实验三z变换及离散时间LTI系统的z域分析.docx
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实验三z变换及离散时间LTI系统的z域分析
实验三z变换及离散时间LTI系统的z域
分析
实验目的
二.实验原理及实例分析
1.z正反变换
序列xn的z变换定义为
要用逗号分隔。
>>symsabcx
(3)MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有:
simplify(s)
【实例3-1】试用ztrans函数求下列函数的z变换。
(1)x(n)=ancos(;n)u(n);⑵x(n)=[2n」-(_2)n」]u(n)。
解:
(1)z变换MATLAB源程序为
>>x=sym('aAn*cos(pi*n)');
>>Z=ztrans(x);
>>simplify(Z)
ans=
z/(a+z)
(2)z变换MATLAB源程序为
>>x=sym('2A(n-1)-(-2)A(n-1)');
>>Z=ztrans(x);
>>simplify(Z)
ans=
z/(2*(z-2))+z/(2*(z+2))
【实例3-2】试用iztrans函数求下列函数的
8z—19
(1)X(z)厂二—-
(2)X(z)
z—5z+6
解:
(1)z反变换MATLAB源程序为
>>Z=sym('(8*z-19)/(zA2-5*z+6)');
>>x=iztrans(Z);
>>simplify(x)
ans=
z反变换。
z(2z2-11z12)
—3
(z-1)(z-2)
(3*2An)/2+(5*3An)/3-(19*kroneckerDelta(n,0))/6
其中,kroneckerDelta(n,0)是、:
(n)函数在MATLAB符号工具箱中的表示,反变换后的函
数形式为:
1911
x(n)(n)(53n32n)u(n)。
6
(2)z反变换MATLAB源程序为
>>Z=sym('z*(2*zA2-11*z+12)/(z-1)/(z-2)A3');
>>x=iztrans(Z);
>>simplify(x)
ans=
1i
其函数形式为x(n)=(-3・32n-一n2n——n22n)u(n)。
44
如果信号的z域表示式X(z)是有理函数,进行z反变换的另一个方法是对X(z)进行
部分分式展开,然后求各简单分式的z反变换。
设X(z)的有理分式表示为
MATLAB信号处理工具箱提供了一个对X(z)进行部分分式展开的函数residuez,其语句格
式为
[R,P,K]=residuez(B,A)
其中,B,A分别表示X(z)的分子与分母多项式的系数向量;R为部分分式的系数向量;P
为极点向量;K为多项式的系数。
若X(z)为有理真分式,则K为零。
展开,并求出其z反变换。
解:
MATLAB源程序为
>>B=[18];
>>A=[18,3,-4,-1];
>>[R,P,K]=residuez(B,A)
R=
0.36000.2400
0.4000
P=
0.5000
-0.3333-0.3333
K=
[]
从运行结果可知,P2=P3,表示系统有一个二重极点。
所以,X(z)的部分分式展开为
X(z)
0.360.240.4
1-0.5z410.3333z4(1-0.3333z4)2
因此,其z反变换为
x(n)=[0.36(0.5)n0.24(-0.333刖0.4(n1)(-0.3333)n]u(n)
2.系统函数的零极点分析
如果系统函数H(z)的有理函数表示式为
那么,在MATLAB中系统函数的零极点就可通过函数roots得到,也可借助函数tf2zp得到,
tf2zp的语句格式为
[R,P,K]=tf2zp(B,A)
其中,B与A分别表示H(z)的分子与分母多项式的系数向量。
它的作用是将H(z)的有理
分式表示式转换为零极点增益形式,即
(3-6)
(Z—Zj(Z—Z2)(Z—Zm)
(Z-pJ(Z-P2)(Z-Pn)
【实例3-4】已知一离散因果LTI系统的系统函数为
解:
用tf2zp函数求系统的零极点,MATLAB源程序为
>>B=[1,0.32];
>>A=[1,1,0.16];
>>[R,P,K]=tf2zp(B,A)
R=
-0.3200
P=
-0.8000
-0.2000
K=
1
因此,零点为z=0.32,极点为p1=0.8与p2=0.2。
若要获得系统函数H(z)的零极点分布图,可直接应用zplane函数,其语句格式为
zplane(B,A)
其中,B与A分别表示H(Z)的分子和分母多项式的系数向量。
它的作用是在Z平面上画
出单位圆、零点与极点。
【实例3-5】已知一离散因果LTI系统的系统函数为
z2-0.36H(z)二
z-1.52^0.68
试用MATLAB命令绘出该系统的零极点分布图。
解:
用zplane函数求系统的零极点,MATLAB源程序为
>>B=[1,0,-0.36];
>>A=[1,-1.52,0.68];
>>zplane(B,A),gridon
>>legend('零点极点')
>>title('零极点分布图')
程序运行结果如图3-1所示。
可见,该因果系统的极点全部在单位圆内,故系统是稳定的。
图3-1零极点分布图
3系统函数的零极点分布与其时域特性的关系
与拉氏变换在连续系统中的作用类似,在离散系统中,z变换建立了时域函数h(n)与
z域函数H(z)之间的对应关系。
因此,z变换的函数H(z)从形式可以反映h(n)的部分内
在性质。
我们仍旧通过讨论H(z)的一阶极点情况,来说明系统函数的零极点分布与系统时域特性的关系。
【实例3-6】试用MATLAB命令画出现下列系统函数的零极点分布图、以及对应的时
域单位取样响应h(n)的波形,并分析系统函数的极点对时域波形的影响。
z
2
z-2z1.36
解:
MATLAB源程序为
>>b1=[1,0];
>>a1=[1,-0.8];
>>subplot(121)
>>zplane(b1,a1)
>>title('极点在单位圆内的正实数')
>>subplot(122)
>>impz(b1,a1,30);gridon;
>>figure
>>b2=[1,0];
>>a2=[1,0.8];
>>subplot(121)
>>zplane(b2,a2)
>>title('极点在单位圆内的负实数')
>>subplot(122)
>>impz(b2,a2,30);gridon;
>>figure
>>b3=[1,0];
>>a3=[1,-1.2,0.72];
>>subplot(121)
>>zplane(b3,a3)
>>title('极点在单位圆内的共轭复数')
>>subplot(122)
>>impz(b3,a3,30);gridon;
>>figure
>>b4=[1,0];
>>a4=[1,-1];
>>subplot(121)
>>zplane(b4,a4)
>>title('极点在单位圆上为实数1')
>>subplot(122)
>>impz(b4,a4);gridon;
>>figure
>>b5=[1,0];
>>a5=[1,-1.6,1];
>>subplot(121)
>>zplane(b5,a5)
>>title('极点在单位圆上的共轭复数')
>>subplot(122)
>>impz(b5,a5,30);gridon;
>>figure
>>b6=[1,0];
>>a6=[1,-1.2];
>>subplot(121)
>>zplane(b6,a6)
>>title('极点在单位圆外的正实数')
>>subplot(122)
>>impz(b6,a6,30);gridon;
>>figure
>>b7=[1,0];
>>a7=[1,-2,1.36];
>>subplot(121)
>>zplane(b7,a7)
>>title('极点在单位圆外的共轭复数')
>>subplot(122)
>>impz(b7,a7,30);gridon;
程序运行结果分别如图3-2的(a)、(b)、(c)、
极点在单悝翊内的正实数
0.5
■0,5
-10500.5
RealPart
(a)
(b)
(C)
Jbesu-sheE-
(d)
极点左单也圆上的共梔复数
tEd上露一曰套-
(e)
AJee-^uu-
RealPart
200
100
50
(f)
O'
□510153325
nfsamples)
505
oJ
tmu-gE-
极点在单傥圆外的共範复数
■;■n100
I
_-T-~'
:
"、、
”"■、
「\\凤90
—丄—110
丨/.1
I/x-50
、'/
I
I3^o5^i'103
RealPart
(g)
图3-2系统函数的零极点分布与其时域特性的关系
□510152025
n(samples)
从图4-2可知,当极点位于单位圆内时,h(n)为衰减序列;当极点位于单位圆上时,
h(n)为等幅序列;当极点位于单位圆外时,h(n)为增幅序列。
若h(n)有一阶实数极点,
则h(n)为指数序列;若h(n)有一阶共轭极点,则h(n)为指数振荡序列;若h(n)的极点位于虚轴左边,则h(n)序列按一正一负的规律交替变化。
4离散时间LTI系统的频率特性分析
对于因果稳定的离散时间系统,如果激励序列为正弦序列x(n)=Asin(n-)u(n),贝U
系统的稳态响应为yss(n)=A|H(e‘‘)|sin[n■()]u(n)。
其中,H(ej')通常是复数。
离散时间系统的频率响应定义为
H(ej')=|H(ej)|ej()(14-7)
其中,IH(e「)|称为离散时间系统的幅频特性;■(■)称为离散时间系统的相频特性;
2兀
H(er)是以匕(匕,若零T=1,匕=2二)为周期的周期函数。
因此,只要分
T
析H(e?
)在|「|三二范围内的情况,便可分析出系统的整个频率特性。
MATLAB提供了求离散时间系统频响特性的函数freqz,调用freqz的格式主要有两种。
一种形式为
[H,w]=freqz(B,A,N)
其中,B与A分别表示H(z)的分子和分母多项式的系数向量;N为正整数,默认值为512;返回值w包含[0,二]范围内的N个频率等分点;返回值H则是离散时间系统频率响应
H(e「)在0~二范围内N个频率处的值。
另一种形式为
[H,w]=freqz(B,A,N,'whole'
与第一种方式不同之处在于角频率的范围由[0,二]扩展到[0,2二]。
2
【实例3-6】用MATLAB命令绘制系统H(Z)二z?
-0.96z0.9028的频率响应曲线。
Z2-1.56Z+0.8109
解:
利用函数freqz计算出H(e"'),然后利用函数abs和angle分别求出幅频特性与相频特性,最后利用plot命令绘出曲线。
MATLAB源程序为
>>b=[1-0.960.9028];
>>a=[1-1.560.8109];
>>[H,w]=freqz(b,a,400,'whole');
>>Hm=abs(H);
>>Hp=angle(H);
>>subplot(211)
>>plot(w,Hm),gridon
>>xlabel('\omega(rad/s)'),ylabel('Magnitude')
>>title('离散系统幅频特性曲线')
>>subplot(212)
>>plot(w,Hp),gridon
>>xlabel('\omega(rad/s)'),ylabel('Phase')
>>title('离散系统相频特性曲线')
程序运行结果如图3-3所示。
离散系统幅频特性曲拔
642
©(raidfe)
离散系烧相频特性曲线
234S
(Dfraci/S)
32
O
2SEMCL
图3-3离散系统频响特性曲线
三.实验内容
3.
试用MATLAB
分式展开和。
试用MATLAB
(1)H(z)=-
(2)
H(z)=-
1.
2.
试用
432
z416z344z256z32
的residuez函数,求出X(z)43厂
3z4+3z3—15z2+18z—12
画出下列因果系统的系统函数零极点分布图,并判断系统的稳定性。
2z2—1.6z—0.9
~32
z-2.5z1.96Z—0.48
Z-1
432
z-0.9z-0.65z0.873z
MATLAB绘制系统H(z)二
的频率响应曲线。
31
z-z-
48
的部分
四、实验报告要求
(1)简述实验目的及实验原理。
(2)列出实验程序清单,描绘实验程序产生的曲线图形。
(3)总结零极点分布对频率响应的影响。
(4)简要回答思考题;稳定系统对极点的位置有什么要求?
为什么?
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- 关 键 词:
- 实验 变换 离散 时间 LTI 系统 分析