第三章假设检验.docx
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第三章假设检验
第三章假设检验
3.2一种元件,要求其使用寿命不低于1000(小时),现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950(小时)。
已知这种元
件寿命服从标准差100(小时)的正态分布,试在显著水平0.05下确
定这批元件是否合格。
解:
提出假设:
H0:
1000,H1:
1000
构造统计量:
此问题情形属于u检验,故用统计量:
u=X0
1n
此题中:
950
0
100
n=25
0
1000
x
代入上式得:
u=950-10002.5
10025
拒绝域:
V=uu1
本题中:
0.05
u0.95
1.64
即,
拒绝原假设
H0
uu0.95
认为在置信水平
5下这批元件不合格。
0.0
3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为(%):
3.253.273.243.263.24
设测定值服从正态分布,问在0.01下能否接受假设,这批矿砂的镍
含量为3.25?
解:
n=5;
x=zeros(1,n);
x=[3.253.273.243.263.24];
x1=sum(x)/n;
x2=0;
fori=1:
n
x2=x2+(x(1,i)-x1)^2;
end
x2=x2/n;
S=sqrt(x2);
提出假设:
H0:
103.25
H1:
10
构造统计量:
本题属于2未知的情形,可用t检验,即取检验统计量为:
t=X0
Sn1
本题中,x3.252,S=0.0117,n=5
代入上式得:
t=
3.252-3.25
0.3419
5
1
0.0117
否定域为:
V=
t>t
(n1)
1-
2
本题中,
0.01,t0.995(4)
4.6041
Qt
t
1
2
接受H0,认为这批矿砂的镍含量为
3.25。
3.5确定某种溶液中的水分,它的10个测定值X0.452%,S0.035%,
设总体为正态分布
N(
2),试在水平5%检验假设:
(i)
H0:
0.5%
H1:
0.5%
(ii)
H0:
0.04%
H1:
0.0.4%
(i)构造统计量:
本文中未知,可用t检验。
取检验统计量为
X
0
t=
n1
S
本题中,X0.452%S=0.035%
代入上式得:
t=
0.452%-0.5%
0.035%
-4.1143
10-1
拒绝域为:
V=
t>t1-(n
1)
本题中,
0.05n=10
t0.95(9)1.8331
t4.1143
拒绝H0
(ii)构造统计量:
未知,可选择统计量
2nS2
2
0
本题中,S
0.035%
n=10
00.04%
代入上式得:
2
2
10(0.035%)
7.6563
(
2
)
0.04%
否定域为:
V=
2
12(n
1)
本题中,
12
(n
1)
02.95(9)
16.919
Q2
12(n1)
接受H0
3.8用重量法和比色法两种方法测定平炉炉渣中
SiO2的含量,得如下
结果
重量法:
n=5次测量,
比色法:
n=5次测量,
X20.5%,S10.206%
Y21.3%,S20.358%
假设两种分析法结果都服从正态分布,问
(i)两种分析方法的精度()是否相同?
(ii)两种分析方法的均值()是否相同?
(0.01)
解:
(i)
提出原假设:
H0:
1
2
H1:
1
2
对此可采用统计量
F=n1(n21)S12
n2(n11)S22
在
H0
下,
(
,
),我们可取否定域为
F:
Fn1
1n2
1
V=
F , n2 1) UF>F (n1 , 1) (n11 1 1n2 2 2 此时P(VH0)= 0.01 本题中,n1 5, x 20.5%, S1=0.206% n1 5, y 21.3%, S1=0.358% 代入上式得: n1(n2 2 5 (5 2 1)S1 1)(0.206%) 0.3311 F= (n 1)S2 5 (5 2 n 2 1)(0.358%) 1 2 1 F0.005(5,5)=0.0669 14.94 F0.995(5,5)=14.94 由于F0.005(5,5) 接受H0即无明显差异。 (ii) 提出假设: H0: 1 2 H1: 1 2 这种未知的场合,用统计量 t= n1n2(n1 n2 2) (XY) n1 n2 n1S12 n2S22 其中S121n1 (XiX)2 S22 1n2 (YiY)2 n1i1 n2i1 在H0成立时,t服从自由度为n1n22的t分布。 否定域为: V= t t ((n1 n2 2)) 1 2 此时P(VH0)= 0.01 本题中,n1 5, x 20.5%, S1=0.206% n1 5, y 21.3%, S1=0.358% 代入上式得: t=n1n2(n1 n2 2) (XY) n1 n2 n1S12 n2S22 5 5 (5 5 2) (20.5% 21.3%) 5 5 5 2 5 2 ( ) ( ) 0.206% 0.358% =-3.8737 t (n1 n2 2) t0.995(8) 3.3554 1- 2 Qt t (n1 n2 2) 1- 2 拒绝H0,即差距显著。 3.9设总体X: N(,4),X1,K,X16为样本,考虑如下检验问题: H0: 0 H1: 1 (i)试证下述三个检验(否定域)犯第一类错误的概率同为 =0.05 V1={2X -1.645} V2= 1.50 2X 2.125 V3=2X1.96或2X1.96 (ii)通过计算他们犯第二类错误的概率,说明哪个检验最好? 解: (i) P x VH0 0.05 即,P U X U U0.9750.05 1 2 这里H0: 0 P X 2*1.96 0.05 V1 2X 1.645 P2X1.645PX0 1.645 (1.645)1(1.645) n =1-0.95=0.05 V2 1.50 2X2.125 X 0 1.50 2.120 n PV2 H0 (2.215) (1.50)0.98 0.930.05 V3 2X1.96或2X1.96 X 0 2X1.96 1.96 n P(V3 H0)=1-P2X1.962(1 (1.96))0.05 (ii) 犯第二类错误的概率 =P-VH1 V: 1 =P 2X1.645 1 1 =P X 1 0.355 1 (0.355) 0.36 n V2: 21 P1.50 2X 2.125 1 X 1 =1-P3.50 4.125 n =1-(4.125)+(3.50) =1 V3: 3P2X1.96 1 =P0.04X13.96 n =(3.96)-(0.04)=0.99996092-0.516=0.48396092 V出现第二类错误的概率最小,即V最好。 11 3.10一骰子投掷了120次,得到下列结果: 点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 23 26 21 20 15 15 问这个骰子是否均匀? ( 0.05) 解: 本题原假设为: H 1 i=1,2,L,6 0: Pi 这里n=120,nPi 6 20 本题采用的统计量为 Pearson 2统计量 即, 2 k (ni npi)2 npi i 1 代入数据为: k(ni 2 2 (15-20 2 2 npi)2(23-20)(26-20 )L ) npi 20 =4.8 i1 2 ( k-1 )= 2()=11.071 1 0.955 由于 2 12(k-1)所以接受H0 即认为这个是均匀的。 3.11某电话站在一小时内接到电话用户的呼唤次数按每分钟记录 的如下表: 呼吸次数 0 1 2 3 4 5 6 >=7 频数 8 16 17 10 6 2 1 0 试问这个分布能看作为泊松分布吗? (=0.05) 解: 检验问题为: H0: P(x k) ke 参数为 k! 已知的最大似然估计 Xnp0 8 1*16L 6* 1 7* 0 L 2 60 60 60 60 P PX 0 20e2 e2 0.1353 1 0! P2 P X 1 21e2 2*e2 0.2707 1! P3 P X 2 22e2 2*e2 0.2707 2! P4 P X 3 23e2 1.5*e2 0.2030 3! P5 P X 4 24e2 2*e2 0.0902 4! 3 P6 P X 5 25e2 4*e2 0.0361 5! 15 P7 P X 6 26e2 4 *e2 0.0120 6! 45 P8 P X 7 1 PX 6 0 2 k (ni npi)2 (8 60*0.1353)2 (16 60*0.2707)2 (160*0.0120)2 npi 60*0.1353 60*0.2707 L i 1 60*0.0120 =0.6145 (下面为MATLAB编程计算程序。 ) 由于 2( k-1 )= 2(5)=11.071 1 0.95 Q 2 12(k-1) 接受H0,即分布可以看作为泊松分布。 n=60; p=zeros(1,7); p=[exp(-2)exp(-2)*2exp(-2)*2exp(-2)*1.5exp(-2)*(2/3)exp(-2)*(4/15)exp(-2)*(8/90)];nn=zeros(1,7); nn=[8161710621]; sum=0; fori=1: 7 sum=sum+((nn(1,i)-n*p(1,i))^2)/(n*p(1,i)); end sum sum=0.6145 3.13从一批滚珠中随机抽取了50个,测得他们的直径为(单位: mm): 15.0 15.8 15.2 15.1 15.9 14.7 14.8 15.5 15.6 15.3 15.1 15.3 15.0 15.6 15.7 14.8 14.5 14.2 14.9 14.9 15.2 15.0 15.3 15.6 15.1 14.9 14.2 14.6 15.8 15.2 15.9 15.2 15.0 14.9 14.8 14.5 15.1 15.5 15.5 15.1 15.1 15.0 15.3 14.7 14.5 15.5 15.0 14.7 14.6 14.2 是否可认为这批滚珠直径服从正态分布? (0.05) 解: 设X为滚球的直径,其分布函数为F(x),则检验问题为 H0: F(x) x ) ( 在H0成立的条件下,参数 ,2的最大似然估计为=15.078,2 0.1833 p1 14.6-15.078 (-1.1163) 0.1321 ( ) 0.4282 p2 (14.8 15.078) (-1.1163) (-0.6492) (-1.1163) 0.1260 0.4282 p3 (15.1 15.078) (-0.6492) (0.0514) (-0.6492) 0.2624 0.4282 p4 (15.415.078) (-0.6492)(0.7520)(0.0514)0.2535 0.4282 p5 1 p1 p2 p3p4 0.2260 12-(k-m-1)= 0.2 95 (2)=5.991 Q 2 2 (k-m-1)=5.991 1- 接受H0 认为滚珠直径服从正态分布。 3-13表 i (ai1,ai) ni pi npi (ninpi)2 npi 1 (0,14.6) 6 0.1321 6.6061 0.0556 2 [14.6,14.8 5 0.1260 6.2976 0.2674 ) 3 [14.8,15.1 13 0.2624 13.1209 0.0011 ) 4 [15.1,15.4 14 0.2535 12.6752 0.1385 ) 5 [15.4,) 12 0.2260 11.3003 0.0433 0.5059 (利用MATLAB编程解决,程序如下) n=50; nn=zeros(1,5); p=zeros(1,5); x=zeros(1,n); t=zeros(1,5); t=[14.614.815.115.416.0]; x=[15.015.815.215.115.914.714.815.515.615.315.115.315.015.615.714.814.514.214.914.915.215.0 15.315.615.114.914.214.615.815.215.915.215.0 14.914.814.515.115.515.515.115.115.015.314.7 14.515.515.014.714.614.2]; x1=sum(x)/n; x2=0; fori=1: n x2=x2+(x(1,i)-x1)^2; end x2=x2/n; x3=sqrt(x2); fori=1: n ifx(1,i) nn(1,1)=nn(1,1)+1; end forj=2: 5 ifx(1,i) nn(1,j)=nn(1,j)+1; end end end fori=1: 4 ifi==1 p(1,i)=normcdf(t(1,i),x1,x3); else p(1,i)=normcdf(t(1,i),x1,x3)-normcdf(t(1,i-1),x1,x3); end end p(1,5)=1-sum(p); pearson=zeros(1,5); fori=1: 5 pearson(1,i)=((nn(1,i)-n*p(1,i))^2)/(n*p(1,i)); end k=sum(pearson); 3.15下列为某种药治疗感冒效果的3*3列联表。 疗效 儿童 成年 老年 年龄 显著 58 38 32 128 一般 28 44 45 117 较差 23 18 14 55 10910091300 试问疗效与年龄是否有关( 0.05)? 解: 设X为年龄 X1 儿童 X2 成年 X3 老年 Y为疗效 Y1 显著 Y2 一般 Y3 较差 H0: pij p p j i=1,2,3 j=1,2,3 即X与Y独立 i 本题选择的统计量为 2 ninj 2 nij npi pj 2 r s rs nij n r s 2 n n( nij 1) npipj ninj i1j1ninj i1j1 i1j1 代入数据得:
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- 第三 假设检验
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