珠海二模理科数学试题含答案.docx
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珠海二模理科数学试题含答案
珠海二模理科数学试题(含答案)
珠海市2009---2010学年度第二学期高考模拟测试 理科数学试题 一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知i是虚数单位,复数Z与复平面内的点(2,-1)对应,则复数 1?
2i对应的点在ZA.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知?
是三角形的一个内角,tan?
?
3?
,则cos(?
?
)?
44C. A.?
7210 B.?
210 7210D. 2103.等差数列{an}的前3项的和为15,最后3项的和为123,所有项的和是345,这个数列的项数是A.13 B.14 C.15 D.16 4.已知a、b是实数,则“a?
1,b?
1”是“a?
b?
2且ab?
1”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ?
?
?
?
5.?
为三角形的内角,a?
(cos?
,?
1),2a?
b?
4,则?
?
sin?
),b?
(3,A. ?
?
5?
2?
B. C. D. 6336456.从一个正方体中截去部分几何体,得到一个以原正方 体的部分顶点为顶点的凸多面体,其三视图如图,则该几何体体积为 A.8 B.9 333C. 2725 D.233正视图侧视图7.定义在R上的函数f(x)满足下列三个条件:
①f(x?
3)?
?
1;f(x)俯视图②对任意3?
x1?
x2?
6,都有f(x1)?
f(x2); ③y?
f(x?
3)的图像关于y轴对称。
则下列结论中正确的是 A.f(3)?
f(7)?
f() B.f(3)?
f()?
f(7) C.f(7)?
f()?
f(3) D.f(7)?
f(3)?
f() 高三理科数学试题第1页 ?
4x?
5y?
20?
0?
4x?
5y?
20?
0?
8.已知点M(?
3,0),N(3,0),设P(x,y)是区域?
边界上的点,则下列式子恒成 4x?
5y?
20?
0?
?
?
4x?
5y?
20?
0立的是 A.|PM|?
|PN|?
10 B.|PM|?
|PN|?
10 C.|PM|?
|PN|?
10 D.|PM|?
|PN|?
10 第二卷非选择题(共110分) 二、填空题:
本大题共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 1)内取值的概率9.某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,?
2)(?
?
0),若ξ在(0,为,则ξ在(0,2)内取值的概率为 .10.(x?
262)展开式中,含x项的系数是 .3xx2y211.已知F1、F2分别为椭圆2?
2?
1(a?
b?
0)的左、右焦点,M为椭圆上一点且 abMF1?
x轴,?
F1MF2?
450,则椭圆的离心率是 . 12.甲乙两艘船都要在某个泊位停靠,若分别停靠6小时、8小时。
假定它们在一昼夜的时 间段内任意时刻到达,则这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为 .13.方程x?
y?
z?
12的正整数解的个数为 . 14.已知曲线C的极坐标方程是?
?
1,以极点为平面直角坐 ?
x?
?
1?
4t标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是?
y?
3t?
(t为参数),则直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为 .15.如图,AB为圆O的直径,C为圆O上一点,AP和过C的切线互相垂直,垂足为P,过B的切线交过C的切线于T,PB交圆O于Q,若?
BTC?
120?
, AB?
4,则PQ?
PB= . 高三理科数学试题第2页 三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. 如图,已知平面四边形ABCD中,?
BCD为正三角形, AB?
AD?
2,?
BAD?
2?
,记四边形ABCD的面积为S. A
(1)将S表示为?
的函数;
(2)求S的最大值及单调增区间.D17. BC如图是两个独立的转盘(A)、(B),在两个图中的四个扇形区域的圆心角分别为 60?
、120?
、90?
、90?
.用这两个转盘进行玩游戏,规则是:
同时转动两个转盘待指针停下,记转盘(A)指针所对的区域数为x,转盘(B)指针所对的区域数为y,x、y?
{1,2,3,4},设x?
y的值为?
,每一次游戏得到奖励分为?
....⑴求x?
3且y?
2的概率; ⑵某人进行了6次游戏,求他平均可以得到的奖励分... 18. 如图,在四棱锥P?
ABCD中,?
PCD为等边三角形,四边形ABCD为矩形,平面PDC?
平面ABCD,M、N、E分别是AB、PD、PC中点,AB?
2AD.
(1)求证:
DE?
MN; P
(2)求二面角B?
PA?
D的余弦值.NED AMBC31442321高三理科数学试题第3页 19. 在?
ABC中,点A的坐标为,|BC|2?
动. 且两端点B、C在y轴上区间[-3,3]上滑
(1)求?
ABC的外心P的轨迹方程;
(2)设直线l:
y?
3x?
b与点P的轨迹交于E,F两点,原点O到直线l的距离为d,试求 b的值,使 |EF|最大并求该最大值.d20. ?
?
x3?
x2?
bx?
c(x?
1)已知函数f(x)?
?
的图象过点(?
1,2),且在点(?
1,f(?
1))处的切 (x?
1)?
alnx线与直线x?
5y?
1?
0垂直.
(1)求实数b,c的值;
(2)求f(x)在[?
1,e]上的最大值; (3)对任意给定的正实数a,曲线y?
f(x)上是否存在两点P,Q,使得?
POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?
21. 已知函数f(x)?
?
cosx,g(x)?
2x?
?
,数列{xn}满足:
x1?
?
(?
?
?
?
?
5?
?
?
),66?
?
g(xn?
1)?
2f(xn)(n?
N*).n
(1)当?
?
?
2时,求x2,x3的值并写出数列{xn}的通项公式;
(2)求证:
当x?
0时,?
x?
f’(x)?
x;(3)求证:
x1?
?
2?
x2?
?
2?
x3?
?
2?
?
?
xn?
1?
?
2?
?
(n?
N*). 高三理科数学试题第4页 珠海市2009---2010学年度第二学期高考模拟测试 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号答案1D2D3C4A5C6B7B8C二、填空题:
本大题共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分. 题号9101112131415 81433答案-160552?
12885三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 如图,已知平面四边形ABCD中,?
BCD为正三角形, AB?
AD?
2,?
BAD?
2?
,记四边形ABCD的面积为S.
(1)将S表示为?
的函数;
(2)求S的最大值及单调增区间。
解:
(1)在?
ABD中,余弦定理得BD?
8?
8cos2?
?
?
1分∴BD?
4sin?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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?
?
?
?
?
?
2分∴S2ABDC?
S?
ABD?
S?
BCD=2sin2?
?
(8?
8cos2?
)sin?
312?
3 ?
?
?
?
?
?
3分 ∴S?
2sin2?
?
23cos2?
?
23?
4sin(2?
?
)?
23, ?
?
?
?
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?
5分∴S?
4sin(2?
?
)?
23,?
?
?
0,?
3?
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6分2?
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0,∴当2?
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2?
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2?
, ?
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7分?
3332?
?
2即?
?
5?
时,S取得最大值,最大值为4?
23?
?
?
?
?
?
9分12?
3?
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?
?
?
2?
?
?
得:
0?
?
?
,?
?
?
?
?
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10分33212高三理科数学试题第5页
?
?
?
?
∴S的单调增区间为?
0,?
?
?
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11分 12?
?
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?
∴S的最大值为4?
23,单调增区间为?
0,?
?
?
?
?
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?
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?
?
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?
12分 12?
?
17. (B),在两个图中的四个扇形区域的圆心角分别为如图是两个独立的转盘(A)、60?
、120?
、90?
、90?
。
用这两个转盘进行玩游戏,规则是:
同时转动两个转盘待指针停下 ,记转盘(A)指针所对的区域数为x,转盘(B)指针所对的区域数为y,x、y?
{1,2,3,4},设x?
y的值为?
,每一次游戏得到奖励分为?
.⑴求x?
3且y?
2的概率; ⑵某人进行了6次游戏,求他平均可以得到的奖励分。
解:
⑴题意可知:
432143211111P(x?
1)?
P(x?
2)?
P(x?
3)?
P(x?
4)?
; 63441111P(y?
1)?
P(y?
2)?
P(y?
3)?
P(y?
4)?
;?
?
?
?
?
?
?
?
2分 34461则P(x?
3)?
P(x?
1)?
P(x?
2)?
25P(y?
2)?
P(y?
3)?
p(y?
4)?
, ?
?
?
?
?
?
?
?
4分 125所以P(x?
3,y?
2)?
P(x?
3)?
P(y?
2)?
。
?
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?
?
?
?
?
?
5分 243、4、5、6、7、8,则:
?
?
?
?
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?
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6分⑵条件可知?
的可能取值为:
2、111P(?
?
2)?
P(x?
1)?
P(y?
1)?
?
?
, 3618111111P(?
?
3)?
P(x?
1)?
P(y?
2)?
P(x?
2)?
P(y?
1)?
?
?
?
?
,?
?
?
?
?
?
7分 463372同理可得:
P(?
?
4)?
53713151,P(?
?
5)?
P(?
?
6)?
P(?
?
7)?
P(?
?
8)?
,?
9分2414472144242345678∴?
的分布列为:
?
P118117252437144137215144124 ?
?
?
?
?
?
10分高三理科数学试题第6页 他平均一次得到的奖励分即为?
的期望值:
数学驿站 1115371315129?
3?
?
4?
?
5?
?
6?
?
7?
?
8?
?
,?
?
11分187********144246所以给他玩6次,平均可以得到6?
E?
?
29分。
?
?
?
?
?
?
12分E?
?
2?
18. 如图,在四棱锥P?
ABCD中,?
PCD为等边三角形,四边形ABCD为矩形,平面PDC?
平面ABCD,M、N、E分别是AB、PD、PC中点,AB?
2AD.
(1)求证:
DE?
MN;
(2)求二面角B?
PA?
D的余弦值.
(1)证明:
连结NE,EB,数学驿站∵ABCD为矩形,M、N、E分别是AB、PD、PC中点∴NE//CD//AB,且NE?
11AB,MB?
AB,22∴NE//MB,NE?
MB,?
?
?
?
?
?
?
2分 ∴MNEB是平行四边形 ∴MN//BE,?
?
?
?
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?
?
?
?
?
3分 ∵?
PCD是等边三角形,M、N、E是AB、PD、PC中点,∴DE?
PC,?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4分∵平面PCD?
平面ABCD,BC?
CD,∴BC?
平面PCD,∴DE?
BC, ∴DE?
平面PBC,?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
6分∴DE?
BE, ∴MN?
DE, ?
?
?
?
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?
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?
?
?
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7分
(2)解:
过B、D分别作BF?
PA于F、DG?
PA于G,连结BD。
?
?
?
?
?
?
?
?
则向量GD、FB的夹角?
就是二面角B?
PA?
D的平面角,?
8分 设AD?
1,则AB?
DC?
PD?
PC?
2,∴DG?
241,BF?
,FG?
,BD?
5,?
?
?
10分 555?
?
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BD?
?
FB?
FG?
GD得:
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2?
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2?
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2?
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2?
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2?
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BD?
(?
FB?
FG?
GD)?
FB?
FG?
GD?
2FB?
GD,?
?
12分 2222即BD?
FB?
FG?
GD?
2FB?
GDcos?
,解得cos?
?
?
1?
?
13分4∴二面角B?
PA?
D的余弦值为?
1. ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
14分4高三理科数学试题第7页 19. 在?
ABC中,点A的坐标为,|BC|2?
动. 且两端点B,C在y轴上区间[-3,3]上滑
(1)求?
ABC的外心P的轨迹方程;
(2)设直线l:
y?
3x?
b与点P的轨迹交于E,F两点,原点O到直线l的距离为d,试求 b的值,使 |EF|最大并求该最大值.d解:
设P(x,y),不妨设B(0,t),C(0,t?
2)(?
1?
t?
3),?
?
?
?
?
?
1分 ?
x2?
(y?
t)2?
x2?
(y?
t?
2)2
(1)?
|PB|?
|PC|?
得:
?
,?
?
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?
?
?
2分2222?
|PA|?
|PB|?
(x?
3)?
y?
x?
(y?
t)
(2)得:
t?
y?
1 将代入化简得:
y2?
6x?
8,?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4分t?
y?
1及?
1?
t?
3知:
?
2?
y?
2,?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5分∴外心P的轨迹方程为:
y2?
6x?
8。
?
?
?
?
?
?
6分设E(x1,y1)、F(x2,y2) ?
y?
3x?
b?
2消x得:
y2?
2y?
2b?
8?
0(*) ?
?
?
?
?
?
7分?
y?
6x?
8题意知:
y1、y2是方程在区间[?
2,2]上的两个不等实根,则:
?
?
?
4?
4(2b?
8)?
0?
2?
(?
2)?
2?
(?
2)?
2b?
8?
0,数学驿站?
22?
2?
2?
2b?
8?
0?
解得:
?
4?
b?
?
7, ?
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?
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10分2原点O到直线l的距离为d?
|b|,?
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?
11分10|EF|?
(1?
210(?
2b?
7)1122)[(y?
y)?
4yy]?
(1?
)[2?
4(2b?
8)]?
12122k93?
?
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?
?
12分 2|EF|20?
2b?
720?
11?
1?
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7∴?
?
?
?
d3b23?
b7?
7?
4?
b?
?
7211|EF|5知:
?
?
?
?
,则当b?
?
4时,取得最大值,最大值为。
27b4d3 ?
?
?
?
?
?
?
?
14分 高三理科数学试题第8页 20. ?
?
x3?
x2?
bx?
c(x?
1)已知函数f(x)?
?
的图象过点(?
1,2),且在点(?
1,f(?
1))处的切 (x?
1)?
alnx线与直线x?
5y?
1?
0垂直;
(1)求实数b,c的值;
(2)求f(x)在[?
1,e]上的最大值; (3)对任意给定的正实数a,曲线y?
f(x)上是否存在两点P,Q,使得?
POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?
解:
当x?
1时,f’(x)?
?
3x2?
2x?
b,?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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1分题意得:
?
?
f(?
1)?
2?
2?
b?
c?
2,即?
, ?
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3分 ?
f’(?
1)?
?
5?
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3?
2?
b?
?
5解得:
b?
c?
0。
?
?
?
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?
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4分 ?
?
x3?
x2(x?
1)知:
f(x)?
?
(x?
1)?
alnx①当?
1?
x?
1时,f’(x)?
?
x(3x?
2), 22解f’(x)?
0得0?
x?
;解f’(x)?
0得?
1?
x?
0或?
x?
1 331)上单减,在(0,)上单增,,0)和(,∴f(x)在(?
1f’(x)?
?
x(3x?
2)?
0得:
x?
0或x?
∵f(?
1)?
2,f()?
13232,?
?
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?
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5分34,f(0)?
0,f
(1)?
0,27∴f(x)在[?
1,1)上的最大值为2。
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
6分②当1?
x?
e时,f(x)?
alnx, 当a?
0时,f(x)?
0;当a?
0时,f(x)在[1,e]单调递增; ∴f(x)在[1,e]上的最大值为a。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
8分∴当a?
2时,f(x)在[?
1,e]上的最大值为a; 当a?
2时,f(x)在[?
1,e]上的最大值为2。
?
?
?
?
?
?
?
9分假设曲线y?
f(x)上存在两点P,Q满足题意,则P,Q只能在y轴两侧,不妨设 23P(t,f(t))(t?
0),则Q(?
t,t3?
t2),且t?
1。
∵?
POQ是以O为直角顶点的直角三角形?
?
?
?
?
?
?
?
∴OP?
OQ?
0,即?
t2?
f(t)(t3?
t2)?
0 ?
?
?
?
?
?
?
10分是否存在P,Q等价于方程是否有解。
3223232①若0?
t?
1,则f(t)?
?
t?
t,代入方程得:
?
t?
(?
t?
t)(t?
t)?
0, 高三理科数学试题第9页 42即:
t?
t?
1?
0,而此方程无实数解,从而t?
1, ?
?
?
?
?
?
?
11分 ∴f(t)?
alnt,代入方程得:
?
t2?
alnt?
(t3?
t2)?
0, 1?
(t?
1)lnt, ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
12分a1设h(x)?
(x?
1)lnx(x?
1),则h’(x)?
lnx?
?
1?
0在[1,?
?
)恒成立, x即:
∴h(x)在[1,?
?
)上单调递增,从而h(x)?
h
(1)?
0,则h(x)的值域为[0,?
?
)。
∴当a?
0时,方程 1?
(t?
1)lnt有解,即方程有解。
a∴对任意给定的正实数a,曲线y?
f(x)上总存在两点P,Q,使得?
POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
14分 21. 已知函数f(x)?
?
cosx,g(x)?
2x?
?
,数列{xn}满足:
x1?
?
(?
?
?
?
?
5?
?
?
),66?
?
g(xn?
1)?
(1)当?
?
2f(xn)(n?
N*),n?
2时,求x2,x3的值并写出数列{xn}的通项公式;
(2)求证:
当x?
0时,?
x?
f’(x)?
x;(3)求证:
x1?
(1)解:
x2?
x3?
?
2?
x2?
?
2?
x3?
?
2?
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xn?
1?
?
2?
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(n?
N*)。
?
2,xn?
?
2, ?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
2分
(2)证明:
设F(x)?
f’(x)?
x?
sinx?
x,则F’(x)?
cosx?
1?
0, ∴F(x)在[0,?
?
)上为减函数,即F(x)?
F(0)?
0,即f’(x)?
x,?
?
?
?
?
?
4分设H(x)?
f’(x)?
x?
sinx?
x,则H’(x)?
cosx?
1?
0, ∴H(x)在[0,?
?
)上为增函数,即H(x)?
H(0)?
0,即f’(x)?
?
x,?
?
?
?
?
?
5分∴当x?
0时,?
x?
f’(x)?
x。
?
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?
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?
?
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?
?
?
?
?
6分(3)
(1)知:
当x?
0时,|f’(x)|?
|x|, 同理可证:
当x?
0时,|f’(x)|?
|x|,即对?
x?
R,恒有:
|f’(x)|?
|x|。
?
?
?
?
7分 高三理科数学试题第10页 g(xn?
1)?
∴xn?
1?
2?
1f(xn)(n?
N*)得:
xn?
1?
?
cosxn,n2n?
2?
?
11?
1?
cosxn?
sin(xn?
)?
?
xn?
?
?
?
?
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?
8分nn2n2∴xn?
?
2?
1?
?
?
1?
?
xn?
1?
,xn?
1?
?
?
xn?
2?
,?
?
,x2?
?
x1?
, 2n?
2222n?
12?
1?
?
?
?
, ?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
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10分 (n?
1)!
2从而xn?
?
2x1?
?
2?
x2?
?
2?
x3?
?
?
2?
?
?
xn?
1?
11?
1?
?
?
1111?
?
?
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?
?
?
?
?
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?
?
?
11分2?
1!
1!
2!
3!
n!
?
21?
?
?
1?
1?
?
2?
?
?
n?
1?
?
?
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222?
2?
?
?
1?
2(1?
n)?
?
?
?
?
?
3?
n?
1?
?
?
?
?
?
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13分222?
?
?
2?
?
3?
?
?
?
?
1?
?
?
1?
?
?
?
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5?
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(?
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)2?
66?
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xn?
1?
∴x1?
?
2?
x2?
?
2?
x3?
?
2?
2?
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(n?
N*)成立。
?
?
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?
?
?
14分 高三理科数学试题第11页
g(xn?
1)?
∴xn?
1?
2?
1f(xn)(n?
N*)得:
xn?
1?
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cosxn,n2n?
2?
?
11?
1?
cosxn?
sin(xn?
)?
?
xn?
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8分nn2n2∴xn?
?
2?
1?
?
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1?
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xn?
1?
,xn?
1?
?
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xn?
2?
,?
?
,x2?
?
x1?
, 2n?
2222n?
12?
1?
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?
, ?
?
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10分 (n?
1)!
2从而xn?
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2x1?
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2?
x2?
?
2?
x3?
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2?
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xn?
1?
11?
1?
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1111?
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11分2?
1!
1!
2!
3!
n!
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21?
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1?
1?
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2?
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n?
1?
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222?
2?
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2(1?
n)?
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3?
n?
1?
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13分222?
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2?
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3?
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1?
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1?
?
?
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5?
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(?
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)2?
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xn?
1?
∴x1?
?
2?
x2?
?
2?
x3?
?
2?
2?
?
(n?
N*)成立。
?
?
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14分 高三理科数学试题第11页
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