概率论与数理统计答案5.docx
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概率论与数理统计答案5
概率论与数理统计答案(5)
习题五
1■一颗骰子连续掷4次,点数总和记为X.估计
P{10 【解】设Xi表每次掷的点数,则X4Xi i1 11 1 1 1 1 7 E(Xi) 12- 3 4 56 1 66 6 6 6 6 2 2 212 1 .2 1 2 12 1 21 E(Xi) 12 — 3 — 4 5 — 6— 6 6 6 6 6 6 91 6 从 2 2291735 D(XJE(XJ[E(XJ] 6212 又X1,X2,X3,X4独立同分布. 使一批产品的合格率达到在76%与84%之 间的概率不小于90%,问这批产品至少要生产多少件? 而至少要生产«件,则,=12且 X】,X,乂独立同分布,p=P{X^l}=山&现要求码使得 甘 F{0.76<旦一<0.84}>09 n 即 由中心极限定理得 (O.S^-O.Srt^ cb f0.76/1-0.8/^ •V0.16«> <]> >0.9. 整理得①普\: 0.95,查表醤nig 3.某车间有同型号机床200部,每部机床开动 的概率为0,7,假定各机床开动与否互不影响,开动时每部机床消耗电能15个单位•问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量,应先确定此车间同时开动的机床数目最大值擀,而從 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m的概率为95%,于是我们只要 供应15m单位电能就可满足要求.令X表同时开 E(X)140,D(X)42, 查表知m2401.64,,m=151. 所以供电能151X15=2265(单位). 4.一加法器同时收到20个噪声电压V(k=1,2,…,20),设它们是相互独立的随机变量,且都在区间(0,10)上服从均匀分布.记 20 V=Vk,求P{V>105}的近似值. k1 【解】易知: E(Vk)=5,D(Vk)=1100)k=1)2)-,20 由中心极限定理知,随机变量 P补1000.3871(0.387)0.348, 10「20 12 即 P{V>105}〜0.348 5.有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度 不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根,问其中至少有30根短于3m的概率是多少? 【解】设100根中有X根短于3m,则X〜B(100,0.2) 从而 P{X30}1P{X30}1-301000.2 V1000.20.8 1(2.5)10.99380.0062. 6.某药厂断言,该厂生产的某种药品对于医治 一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人,如果其中多于75人治愈,就接受这一断言,否则就拒绝这一断言. (1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.8,问接受这一断言的概率是多少? (2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.7,问接受这一断言的概率是多少? 100 Xi. i1 (1)X~B(100,0.8), 7.用Laplace中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中,任取1000件,其中有20件废品的概率. 【解】令1000件中废品数X,则 p=0.05,n=1000,X〜B(1000,0.05), E(X)=50,D(X)=47.5. 30 6.895 1 304.5106. 6.895 6.895 P{X20} 2050 8.设有30个电子器件•它们的使用寿命Ti,…,T30服从参数? =0.1[单位: (小时)-1]的指数分布,其使用情况是第一个损坏第二个立即使用,以此类推•令T为30个器件使用的总计时间,求T超过350小时的概率. 率保证够用(假定一年有306个工作日,每个工作日为8小时). 【解】设至少需n件才够用.则E(Ti)=10, D(Ti)=100, E(T)=10n, 所以需272a元. 10.对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量,设一个学生无家长、1 名家长、2名家长来参加会议的概率分别为 0.05,0.8,0.15若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相与独立,且服从同一分布. (1)求参加会议的家长数X超过450的概率? (2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 【解】 (1)以Xi(i=1,2,…,40(记第i个学生来参加会议的家长数.则Xi的分布律为 Xi012 P0.050.80.15 易知E(Xi=1.1),D(Xi)=0.19,i=1,2,…,400.而X400X,,由中心极限定理得 i 1(1.147)0.1357. (2)以Y记有一名家长来参加会议的学生数.则丫〜B(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得 P{Y340 340_400_0.8(2.5)0.9938. 、4000.80.2 11.设男孩出生率为0.515,求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率? 【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数,则 X~B(10000,0.515)要求女孩个数不 少于男孩个数的概率,即求 P{X<5000}.由中心极限定理有 P{X5000}500°_10000055(3)1⑶0.00135. V100000.5150.485 12.设有1000个人独立行动,每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估计,在一次行动中: (1)至少有多少个人能够进入? (2)至多有多少人能够进入? 【解】用Xi表第i个人能够按时进入掩蔽体 (i=1,2,…,1000. Sn=X1+X2+…+X1000. (1)设至少有m人能够进入掩蔽体,要求 P{m詬nW1000}>5.9事件 由中心极限定理知: m9000.05, 90 咋01.65, .90 M99°0=1.65,M=900+15.65=915.65~9人. 13.在一定保险公司里有10000人参加保险,每人每年付12元保险费,在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公 司领得1000元赔偿费■求: (1)保险公司没有利润的概率为多大; (2)保险公司一年的利润不少于60000 元的概率为多大? 【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数,则X〜B(10000,0.006). (1)公司没有利润当且仅当100X=10000X12即X=120”. 于是所求概率为 P{X120}二1他」0000—0.006— J100000.0060.994^100000.0060.994 _1__60_ 一59.64,59.64 30.1811 0.0517e0 (2)因为公司利润》60000当且仅当0XW60”于是所求概率为 14.设随机变量X和丫的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5试根据契 比雪夫不等式给出P{|X-Y|>6勺估计. (2001研考) 【解】令Z=X-Y,有 E(Z)O,D(Z)D(XY)D(X)D(Y)2xpjD(X)g/DY)3. D(XY)31 2 623612 所以 P{|ZE(Z)|6}P{|XY|6} 15.某保险公司多年统计资料表明,在索赔户 中,被盗索赔户占20%,以X表示在随机 抽查的100个索赔户中,因被盗向保险公司索赔的户数. (1)写出X的概率分布; (2)利用中心极限定理,求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值. (1988研考) 【解】 (1)X可看作100次重复独立试验中,被盗户数出现的次数,而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2,因此, X〜B(100,0.2),故X的概率分布是 kk100k P{Xk}C1000.20.8,k1,2,L,100. (2)被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件{14 由中心极限定理,得 P{14X30}3°他°・2141000.2 J1000.20.8J1000.20.8 (2.5)(1.5)0.994[9.33]0.927. 16.一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量 是随机的.假设每箱平均重50千克,标准差为5千克,若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977. 【解】设Xi(i=1,2,・・n)是装运i箱的重量(单位: 千克),n为所求的箱数,由条件知,可把X1,X2,…,Xn视为独立同分布的随机变量,而n箱的总重量Tn=X1+X2+・・・+Xn是独立同分布随机变量之和,由条件知: E(XJ50,jD(XJ5, E(TJ50n,jD(TJ5药. 依中心极限定理,当n较大时,罟近似地n(0,1),故箱数n取决于条件 P{Tn5000}PTn50n 57n 500050n 5n 100010n 因此可从100010n2解出n<98.0199, Iw'n 即最多可装98箱.
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