贵州省专升本考试高等数学模拟12.docx
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贵州省专升本考试高等数学模拟12
贵州省专升本考试高等数学模拟12
(总分:
150.00,做题时间:
90分钟)
一、单项选择题(总题数:
30,分数:
60.00)
1.函数的反函数是______
∙A.y=2x-1
∙B.y=22x-1
∙C.y=42x-1
∙D.y=4x-1
(分数:
2.00)
A.
B.
C. √
D.
解析:
[解析]
两边平方,得4x=42y,所以x=42y-1,
互换x与y得反函数为y=42x-1(-∞<x<+∞),故应选C.
2.集合{a,b,c}的所有真子集个数为______
(分数:
2.00)
A.0
B.3
C.7 √
D.8
解析:
[解析]由真子集的概念可以判断,真子集的个数为23-1=7个,故应选C.
3.当x→0+时,与等价的无穷小,是______
A.
B.
C.
D.
(分数:
2.00)
A.
B. √
C.
D.
解析:
[解析]根据常见的等价无穷小量可知,选项B与等价,而A、C、D与均不等价.故应选B.
4.两个无穷小量α与β(且α、β均不为0)之积αβ仍是无穷小,则αβ与β相比是______
(分数:
2.00)
A.同阶无穷小
B.高阶无穷小 √
C.可能是高阶,也可能是同阶无穷小
D.不确定
解析:
[解析]因为,所以αβ是比β高阶的无穷小,故应选B.
5.点x=0是函数的连续点,则a=______
A.1
B.
C.-2
D.
(分数:
2.00)
A.
B.
C.
D. √
解析:
[解析]
因为f(x)在x=0处连续,所以,即,故应选D.
6.下列方程在区间(0,1)内至少有一实根的为______
∙A.sinx+x+1=0
∙B.x5-3x=1
∙C.x3-4x2+1=0
∙D.arctanx+x2+1=0
(分数:
2.00)
A.
B.
C. √
D.
解析:
[解析]构造函数,利用零点定理推证:
对于C,设f(x)=x3-4x2+1,则f(0)-1,f
(1)=-2,
所以f(x)=x3-4x2+1在(0,1)内至少一个零点,故应选C.
7.设函数f(x)在点x=1处可导,且,则f"
(1)=______
A.
B.
C.
D.
(分数:
2.00)
A.
B.
C.
D. √
解析:
[解析]故应选D.
8.
A.
B.-2x(1+x6)
C.
D.
(分数:
2.00)
A. √
B.
C.
D.
解析:
[解析],应选A.
9.下列函数在[-1,1]上满足罗尔定理条件的是______
A.
B.y=1+|x|
C.y=x(x2-1)
D.y=ln(1+x)
(分数:
2.00)
A.
B.
C. √
D.
解析:
[解析]选项A和B在x=0处不可导,而D选项在x=-1处无定义,只有C选项符合题意,故选C.
10.若函数f(x)=(lnx)x(x>1),则f"(x)=______
∙A.(lnx)x-1
∙B.(lnx)x-1+(lnx)xln(lnx)
∙C.(lnx)xln(lnx)
∙D.x(lnx)x
(分数:
2.00)
A.
B. √
C.
D.
解析:
[解析]故选B.
11.若函数y=f(u)可导,u=ex,则dy=______
∙A.f"(ex)dx
∙B.f"(ex)dex
∙C.f"(x)exdx
∙D.[f(ex)]"dex
(分数:
2.00)
A.
B. √
C.
D.
解析:
[解析]由于y=f(u)可导,所以dy=d[f(u)]=f"(u)du=f"(ex)dex.
12.曲线______
(分数:
2.00)
A.仅有水平渐近线
B.既有水平又有垂直渐近线 √
C.仅有垂直渐近线
D.既无水平又无垂直渐近线
解析:
[解析]因为
所以y=0为水平渐近线,x=0为垂直渐近线,故应选B.
13.若______
A.
B.
C.xlnx-x+C
D.
(分数:
2.00)
A.
B.
C.
D. √
解析:
[解析]由
故应选D.
14.若d[f(x)]-d[g(x)],则下列结论成立的是______
(分数:
2.00)
A.f(x)=g(x)
B.∫f(x)dx=g(x)dx
C.d∫f(x)dx=d∫g(x)dx
D.f(x)-g(x)=C √
解析:
[解析]由d[f(x)]=d[g(x)]得f(x)-g(x)=C.故应选D.
15.若f(x)为可导函数,f(x)>0,且满足,则f(x)=______
A.
B.
C.
D.
(分数:
2.00)
A.
B.
C. √
D.
解析:
[解析]对等式两边求导,得2f(x)f"(x)=2xf(x)ex2,
从而f"(x)=xex2,
又因为f(0)=1,即代入得
所以,故应选C.
16.设函数f(x)在区间[a,b]上连续,则______
(分数:
2.00)
A.大于零
B.小于零
C.等于零 √
D.不确定
解析:
[解析]因为定积分的大小与积分变量用什么字母表示无关,
所以故选C.
17.双曲线绕z轴旋转所成曲面的方程为______
A.
B.
C.
D.
(分数:
2.00)
A. √
B.
C.
D.
解析:
[解析]绕z轴旋转得旋转面方程为,故应选A.
18.由曲线y=sinx(0≤x≤π)与x轴所围图形的面积为______
A.0
B.2
C
D.π
(分数:
2.00)
A.
B. √
C.
D.
解析:
[解析]所求平面图形的面积为故应选B.
19.设z=x2ln(x2+y2),则______
A.
B.
C.
D.
(分数:
2.00)
A.
B.
C.
D. √
解析:
[解析]故应选D.
20.函数的极值点是函数的______
(分数:
2.00)
A.可微点
B.不可微点 √
C.驻点
D.间断点
解析:
[解析]因为的极值点为(0,0),而均不存在,所以函数在(0,0)处不可微,故应选B.
21.设z=xy,则dz|(2,1)=______
(分数:
2.00)
A.dx+dy
B.dx+2ln2dy √
C.0
D.3dx+ln2dy
解析:
[解析]故应选B.
22.设,则偏导数fx(x,1)为______
(分数:
2.00)
A.2
B.1 √
C.-1
D.2
解析:
[解析]因为f(x,1)=x,所以fx(x,1)=1.故应选B.
23.设D是由圆x2+y2=1和两坐标轴围成的第一象限内的闭区域,则______
A.
B.
C.
D.
(分数:
2.00)
A.
B.
C. √
D.
解析:
[解析]故应选C.
24.设z=exy+3ln(x+y),则dz|(1,2)=______
∙A.(e2+1)(dx+dy)
∙B.(2e2+1)dx+(e2+1)dy
∙C.e2dx
∙D.e2
(分数:
2.00)
A.
B. √
C.
D.
解析:
[解析]
所以故应选B.
25.二重积分交换积分次序后为______
A.
B.
C.
D.
(分数:
2.00)
A. √
B.
C.
D.
解析:
[解析]积分区域可表示为
故应选A.
26.若幂级数的收敛半径为R,则幂级数的收敛区间为______
A.
B.(-R,R)
C.
D.(3-R,3+R)
(分数:
2.00)
A.
B.
C. √
D.
解析:
[解析]因为的收敛半径为R,所以的收敛半径为,又因为收敛中心x0=3,故收敛区间为故应选C.
27.若级数在x=0处条件收敛,则级数在x=5处为______
(分数:
2.00)
A.绝对收敛
B.条件收敛
C.发散 √
D.不能判定敛散性
解析:
[解析]由已知条件知,收敛半径为R=2.所以级数在(0,4)内绝对收敛,在(-∞,0)和(4,+∞)内发散,由此可知在x=5处发散,故选C.
28.设y1,y2是微分方程y"+p(x)y"+q(x)y=0的两个解,则y=C1y1+C2y2(C1,C2为任意常数)是______
(分数:
2.00)
A.该方程通解
B.该方程的解 √
C.该方程的特解
D.不一定是方程的解
解析:
[解析]由二阶线性齐次微分方程的解结构知y=C1y1+C2y2只能说是方程的解,不能保证为通解,故应选B.
29.求y"+y=cosx的特解时,应设y*=______
(分数:
2.00)
A.axcosx
B.acosx
C.acosx+bsinx
D.x(acosx+bsinx) √
解析:
[解析]y"+y=0的特征根为r=±i,所以特解应设为y=x(acosx+bsinx),应选D.
30.微分方程xdy+ylnydx=0的通解为______
A.yex=C
B.ye-x=x+C
C.xlny=C
D.
(分数:
2.00)
A.
B.
C. √
D.
解析:
[解析]由xdy+ylnydx得,而ln(lny)+lnx=lnC即xlny=C,应选C.也可从所给函数出发确定微分方程.
二、填空题(总题数:
10,分数:
20.00)
31.函数的定义域为1.
(分数:
2.00)
解析:
(2,3][解析]由|x-2|≤1,得1≤x≤3,且x>2,故x∈(2,3].
32.1.
(分数:
2.00)
解析:
[解析]
33.如果函数f(x)在x0处可导,且f(x0)为f(x)的极大值,则f"(x0)=1.
(分数:
2.00)
解析:
0[解析]因为f(x)在x=x0处可导,且f(x0)为函数的极大值.所以x0也一定是函数的驻点,即f"(x0)=0.
34.设f(x)=arctanx·lnx,则f"(x)=1.
(分数:
2.00)
解析:
[解析]
35.1.
(分数:
2.00)
解析:
[解析]
36.函数z=x2+y2在点P(1,2)处沿从点P(1,2)到点的方向导数为1.
(分数:
2.00)
解析:
[解析]
所以
37.设z=xexy,则1.
(分数:
2.00)
解析:
(2x+x2y)exy[解析]因为
所以
38.1.
(分数:
2.00)
解析:
0[解析]根据二重积分的对称性可知
39.若(k>0),则正项级数的敛散性为1.
(分数:
2.00)
解析:
发散[解析]由正项级数比较判别法的极限形式知具有相同的敛散性,而调和级数是发散的,所以也发散.
40.微分方程xy"-3y=x2的通解为1.
(分数:
2.00)
解析:
y=Cx3-x2[解析]方程化为
三、计算题(总题数:
10,分数:
50.00)
41.求极限
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
42.求函数y=x(cosx)sinx的导数
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
y=x(cosx)sinx=x·esinxlncosx,
则
43.求
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
44.求定积分
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
45.设z=f(x2+y2,y)+φ(xy),其中,f(u,v)和φ(x)都可微,求全微分dz.
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
令x2+y2=u,y=u,则z=f(u,v)+φ(xy)
dz=df(u,v)+dφ(xy)
=fudu+fvdv+φ(xy)d(xy)
=fu[2xdx+2ydy]+fvdy+φ(xy)·[xdy+ydx]
=[2xfu+yφ(xy)]dx+[2yfu+fv+xφ(xy)]dy.
46.求二重积分,其中,积分区域D={(x,y)|y≥x,1≤x2+y2≤4}.
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
积分区域如图所示
在极坐标系下表示为
所以
47.求过直线且与平面x+4y+z+3=0垂直的平面方程.
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
因为s={2,1,3},n1={1,4,1},
由题设知
又因平面过点(1,0,2),所以所求平面方程为
-11(x-1)+1(y-0)+7(z-2)=0,
即11x-y-7z+3=0.
48.求函数f(x,y)=4(x-y)-x2-y2的极值.
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解方程组
求得驻点为(2,-2).
fxx=-2,fxy=0,fyy=-2,即A=-2,B=0,C=-2.
因为B2-AC=02-(-2)·(-2)=-4<0,且A<0,
所以(2,-2)为函数的极大值点.
极大值为f(2,-2)=8.
49.将函数展开成x的幂级数,并写出其收敛区间.
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
又
所以
50.求微分方程xdy+2(y-lnx)dx=0的通解.
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
方程可化为所求通解为
四、应用题(总题数:
2,分数:
14.00)
51.设有A、B两个工厂位于同一条公路的同一侧,A,B到公路的垂直距离分别为1km和2km,两工厂到公路的两个垂足C、D之间的距离为6km,现欲在公路旁建一货物转运站(如图),并从A、B两工厂各修一条大道通往转运站M,问转运站M建于何处才能使大道的总长最短?
(分数:
7.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
设转运站M距C为xkm,大道总长为ykm,
则
令y"=0,解得x=2或x=-6(舍去),
根据实际问题的最小值存在,且只能在区间(0,6)
内部取得,所以x=2是最小值点.
故距离C两公里处建转运站M,可使大道总长最短.
52.过曲线y=x2(x≥0)上某点A作切线,若切线、曲线、x轴围成的面积为,求该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
(分数:
7.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
设A点坐标为,由y"=2x得切线方程为
即
由
所以x0=1,切点A(1,1).
切线方程为2x-y-1=0,切线与x轴交点为
五、证明题(总题数:
1,分数:
6.00)
53.证明:
当x>0时,(x2-1)lnx≥(x-1)2.
(分数:
6.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
【证明】设f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2,f
(1)=0.
当0<x<1时f"""(x)<0,f"(x)单调减少,f"(x)>f"
(1)=2>0,
得f"(x)单调增加,f"(x)<f"
(1)=0,f(x)单调减少,
于是f(x)>f
(1)=0,即(x2-1)lnx>(x-1)2.
当x>1时f"""(x)>0,f"(x)单调增加,f"(x)>f"
(1)=2>0,
得f"(x)单调增加,f"(x)>f"
(1)=0,f(x)单调增加.
于是f(x)>f
(1)=0,即(x2-1)lnx>(x-1)2.
当x=1时(x2-1)lnx=(x-1)2.
综上,当x>0时,(x2-1)lnx≥(x-1)2.
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