最新版春福师大网络与继续教育学院《实变函数》在线作业一标准满分答案.docx
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最新版春福师大网络与继续教育学院《实变函数》在线作业一标准满分答案
福师《实变函数》在线作业一
一、判断题(共37道试题,共74分。
)
1.f∈BV,则f至多有可数个间断点,而且只能有第一类间断点.
A.错误
B.正确
正确答案:
B
2.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定,则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
A.错误
B.正确
正确答案:
B
3.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
A.错误
B.正确
正确答案:
A
4.若f,g∈BV,|g|>c>0,则f/g属于BV。
A.错误
B.正确
正确答案:
B
5.f在[a,b]上为增函数,则f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx≤f(b)-f(a).
A.错误
B.正确
正确答案:
B
6.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
A.错误
B.正确
正确答案:
B
7.对任意可测集E,若f在E上可积,则有Lim_{n->+∞}n·M[E(|f|>=n)]=0.
A.错误
B.正确
正确答案:
B
8.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
A.错误
B.正确
正确答案:
B
9.若f∈BV,则f有界。
A.错误
B.正确
正确答案:
B
10.测度为零的集称为零测集.
A.错误
B.正确
正确答案:
B
11.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础,而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
A.错误
B.正确
正确答案:
B
12.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时,则lim_{x->+∞}f(x)=0.
A.错误
B.正确
正确答案:
B
13.有限覆盖定理的内容是:
若U是R^n中紧集F的开覆盖,则可以从U中取出有限子覆盖.
A.错误
B.正确
正确答案:
B
14.增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点,且只能有第一类间断点.
A.错误
B.正确
正确答案:
B
15.若f有界变差且g满足Lip条件,则复合函数g(f(x))也是有界变差.
A.错误
B.正确
正确答案:
B
16.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g,且f_n<=g_n,a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
A.错误
B.正确
正确答案:
B
17.设f是区间[a,b]上的有界实函数,则f在[a,b]上R可积,当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
A.错误
B.正确
正确答案:
B
18.若f有界且m(X)<∞,则f可测。
A.错误
B.正确
正确答案:
B
19.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
A.错误
B.正确
正确答案:
B
20.若f,g∈AC,则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
A.错误
B.正确
正确答案:
B
21.f在E上可积的充要条件是级数M[E(|f|>=n)]之和收敛.
A.错误
B.正确
正确答案:
A
22.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A.错误
B.正确
正确答案:
B
23.存在某区间[a,b]上增函数f,使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx A.错误 B.正确 正确答案: B 24.存在[0,1]上的有界可测函数,使它不与任何连续函数几乎处处相等. A.错误 B.正确 正确答案: B 25.若f,g∈BV,则f/g(g不为0)属于BV。 A.错误 B.正确 正确答案: A 26.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集,但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集 A.错误 B.正确 正确答案: B 27.f∈BV,则f有“标准分解式”: f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差. A.错误 B.正确 正确答案: B 28.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。 A.错误 B.正确 正确答案: B 29.f可积的充要条件是f+和f-都可积. A.错误 B.正确 正确答案: B 30.对R^n中任意点集E,E\E'必为可测集. A.错误 B.正确 正确答案: B 31.若f,g∈BV,则f+g,f-g,fg均属于BV。 A.错误 B.正确 正确答案: B 32.若f广义R可积且f不变号,则fL可积. A.错误 B.正确 正确答案: B 33.无论Riemann积分还是Lebesgue积分,只要|f|可积,则f必可积. A.错误 B.正确 正确答案: A 34.闭集套定理的内容是: {F_k}是R^n中非空有界闭集的降列,则F_k对所有k取交集非空. A.错误 B.正确 正确答案: B 35.f为[a,b]上减函数,则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a). A.错误 B.正确 正确答案: A 36.对任意可测集E,若f在E上可积,则f的积分具有绝对连续性. A.错误 B.正确 正确答案: B 37.f在[a,b]上为增函数,则f的导数f'∈L1[a,b]. A.错误 B.正确 正确答案: B 福师《实变函数》在线作业一 二、单选题(共5道试题,共10分。 ) 1.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数,则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的 A.连续函数 B.单调函数 C.有界变差函数 D.绝对连续函数 正确答案: C 2.在()条件下,E上的任何广义实函数f(x)都可测. A.mE=0 B.0 C.mE=+∞ D.0<=mE<=+∞ 正确答案: A 3.若|A|=|B|,|C|=|D|,则 A.|A∪C|=|B∪D| B.|A∩C|=|B∩D| C.|A\C|=|B\D| D.当A或C为无限集时,|A∪C|=|B∪D| 正确答案: D 4.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0() A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 正确答案: D 5.有限个可数集的乘积集是() A.有限集 B.可数集 C.有连续统势的集 D.基数为2^c的集 正确答案: B 福师《实变函数》在线作业一 三、多选题(共8道试题,共16分。 ) 1.在R上定义f,当x为有理数时f(x)=1,当x为无理数时f(x)=0,则() A.f在R上处处不连续 B.f在R上为可测函数 C.f几乎处处连续 D.f不是可测函数 正确答案: AB 2.若f∈AC[a,b],则() A.f∈C[a,b] B.f∈BV[a,b] C.f(x)=f(a)+∫axf'(t)dt D.f∈Lip[a,b] 正确答案: ABC 3.A,B是两个集合,则下列正确的是() A.f^-1(f(A))=A B.f^-1(f(A))包含A C.f(f^-1(A))=A D.f(A\B)包含f(A)\f(B) 正确答案: BCD 4.若f∈BV[a,b],则() A.f为有界函数 B.Vax(f)为增函数 C.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f) D.f至多有可数个第一类间断点 正确答案: ABCD 5.若0<=g<=f且f可积,则() A.g可积 B.g可测 C.g<∞,a.e. D.当g可测时g必可积 正确答案: CD 6.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上 A.广义R可积 B.不是广义R可积 C.L可积 D.不是L可积 正确答案: AD 7.设f为[a,b]上减函数,则f为() A.有界函数 B.可测函数 C.有界变差函数 D.绝对连续函数 正确答案: ABC 8.f(x)=1,x∈(-∞,+∞),则f(x)在(-∞,+∞)上 A.有L积分值 B.广义R可积 C.L可积 D.积分具有绝对连续性 正确答案: AD
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