数学建模教材9第九章插值与拟合.docx
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数学建模教材9第九章插值与拟合
插值:
求过已知有限个数据点的近似函数。
拟合:
已知有限个数据点,求近似函数,不要求过已知数据点,只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。
插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似,由于近似的要求不同,二者的数学方法上是完全不同的。
而面对一个实际问题,究竟应该用插值还是拟合,有时容易确定,有时则并不明显。
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1.7.2插值节点为散乱节点
已知n个节点:
(xi,yi,zi)(i=1,2,L,n),求点(x,y)处的插值z。
对上述问题,Matlab中提供了插值函数griddata,其格式为:
ZI=GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI)
其中X、Y、Z均为n维向量,指明所给数据点的横坐标、纵坐标和竖坐标。
向量XI、YI是给定的网格点的横坐标和纵坐标,返回值ZI为网格(XI,YI)处的函数值。
XI与YI应是方向不同的向量,即一个是行向量,另一个是列向量。
例3在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给出,在矩形区域(75,200)
×(-50,150)内画出海底曲面的图形。
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(2)调用函数lsqnonlin,编写程序如下:
x0=[0.20.050.05];%初始值是任意取的x=lsqnonlin(@fun2,x0)
3.5曲线拟合的用户图形界面求法
Matlab工具箱提供了命令cftool,该命令给出了一维数据拟合的交互式环境。
具体执行步骤如下:
(1)把数据导入到工作空间;
(2)运行cftool,打开用户图形界面窗口;
(3)对数据进行预处理;
(4)选择适当的模型进行拟合;
(5)生成一些相关的统计量,并进行预测。
可以通过帮助(运行doccftool)熟悉该命令的使用细节。
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也可以利用3次B样条函数进行插值,求得总的排沙量也为1.844⨯109t,,计算的Matlab程序如下:
对于问题
(2),研究排沙量与水量的关系,从试验数据可以看出,开始排沙量是随
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着水流量的增加而增长,而后是随着水流量的减少而减少。
显然,变化规律并非是线性
的关系,为此,把问题分为两部分,从开始水流量增加到最大值2720m3/s(即增长的过程)为第一阶段,从水流量的最大值到结束为第二阶段,分别来研究水流量与排沙量的关系。
画出排沙量与水流量的散点图(见图2)。
画散点图的程序如下:
loaddata.txtliu=data([1,3],:
);liu=liu';liu=liu(:
);sha=data([2,4],:
);sha=sha';sha=sha(:
);y=sha.*liu;
subplot(1,2,1),plot(liu(1:
11),y(1:
11),'*')
subplot(1,2,2),plot(liu(12:
24),y(12:
24),'*')
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yhat1_1=polyval(nihe1_1,liu(1:
11));%求预测值
yhat1_2=polyval(nihe1_2,liu(1:
11));
%以下求误差平方和与剩余标准差
cha1_1=sum((y(1:
11)-yhat1_1).^2);rmse1_1=sqrt(cha1_1/9)cha1_2=sum((y(1:
11)-yhat1_2).^2);rmse1_2=sqrt(cha1_2/8)
%以下是第二阶段的拟合forj=1:
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str1=char(['nihe2_'int2str(j)'=polyfit(liu(12:
24),y(12:
24),'int2str(j+1)')']);eval(str1)
str2=char(['yhat2_'int2str(j)'=polyval(nihe2_'int2str(j)',liu(12:
24));']);eval(str2)
str3=char(['cha2_'int2str(j)'=sum((y(12:
24)-yhat2_'int2str(j)').^2);'...
'rmse2_'int2str(j)'=sqrt(cha2_'int2str(j)'/(11-j))']);eval(str3)
endformat
4.(水箱水流量问题)许多供水单位由于没有测量流入或流出水箱流量的设备,而
只能测量水箱中的水位。
试通过测得的某时刻水箱中水位的数据,估计在任意时刻(包
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- 数学 建模 教材 第九 章插值 拟合