7.2km)
朱雀(11.5km)
新北城(10.8km)
西三环(13.5km)
豆角
59
56
285
50
茄子
39
68
110
10
青椒
72
47
30
30
西红柿
191
217
100
312
青菜
0
10
10
10
冬瓜
10
0
10
0
白萝卜
0
10
0
0
韭菜
10
0
0
0
黄瓜
0
10
0
0
尖椒
10
0
10
10
蒜薹
10
10
10
10
土豆
133
56
29
20
菜花
0
0
10
10
白菜
10
0
0
10
莲花白
459
155
116
100
芹菜
0
10
0
0
胡萝卜
108
46
20
20
总重量
1111
695
740
592
参考文献
[1]邓维斌.统计分析使用教程[M].北京:
电子工业出版社.2012,3.
[2]姜启源,谢金星,叶俊编.数学模型[M].北京:
高等教育出版社.2003-8.
[3]西安农业信息网.
[4]西安市食品价格监测数据网.
[5]张杰.运筹学模型及其应用.北京:
清华大学出版社.2012,8.
附录
1.计算2012-2014年价格指数的程序
clc;
clear;
d1=xlsread('price.xls',1);
d2=xlsread('price.xls',2);
d3=xlsread('price.xls',3);
d1(:
1)=[];
d2(:
1)=[];
d3(:
1)=[];
A=[7111217];
B=[5813141516];
C=[12346910];
s=[1.82.22.5];%ABC三类蔬菜的月销量之比
w0=100*s/(4*s
(1)+6*s
(2)+7*s(3));
disp(['三类蔬菜的月销量之比为:
',num2str(s)]);
disp(['三类蔬菜的蔬菜指数权值分别为:
',num2str(w0)]);
m1=[];
m2=[];
m3=[];
fori=12:
-1:
1
m1=[m1;(d1(i,:
)-d1(i+1,:
))./d1(i+1,:
)];
m2=[m2;(d2(i,:
)-d2(i+1,:
))./d2(i+1,:
)];
m3=[m3;(d3(i,:
)-d3(i+1,:
))./d3(i+1,:
)];
end
w1(A)=w0
(1);
w1(B)=w0
(2);
w1(C)=w0(3);
w=[];
fori=1:
12
w=[w;w1];
end
z1=sum(w.*m1,2);
figure
(1)
plot(z1,'o-');
gridon;
axis([112-3040])
z2=sum(w.*m2,2);
figure
(2)
plot(z2,'o-');
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