江西理工大学数理统计复习.docx

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江西理工大学数理统计复习

江西理工大学

2010（上）《数理统计》考试题（A卷）及参考解答

一、填空题（每小题3分，共15分）

1，设总体X和丫相互独立，且都服从正态分布N（0,32），而（X^Xzl^Xg）和（Y,Y2山，丫9）是分

别来自x和丫的样本，则Xmp^服从的分布是.

解：

t（9）.

2，设f?

与兔都是总体未知参数日的估计，且闵比氏有效，则硏与兔的期望与方差满足二

解：

E（0）=E（f?

）,D（（?

）cD（&2）.

3,“两个总体相等性检验”的方法有_与____

解：

秩和检验、游程总数检验.

4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是,

解：

正态性、方差齐性、独立性.

5，多元线性回归模型Y=X卩+名中，卩的最小二乘估计是歹二.

解：

由二（XX）二XY.

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1，设（X1,X2」l（,Xn）（n_2）为来自总体N（0,1）的一个样本，X为样本均值，S2为样本方差，则

D.

（A）nXLN（0,1）;（B）nS2L2（n）；

2

（C）（^^Lt（n）;（D）亠1凶F（1,n-1）.

S、X：

i=2

2,若总体XLN（7二2）,其中二2已知，当置信度1-：

保持不变时，如果样本容量n增大，则」的

置信区间B_.

（A）长度变大；（B）长度变小；（C）长度不变；（D）前述都有可能.

3，在假设检验中，分别用:

■-表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n—定时，

下列说法中正确的是C.

5，在一元回归分析中，判定系数定义为R叮，则一旦

、（本题10分）设总体xLn（%；「2）、yLN（」2f2），（Xi,X2,|l|,XnJ和（Yi,Y2,|l（,Yn2）分别

是来自X和Y的样本，且两个样本相互独立，X、丫和sX、sY分别是它们的样本均值和样本方差，证明

其中s2广

（ni-1）SX（n2-1）&

n,n2

由定理可知

由独立性和

（n1-1）SXI

CT2

2（n1

-1）,

（n2-1）SY

L2（n2-1）.

2分布的可加性可得

2

.（n2-1）SyL

2

0n2-2）•

由U与V得独立性和t分布的定义可得

丄e为x>0

四、（本题10分）已知总体X的概率密度函数为f（x）-.je,o,其中未知参数r.0,

[o,其它

（X1,X2dl|,Xn）为取自总体的一个样本，求二的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量.

泸*1x

W=EX二xf（x）dx=0=xePx-v，用v1

1n_

~?

Xi=X.

ni-1

—1n

（2）E（另=E（X）E（Xj）=E（X）「，所以该估计量是无偏估计.

ni二

五、（本题10分）设总体X的概率密度函数为f（x;v）=（1…0：

：

：

x：

：

：

1，其中未知参数v.-1,

（X1,X2，川Xn）是来自总体X的一个样本，试求参数二的极大似然估计.

解：

『n

L®J（"野）,O"

i0,其它

当0:

:

xi:

:

1时，lnL（v）=nIn（）1）八InXj,令dlnL（）nInx=0，得

i#d日日+1im

'Inxi

id

AeF-x>0；

六、（本题10分）设总体X的密度函数为f（x*）=」」''未知参数扎>0,（X1,X2^iXn）

0,x兰0,

1

为总体的一个样本，证明X是一的一个UMVUE

证明：

由指数分布的总体满足正则条件可得

1仏）=壬|丄1nf&沁）1=一£'弓

少」◎丿

另一方面

PQ2》监05（8））=0.005舟叱.05（8）=15.507,

求.

（2）新设H。

y2E0.005,由盂025=17.535戶鼻2=87=15.68£17.535,则接受假设，

0.005

即可以认为苹果重量标准差指标达到要求.

八、（本题10分）已知两个总体X与Y独立，X~（%；「；）,Y~（」2,打），-\,」2,时，打未知,

（X1,X2dH,X^）和（Y1,YJI|,Yn2）分别是来自

解:

设sX,sY分别表示总体X,Y的样本方差，由抽样分布定理可知

（n1「叫2（m-1）,

（n2_1）S^U2（n2-1）,

由F分布的定义可得

对于置信度1,查F分布表找F：

/2（n1-1,nT）和丘加山-1,匕-1）使得

P〔F-./2（Hl-1,n2-1）：

：

：

F:

:

:

F1—/2（m-1,n2-1）丨=1-「，

_2

所求二2的置信度为i「二的置信区间为

2

九、（本题10分）试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤.

解：

建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测.

江西理工大学数理统计考试试卷

一、填空题（本题15分，每题3分）

1、总体X〜N（20,3）的容量分别为10,15的两独立样本均值差X-Y〜;

2、设X「X2,…公花为取自总体X〜N（0,0.52）的一个样本，若已知监。

1（16）=32.0,则

16

P{5：

Xi2兰8}=;

i4

22

3、设总体X〜N（♦二），若「和二均未知，n为样本容量，总体均值J的置信水平为1--的置信区

间为（X—扎X+扎），则丸的值为；

4、设X1,X2,...,Xn为取自总体X〜N（i,；「2）的一个样本，对于给定的显著性水平［，已知关于匚2检验

的拒绝域为"w■/j©（n-1），则相应的备择假设H1为;

5、设总体X〜N（J；「2），二2已知，在显著性水平0.05下，检验假设H。

：

」」。

屮1：

」：

：

」o，拒绝域是

二、选择题（本题15分，每题3分）

1、设X1,X2,X3是取自总体X的一个样本，［是未知参数，以下函数是统计量的为（）。

1132

（A）：

（X1X2X3）（B）X1X2X3（C）X1X2X3（D）一、（Xi-：

）2

a3y

1n

2、设X1,X2,...,Xn为取自总体X〜N（~；「2）的样本，X为样本均值，S2（Xi-X）2，则服从自由

ni=1

度为n-1的t分布的统计量为（

（A）

n（乂一*

（B）

Sn

.n1区・i）

CJ

（D）

Sn

3、设Xi,X2，…,Xn是来自总体的样本,则（）。

D（X）=；「2存在，s2L'（Xi_X）2,

n_1y

（A）S2是匚2的矩估计

（B）S2是匚2的极大似然估计

（C）S2是二2的无偏估计和相合估计

（D）S2作为匚2的估计其优良性与分布有关

s2,M，在

4、设总体X〜N（叫，打）,丫〜N（-,；打）相互独立，样本容量分别为ni,n2,样本方差分别为

显著性水平:

-下，检验H0:

G2_匚；，H!

:

打：

：

：

~1的拒绝域为（）。

2

（C）—2兰F鼻（ni-1“2—1）

si

I的置信水平

：

」-5.0的结

5、设总体X〜N（J；「2），二2已知，」未知，Xi,X2，…，Xn是来自总体的样本观察值，已知

为0.95的置信区间为（4.71，5.69），则取显著性水平a=0.05时，检验假设H。

：

卩=5.0,Hi果是（）。

（A）不能确定（B）接受H。

（C）拒绝H。

（D）条件不足无法检验

1、B；2、D;3、C;4、A；5、B.

参数二0，Xi,…，Xn是来自X的样本，求

（1）V的矩估计；

（2）V的极大似然估计。

解:

_23—

令E（）?

HX，得?

X为参数二的矩估计量。

32

n2x2nn

（2）似然函数为：

L（x,）=r［詁=討口Xi,0

i*廿廿y

而Lp）是二的单调减少函数，所以二的极大似然估计量为彳二max{Xi,X2，…，Xn}。

四、（本题14分）设总体X〜N（0,；「2），且是样本观察值，样本方差s2=2,

的置信水平为0.95的

（1）求匚2的置信水平为0.95的置信区间；

（2）已知Y二笃〜2

（1），求D

a

置信区间；（20.975

（9）=2.70，7.爲25（9）=19.023）。

解:

（1）

；「2的置信水平为0.95的置信区间为

1818

（9）^0.975（9）;

2

0.025

，即为（0.9462,6.6667）;

（2）

dX；=

:

3

1

—D

CF

由于D

厶是匚2的单调减少函数，置信区间为

即为（0.3000，2.1137）。

五、（本题10分）设总体X服从参数为d的指数分布，其中d0未知，X1，…，Xn为取自总体X的样本，

2n2

若已知UXi~2（2n），求：

日y

（1）二的置信水平为1的单侧置信下限；

（2）某种元件的寿命（单位：

h）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本，测得样本均值为5010

（h），试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。

（空05（31）=44.985,益10（32）=42.585）。

六、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度X〜N（10,1），今阶段性抽取10个水

样，测得平均浓度为10.8（mg/L），标准差为1.2（mg/L），问该工厂生产是否正常？

（a=0.05,t°Q25（9）=2.2622，鴛025（9）=19.023，鬍975（9）=2.700）解:

（1）检验假设

H0：

二=1,H1：

二丰1；取统计量：

=—；

拒绝域为：

2<-1）=0.975（9）=2.70或>2（n-1）=0.025=19.023,

~2~2

经计算：

22

2_（n-?

s91.212.96，由于2_12.96（2.700,19.023）2,

61

故接受Ho,即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为c2=1。

10A—10

拒绝域为t>t0025（9）=2.2622t=心.。

二=2.1028<2,2622，所以接受H：

，1.2/J10

即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L）。

综上，认为工厂生产正常。

七、（本题10分）设X1,X2,X3,X4为取自总体X〜N（・i,42）的样本，对假设检验问题H。

：

亠=5,H1：

）=5，

（1）在显著性水平0.05下求拒绝域；

（2）若」=6,求上述检验所犯的第二类错误的概率一：

。

解:

（1）拒绝域为z=|—|=|x£5^Xz0.025=1.96;

（2）由

（1）解得接受域为（1.08，8.92），当4=6时，接受H0的概率为

R-冷勺.92—6、不［1.08—6、

E=P{1.08cXc8.92}=①|一爭|=0.921。

『I2丿i2丿

1

八、（本题8分）设随机变量X服从自由度为（m,n）的F分布，

（1）证明：

随机变量—服从X

自由度为（n,m）的F分布；

（2）若m=n，且P{X:

；t}=0.05，求P{X•丄}的值。

a

证明：

因为X~F（m,n）,由F分布的定义可令X=匕山，其中U~2（m）,V~2（n），u与V相互独立,

V/n

1V/n

所以~F（n,m）。

XU/m

当m二n时，X与丄服从自由度为（n,n）的F分布，故有P{^-}=P{X-}，

Xa

数理统计试卷参考答案

一、填空题（本题15分，每题3分）

1S22

1、N（0厂）；2、0.01;3、t-（n—1）——;4、匚叮匚。

；5、z_—Zo.°5。

n

:

■、选择题（本题15分，每题3分）

1、B；2、D;3、C;4、A;5、B.

2x22

三、（本题14分）解：

（1）E（X）二［xf（x）dxpdxn—二，

f0十3

23—

令E（）?

HX，得弓X为参数二的矩估计量。

32

n2x・2nn

（2）似然函数为：

L（x「巧=口詁=討口Xi,OvXivq（i=1,2,…,n），

i=1匕Bi=i

而L（R是二的单调减少函数，所以v的极大似然估计量为彳二max{X「X2，…，Xn}。

四、（本题14分）解:

Z单侧置信下限—養；（刀三二雹8答3764.706。

六、（本题14分）解:

拒绝域为：

2W-1）=0.975（9）=2.70或2>1）=0.025=19.023,

~2~2

经计算：

22

2=（n_?

S12.96，由于2=12.96（2.700,19.023）2,

%1

故接受H0,即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为c2=1。

拒绝域为t_t。

025（9）=2.2622；t=10.8_10=2.1028<2.2622，所以接受H。

1.2M/10

即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L）。

综上，认为工厂生产正常。

（2）由⑴解得接受域为（1.08,8.92）,当4=6时，接受Ho的概率为

八、（本题8分）证明：

因为X~F（m,n）,由F分布的定义可令X二匕丄，其中U~2（m）,V〜2（n）,

V/n

1v/n

U与V相互独立，所以一二F（n,m）。

XU/m当m=n时，X与丄服从自由度为（n,n）的F分布，故有P{X.：

•}=P{X.-}，

Xa

111

从而P{X}=P{}=1-P{}=1—P{x.：

}=1-0.05=0.95。

XX

1.设总体X的概率密度函数为:

X2

f（x）=!

e20）

试用矩法和极大似然法估计其中的未知参数：

解:

（1）矩法由于EX为0，

*3'-

x2

■：

212.

）XYdx

EX2二x2f（x）dx

=2

X2

y1dx

2

DX=EX2_E2X一：

2、二

2

令DX二S2得：

？

二

（2）极大似然法

1n

I2

InL=-nIn2'xi

l>"i-1

2.

设总体X的概率密度函数为

估计其未知参数v解：

（1）矩法

一xf（x）dx=0

22

-x_L

°lx）d（eN）珂-xe^］。

"

X2

=0e^^dx

X2

故e2于dx二二0

令EX二X

所以—2x

（2）极大似然法

2

Xi

1

InL=-2nIn二In（丨丨xi）-

iT

dInL2n1J2

3xid■3i^i

令dl^L=0得2=d-

、x2

i丄

2n

3.设总体X的概率密度函数为:

1.

exp（_（x_：

）/：

）,x_：

匚

0,x:

:

其中1>0,现从总体X中抽取一组样本，其观测值为（2.21,2.23,2.25,2.16,2.14,

2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。

试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数a和B。

解：

（1）矩法

经统计得：

X=2.176,^0.063

令」

"ex=X

DX=S2

故？

=X-S=2.116,?

=S=0.063

（2）极大似然法

i=1

InL--nln一：

-？

（X-：

）

n

elnL

nn

0=—

「2（X「）

dnL

aot

因为lnL是L的增函数，又X11X2/,Xn-:

所以：

？

=X（i）=2.05

令^=0得—X（“=0.126dr

4.已知总体'的分布密度函数为:

f（x;8）=<2‘

0,其它

（1）用矩法估计其未知参数v

（2）用极大似然法估计其未知参数二。

解：

（1）E

dV0,故L的单调性―无关

又~1<1，；，…，\1

?

可以取［（n）_1,

（1）'1］。

5.设正态总体的方差二2已知，X为总体的一组容量为n的样本的平均值。

在给定的显著性水

0,

平〉情况下，检验假设H。

：

"-J;Hi：

"-U%时，犯第二类错误的概率为1,试验证

-2

--「。

（山」-10），并由此推倒出关系式n=（5—u—）22。

▽/Un（气―％）

P=P｛接受H。

卩=已｝

证：

解：

根据犯第二类错误的概率的定义，有

PX-出叫+5我石一’

二P-：

.nn

L1_Ll

-：

-o（u—）

匚/...n

6.用机床生产某种滚珠，现从中随机地抽取8只滚珠，测得其直径（单位：

mm为：

15.0，

14.5，15.2，15.5,14.8，15.1,15.2,14.8。

现对机床进行维护保养后继续进行生产，从中随机地抽取9只滚珠，测得其直径（单位：

mm）为：

15.1,15.0,14.8,15.2,14.9,15.0,

14.9,15.1,14.8。

假设保养前后生产的滚珠直径都服从正态分布。

试问保养后机床的加工精

度是否显著提高了（〉m。

5）解：

设保养前生产的滚珠直径服从正态分布N（a1，G2），保养后生产的滚珠直径服从正态分布

N（a2,；-2）。

问题归结为检验假设H。

j）2-；「2屮1:

「2•二；

经统计得：

*2

X1=15.0125,S10.09554

X2=14.9778,S；2=0.01944

*2

F°鸟=4.915

S2

查表得：

F1n1—1n2一D=F0.95（7,8）=3.50

因为F0-F^?

（n1-1,n2-1）

所以拒绝H。

，即可以认为保养后机床的加工精度是显著提高了

7.已知用精料养鸡时，经若干天，鸡的平均重量为2kg。

现对一批鸡改用粗料饲养，同时改

进饲养方法，经过同样长的饲养期，随机抽取10只，得重量分别为（单位：

kg）：

2.15,1.85,1.90,2.05,1.95,2.30,2.35,2.50,2.25,1.90

经验表明，同一批鸡的重量服从正态分布N（」，匚2），试判断关于这一批鸡的重量的假

设：

H。

：

二-2；H1：

—2.18（:

=0.1）。

解：

H0:

二-2；H1:

二-2.18

经统计得：

X=2.12，S2=0.0451，S=0.2124

查表得：

to.90（9）=1.3830

S—

接受域为：

（-°°,x+tg（n-1）；）即（-°o22179）

%'n-1

X=2.12A,.接受H。

。

8.从甲、乙两个分厂的铸铁中分别抽取样本容量为9和8的样本，分别计算后得到含碳量（%

的平均数及校正样本方差为：

*2

甲厂：

2=0.23,$=0.1337,m二9

*2

乙厂：

y=0.269,S2=0.1636,n2=8。

设甲、乙两个分厂铸铁的含碳量都服从正态分布且相互独立，问这两个分厂铸铁的含碳

量的平均值可否看作一样（：

-=0.05）？

解：

假设甲、乙两厂的铸铁的含碳量分别服从山亠,；）2）、

问题归结为检验假设H。

：

叫“、；H1：

11

因为方差未知，又不知方差是否相等，所以应先检验假设

H°⑴：

二=2；H；1）:

二12+2

用F检验法，H0°的接受域为：

*2

S1>t、卜*2*2

F-5—1,门2-1）:

:

F17（因为S1:

:

S2）

iS2

*2

510.1337

现在n1=9,n2=8，—20.817

520.1636

查表得：

F：

（n-1,n2一1）=F0Q25（8,7）=餐=0.2208

~24.53

因为0.817>0.2208,所以接受H01），即认为方差相等。

在二：

-；「；的情况下，再用T检验法检验H。

11

X"23，0.269，”忙+忙"4859，

（9“）0-1337（^1）O'636心843

15

二-0.2089

查表得：

t（rh+压—2）=t°975（15）=2.1315

12

因为T讥1：

.（n1“2-2），所以接受H。

，即可以认为两个分厂铸铁的含碳量的平均

~2

值一样。

9.卢瑟福盖革观察在7.5秒的时间间隔里到达某个计数器的由某块放射性物质放射出的:

质

点数，共观察了2611次，得到下表：

j012345678910-10

j572033835255354082731394527160

其中j是〉质点数，j是在一次观察中到达的:

-质点数为j的观察次数。

问在7.5秒中到达计数器的:

-质点数X是否服从泊松分布（〉二0.05）？

解：

Ho：

F（x）=F°（x）；H1:

F（x）=F°（x）

其中F（x）为X的分布函数，F°（x）是参数为•的泊松分布的分布函数

j

jj

Pj

nPj

2/nPj

0

57

0.020858

54.46

59.66

1

203

0.0807

210.76

195.53

2

383

0.15619

407.82

359.69

3

525

0.2015

526.09

523.91

4

535

0.19494

508.99

562.34

5

408

0.1509

393.96

422.54

6

273

0.09732

254.10

293.31

7

139

0.0538

140.48

137.54

8

45

0.02603

67.96

29.80

9

27

0.0112

29.22

24.95

_10

16

0.006562

17.13

14.94

2611

1

2611

2624.21

10

<2八j

j-n=2624.21-

2611=13.21

j=0

查表得：

12-a（m_r-1）=*

0.95（11-1-1）=