集合与常用逻辑用语复习教案.docx
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集合与常用逻辑用语复习教案
第一节集合
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1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系.
2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
4.在具体情境中,了解全集与空集的含义.
5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
7.能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
一、必备知识
1.元素与集合
(1)集合元素的特性:
确定性、互异性、无序性.
(2)集合与元素的关系:
若a属于集合A,记作a∈A;若b不属于集合A,记作b∉A.
(3)集合的表示方法:
列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集及其符号表示
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N+
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
文字语言
记法
集合
间的
基本
关系
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A
A
B或B
A
相等
集合A的每一个元素都是集合B的元素,集合B的每一个元素也都是集合A的元素
A⊆B且B⊆A⇔A=B
空集
空集是任何集合的子集
∅⊆A
空集是任何非空集合的真子集
∅
B且B≠∅
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集合A的补集为∁UA
图形表示
意义
{x|x∈A,或x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
二、必记结论
1.A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B.
2.A∩A=A,A∩∅=∅.
3.A∪A=A,A∪∅=A.
4.A∩∁UA=∅,A∪∁UA=U,∁U(∁UA)=A.
5.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)=∅.
6.若集合A中含有n个元素,则它的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.
一、思考辨析
判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A,B,C表示同一个集合.( )
(2)若a在集合A中,则可用符号表示为a⊆A.( )
(3){1,2,3}={3,2,1}.( )
(4){0}=∅.( )
(5)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)总成立.( )
(6)若A∩B=A∩C,则B=C.( )
提示:
(1)错误.A是函数y=x2的定义域,即A=R;B是函数y=x2的值域,即B=
{y|y≥0};C是抛物线y=x2上的点组成的集合.
(2)错误.元素与集合间的关系为“∈”或“∉”,a在集合A中,可用符号表示为a∈A.
(3)正确.集合中元素的无序性的体现.
(4)错误.∅是空集,不含有任何元素;而{0}是含有一个元素0的单元素集合.
(5)正确.借助Venn图可知,(A∩B)⊆(A∪B)总是成立.
(6)错误.若A=∅,或A⊆B且A⊆C时,原题关系也成立,而集合B与C不一定相等.
答案:
(1)×
(2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)×
二、牛刀小试
1.(2014·北京高考)已知集合A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则A∩B=( )
A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2}
解析:
选C ∵A={x|x2-2x=0}={0,2},B={0,1,2},∴A∩B={0,2},故选C.
2.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=( )
A.[-2,-1]B.[-1,2)
C.[-1,1]D.[1,2)
解析:
选A A={x|x≤-1或x≥3},故A∩B=[-2,-1],选A.
3.(2014·辽宁高考)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=( )
A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}
解析:
选D A∪B={x|x≤0或x≥1},所以∁U(A∪B)={x|0 4.设A={-1,1,5},B={a+2,a2+4},A∩B={5},则实数a的值为( ) A.3B.1C.±1D.1或3 解析: 选D 因为A∩B=5,所以a+2=5或a2+4=5.当a+2=5时,a=3;当a2+4=5时,a=±1,又a=-1时,B={1,5},而此时A∩B={1,5}≠{5},故a=1或3. 5.设集合A={x|x2+2x-8<0},B={x|x<1},则图中阴影部分表示的集合为________. 解析: 阴影部分是A∩∁RB.集合A={x|-4<x<2},∁RB={x|x≥1},所以A∩∁RB={x|1≤x<2}. 答案: {x|1≤x<2} 考点一 集合的基本概念 [例1] (1)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( ) A.3B.4C.5D.6 (2)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=( ) A. B. C.0D.0或 [听前试做] (1)由题意可知,集合M={5,6,7,8},因此共4个元素. (2)若集合A中只有一个元素, 则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根. 当a=0时,x= ,符合题意; 当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a= , 所以a的值为0或 . 答案: (1)B (2)D 方法规律 解决集合的概念问题应关注两点 (1)研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件.当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么. (2)对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合是否满足互异性. 1.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}= ,则b-a=( ) A.1B.-1C.2D.-2 解析: 选C 因为{1,a+b,a}= ,a≠0,所以a+b=0,即 =-1,所以a=-1,b=1.所以b-a=2. 2.设集合A={2,3,a2+2a-3},集合B={|a+3|,2},已知5∈A,且5∉B,则a的值为________. 解析: 由于5∈A,且A={2,3,a2+2a-3}, ∴a2+2a-3=5,解得a=2或a=-4. 当a=2时,B={5,2},不符合条件5∉B,∴a=2不符合题意,应舍去; 当a=-4时,B={1,2},符合条件5∉B,∴a=-4. 答案: -4 考点二 集合间的基本关系 题根迁移多维探究 [例2] (1)已知集合A={x|y= ,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则( ) A.A BB.B A C.A⊆BD.B⊆A (2)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为________. [听前试做] (1)由题意知A={x|y= ,x∈R},∴A={x|-1≤x≤1}, ∴B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1},∴BA,故选B. (2)∵B⊆A, ∴①若B=∅,则2m-1 ②若B≠∅,则 解得2≤m≤3. 由①、②可得,符合题意的实数m的取值范围为m≤3. 答案: (1)B (2)(-∞,3] [探究1] 在本例 (2)中,若A⊆B,如何求解? 解: 若A⊆B,则 即 所以m的取值范围为∅. [探究2] 若将本例 (2)中的集合A改为A={x|x<-2或x>5},如何求解? 解: ∵B⊆A, ∴①当B=∅时,即2m-1 ②当B≠∅时, 或 解得 或 即m>4. 综上可知,实数m的取值范围为(-∞,2)∪(4,+∞). [探究3] 若将本例 (2)中的集合A,B分别更换为A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},如何求解? 解: ①若B=∅,则Δ=m2-4<0,解得-2<m<2; ②若1∈B,则12+m+1=0,解得m=-2,此时B={1},符合题意; ③若2∈B,则22+2m+1=0,解得m=- ,此时B= ,不合题意. 综上所述,实数m的取值范围为[-2,2). 方法规律 根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素,对子集是否为空集进行分类讨论,做到不漏解. (1)若集合元素是一一列举的,依据集合间的关系,转化为解方程(组)求解,此时注意集合中元素的互异性; (2)若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到. 1.(2015·济南模拟)设集合A={x|1 A.{a|a≤2}B.{a|a≤1} C.{a|a≥1}D.{a|a≥2} 解析: 选D 由A={x|1 2.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 A.1B.2C.3D.4 解析: 选D 因为集合A={1,2},B={1,2,3,4},所以当满足A⊆C⊆B时,集合C可以为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},故满足条件的集合C有4个. 考点三 集合的基本运算 高频考点发散思维 有关集合运算的考题,在高考中多以选择题或填空题的形式呈现,试题难度不大,多为低档题,且主要有以下几个命题角度: 角度一: 离散型数集间的交、并、补运算 [例3] (2014·重庆高考)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁UA)∩B=________. [听前试做] 依题意得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},∁UA={4,6,7,9,10},(∁UA)∩B={7,9}. 答案: {7,9} 角度二: 连续型数集间的交、并、补运算 [例4] (2014·山东高考)设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=( ) A.[0,2]B.(1,3) C.[1,3)D.(1,4) [听前试做] 因为|x-1|<2⇔-2 答案: C 角度三: 已知集合的运算结果求集合 [例5] 设全集U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩∁UN={2,4},则N=( ) A.{1,2,3}B.{1,3,5} C.{1,4,5}D.{2,3,4} [听前试做] 画出Venn图,阴影部分为M∩∁UN={2,4},∴N={1,3,5}. 答案: B 角度四: 已知集合的运算结果求参数 [例6] 已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________. [听前试做] A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5<x<1},由A∩B=(-1,n),可知m<1,则B={x|m<x<2},画出数轴,可得m=-1,n=1. 答案: -1 1 方法规律 集合运算问题的常见类型及解题策略 (1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解; (2)连续型数集的运算,常借助数轴求解; (3)已知集合的运算结果求集合,常借助数轴或Venn图求解; (4)根据集合运算结果求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解. 1.(2015·宁波模拟) 设全集U=R,A={x|x(x+3)<0},B={x|x<-1},则图中阴影部分表示的集合为( ) A.{x|-3 B.{x|-3 C.{x|-1≤x<0} D.{x|x<-3} 解析: 选C 因为A={x|x(x+3)<0}={x|-3 2.(2015·福州模拟)已知集合M={y|y=x2-1,x∈R},N={y|y=2-x2},则M∩N=( ) A.[-1,+∞)B.[-1,2] C.[-1, ]D.∅ 解析: 选B M={y|y=x2-1,x∈R}={y|y≥-1},N={y|y=2-x2}={y|y≤2},所以M∩N=[-1,2],故选B. 3.(2015·龙岩模拟)已知集合A={1,2,3},B∩A={3},B∪A={1,2,3,4,5},则集合B的子集的个数为( ) A.6B.7C.8D.9 解析: 选C 由题意知B={3,4,5},集合B含有3个元素,则其子集个数为23=8. 4.(2015·郑州模拟)设集合A={x|x2+2x-3>0},B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D.(1,+∞) 解析: 选B 由题意知A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3},因为函数y=f(x)=x2-2ax-1的对称轴为x=a>0,根据对称性可知,要使A∩B中恰含有一个整数,则这个整数解为2,所以有f (2)≤0且f(3)>0,即 所以 即 ≤a< . 考点四 集合中的创新问题 创新背景全新设计 以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点,此类题目常常以“问题”为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,考查考生理解、解决创新问题的能力.归纳起来常见的命题角度有: 角度一: 创新集合新定义 创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合,对集合的知识加以创新,结合相应的数学知识,来解决创新集合的新定义问题. [例7] 如果集合A满足“若x∈A,则-x∈A”,那么就称集合A为“对称集合”.已知集合A={2x,0,x2+x},且A是对称集合,集合B是自然数集,则A∩B=________. [听前试做] 由题意可知-2x=x2+x,所以x=0或x=-3.而当x=0时不符合集合中元素的互异性,所以舍去.当x=-3时,A={-6,0,6},所以A∩B={0,6}. 答案: {0,6} 角度二: 创新集合新运算 创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则,并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等,从而达到解决问题的目的. [例8] 对于任意两个正整数m,n,定义运算(用⊕表示运算符号): 当m,n都是正偶数或都是正奇数时,m⊕n=m+n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m⊕n=m×n.例如4⊕6=4+6=10,3⊕7=3+7=10,3⊕4=3×4=12.在上述定义中,集合M={(a,b)|a⊕b=12,a,b∈N*}的元素有________个. [听前试做] m,n同奇同偶时有11组: (1,11),(2,10),…,(11,1);m,n一奇一偶时有4组: (1,12),(12,1),(3,4),(4,3). 答案: 15 角度三: 创新集合新性质 创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题,通过创新性质,结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题. [例9] 对于复数a,b,c,d,若集合S={a,b,c,d}具有性质“对任意x,y∈S,必有xy∈S”,则当 时,b+c+d等于( ) A.1B.-1C.0D.i [听前试做] ∵S={a,b,c,d},由集合中元素的互异性可知当a=1时,b=-1,c2=-1,∴c=±i,由“对任意x,y∈S,必有xy∈S”知±i∈S,∴c=i,d=-i或c=-i,d=i, ∴b+c+d=(-1)+0=-1. 答案: B 方法规律 解决新定义问题应注意以下几点 (1)遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质; (2)按新定义的要求,“照章办事”,逐步分析、验证、运算,使问题得以解决; (3)对于选择题,可以结合选项,通过验证、排除、对比、特值等方法解决. 设S是至少含有两个元素的集合,在S上定义一个二元运算“*”(即对任意的a,b∈S,对于有序元素对(a,b),在S中有唯一确定的元素a*b与之对应).若对任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是( ) A.(a*b)*a=aB.[a*(b*a)]*(a*b)=a C.b*(b*b)=bD.(a*b)*[b*(a*b)]=b 解析: 选A 根据题意“对任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b”,则选项B中,[a*(b*a)]*(a*b)=b*(a*b)=a一定成立;选项C中,b*(b*b)=b一定成立;选项D中(a*b)*[b*(a*b)]=(a*b)*a=b,一定成立,故选A. ———————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 种思想——数形结合思想 Venn图是研究集合的工具,借助Venn图和数轴即数形结合能使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍. 个注意点——解决集合问题应注意的问题 (1)认清元素的属性.解决集合问题时,认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. (2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误. (3)防范空集.在解决有关A∩B=∅,A⊆B等集合问题时,往往忽略空集的情况,一定先考虑∅是否成立,以防漏解. 一、选择题 1.(2014·新课标全国卷Ⅱ)设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=( ) A.{1} B.{2}C.{0,1}D.{1,2} 解析: 选D N={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},又M={0,1,2},所以M∩N={1,2}. 2.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( ) A.5B.4C.3D.2 解析: 选C 当x=-1,y=0时,z=-1;当x=-1,y=2时,z=1;当x=1,y=0时,z=1;当x=1,y=2时,z=3.故z的值为-1,1,3,故所求集合为{-1,1,3},共含有3个元素. 3.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有( ) A.2个B.4个C.6个D.8个 解析: 选B 由M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},可求出P=M∩N={1,3},所以P的子集共有22=4个,故选B. 4.集合A={x|2015 A.{a|a≥2015}B.{a|a≤2015} C.{a|a≥2016}D.{a|a≤2016} 解析: 选C 将集合A={x|2015 因为A∩B=∅,所以a≥2016,故选C. 5.已知集合A={1,2a},B={a,b},若A∩B= ,则A∪B=( ) A. B. C. D. 解析: 选D 由A∩B= ,得2a= ,解得a=-1,从而b= .所以A= ,B= ,则A∪B= . 6.已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|y=ln(x-2)},则(∁RB)∩A=( ) A.{x|-2≤x<1}B.{x|-2≤x≤2} C.{x|1 解析: 选C 集合A={x|1 则(∁RB)∩A={x|1 7.设集合U={-1,1,2,3},M={x|x2-5x+p=0},若∁UM={-1,1},则实数p的值为( ) A.-6B.-4C.4D.6 解析: 选D 由已知条件可得M={2,3},则2,3是方程x2-5x+p=0的两根,则p=6,故选D. 8.(2015·西安模拟)已知集合A={x|1≤x<5},B={x|-a<x≤a+3}.若B⊆(A∩B),则a的取值范围为( ) A. B. C.(-∞,-1]D. 解析: 选C 因为B⊆(A∩B),所以B⊆A. ①当B=∅时,满足B⊆A,此时-a≥a+3,即a≤- ; ②当B≠∅时,要使B⊆A,则 解得- <a≤-1. 由①②可知,a的取值范围为(-∞,-1]. 二、填空题 9.(2015·济南模拟)已知集合M={1,m},N={n,log2n},若M=N,则(m-n)2015=________. 解析: 因为M=N,所以 或 即 或 故(m-n)2015=-1或0. 答案: -1或0 10.(2015·昆明模拟)若集合A={x|x2-9x<0,x∈N*},B= ,则A∩B中元素的个数为________. 解析: 解不等式x2-9x<0可得0 ∈N*,y∈N*,所以y可以为1,2,4,所以B={1,2,4},所以A∩B=B,A∩B中元素的个数为3. 答案: 3 11.(2015·南充调研)已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是________. 解析: 集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],因为A⊆B,所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,即实数a-b的取值范围是(-∞,-2]. 答案: (-∞,-2] 12.设A、B是两个非空集合,定义运算A×B={x|x∈A∪B且x∉A∩B},已知A={x|y= },B={y|y=2x,x>0},则A×B=________________. 解析: 由题意得A={x|2x-x2≥0}={x|0≤x≤2},B={y|y>1}.所以A∪B=[0,+∞),A∩B=(1,2],所以A×B=[0,1]∪(2,+∞). 答案: [0,1]∪(2,+∞) 1.已知集合A= ,B={x|log2(x+1)≤1,x∈N},S⊆A,S∩B≠∅,则集合S的个数为( ) A.0B.2C.4D.8 解析: 选C 法一: 从0开始逐一验证自然数可知A={1,2,3}
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