成都市七年级上期培优专题绝对值.docx
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成都市七年级上期培优专题绝对值
子与已知的式子联系起来。
【绝对值必考题型】
例1:
已知卜一21+年一31=0,求x+y的值。
【例瞄青讲】
(-)绝对值的非负性问题
1.非负性:
若有几个非负数的和为0,那么这几个非负数均为0.
2.绝对值的非负性;若同+问+上|=0,则必有”=0,b=0,c=0
【例题】若卜+3|+|),+1|+,+5|=0,则x-y-z=。
总结:
若干非奂数之和为0,O
【巩固】若卜〃+3|+〃一1+2一1|=0,则p-\-2n+3m=
【巩固】先化简,再求值:
3。
6-2ab2-2(ab-^a2b)+2ab.其中。
、%满足|。
+3匕+1|+(2〃-4)2=0.
(二)绝对值的性质
【例1】若a<0,则4a+71al等于()
A.1laB.-1laC.-3aD.3a
【例2]一个数与这个数的绝对值相等,那么这个数是()
A.1,0B.正数C.非正数D,非负数
【例3】已知1x1=5,lyl=2,且xy>。
,则x-y的值等于()
A.7或-7B.7或3C.3或-3D.-7或-3
【例4】若刊=7,则*是()
x
A.正数B.负数C.非负数D.非正数
【例5】已知:
2>0/<0,团<山<1,那么以下判断正确的是()
A.l-b>-b>l+a>aB.l+a>a>1-b>-b
【例6]已知a.b互为相反数,且la-bl=6,则lbJ的值为()
A.2B.2或3C.4D.2或4
【例7】a<0,ab<0,计算lb-a+ll-la-b-51,结果为()
【例9]已知:
x<0
A.是正数B.是负数C.是零D.不能确定符号
【例10]给出下面说法:
(1)互为相反数的两数的绝对值相等;
(2)一个数的绝对值等于本身,这个数不是负数;
(3)若Iml>m,则m<0;
(4)若lai>Ibl,则a>b,其中正确的有()
A.
(1)
(2)(3)B.
(1)
(2)(4)
C.
(1)(3)(4)D.
(2)(3)(4)
【例11】已知a,b,c为三个有理数,它们在数轴上的对应位置如图所示,则IIIIII
lc-bl-lb-al-la-cl=・10°'b
【巩固】知a、b、cxd都是整数,且la+bl+lb+cl+lc+dl+ld+al=2,求la+dl的值。
【例12]若x<-2,贝!
Jll-ll+xll=
若lal=-a,则la-ll-la-2l=
【例13】计算+....+—-———?
—=
23220072006
【例14]§lal+a=0flabl=ab,lcl-c=0,化简:
lbl-la+bl-lc-bl+la-cl=
【例15】已知数〃,4c的大小关系如图所丞__一^
b0ac
则下列各式:
①Z?
+a+(-c)>0;@(-6r)-Z?
+c>0;(3)—+—+y=l;®bc-a>0;HH。
⑤卜/一M-+/?
|+\a—c|=-2b.其中正确的有.(请填写番号)
【巩固】已知:
abc^O,且M=H+1^+L!
,当azb,c取不同值时,M有种不同可能.
ahc
当a、b、c都®E数时,M=;
当a、b、c中有一个负数时,则M=;
当a、b、c中有2个负数时,则M=;
当a、b、c都是负数时,M=.
【巩固】已知“,从c是非零整数,且“+A+c=O,求言+箸一半的值
回\b\kl\abc\
(三)绝对值相关化简问题(零点分段法)
零点分段法的一般步骤:
找零点分区间定符号去绝对值符号.
【例题】阅读下列材料并解决相关问题:
x(x>0)
我们知道凶=]0(.r=0),现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式,
-r(x<0)
如化简代融|x+l|+|x—2|时,可令x+l=0和X—2=0,分别求彳导x=—l,x=2(称一1,2分另U为k+1|与k一2|的
零点值),在有理数范围内,零点值八=-1和“=2可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况:
(1)当x<-l时,原式=-(工+1)-(刀-2)=-2刀+1
⑵当-1,<2时,原式=、+1-(工-2)=3
⑶当Q2时,原式=x+l+x-2=2x-l
^2a+1(x<-1)
综上讨论,原式=3(-1Wx<2)
2%-1(x22)
(1)求出卜+2|和|x-4|的零点值
(2)化简代数式|x+2|+|x-4|
解:
(1)lx+21和lx・4l的零点值分别为x=-2和x=4.
(2)当xV-2时,lx+2l+lx-4l=-2x+2:
当-2&V4时,lx+2l+lx-4l=6;
当应4时,lx+2l+lx-4l=2x-2.
【巩固】化简
1.|x+l|+|x+2|2.网+|〃1-1|+|〃?
-2|的值
3.|x+5|+|2a-3|.4.(l)|2x-l|;
变式5.已知k一3|+卜+2|的最小值是“,卜一3|—k+2|的最大值为。
,求4的值。
(四表示数轴上表示数“、数b的两点间的距离.
【例题】(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与-2,3与5,-2与-6,-4与3.
并回答下列各题:
(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?
答:
.
(2)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为一1,则A与B两点间的距离可以表示为:
⑶结合数轴求得lx-2l+lx+3l的最小值为一,取得最小值时x的取值范围为一.
(4)满足卜+1|+卜+4|>3的x的取值范围为:
(5)若--1|+卜-2|+卜-3|+一+.一2008|的值为常数,试求式的取值范围.
(五,绝对值的最值问题
例题1:
1)当X取何值时,IX-II有最小值,这个最小值是多少?
2)当x取何值时,lx-11+3有最小值,这个最小值是多少?
3)当x取何值时,lx-11-3有最小值,这个最小值是多少?
4)当x取何值时,-3+lx-ll有最小值,这个最小值是多少?
例题2:
1)当x取何值时,-lx-II有最大值,这个最大值是多少?
2)当x取何值时,-lx-11+3有最大值,这个最大值是多少?
3)当x取何值时,-lx-11-3有最大值,这个最大值是多少?
4)当x取何值时,3-lx-ll有最大值,这个最大值是多少?
若想很好的解决以上2个例题,我们需要知道如下知识点;
1)非负数:
0和正数,有最小值是0
2)非正数:
。
和负数,有最大值是0
3)任意有理数的绝对值都是非负数,即昨0,则-同里)
4)x是任意有理数,m是常数,贝服口叫沙,有最小值是0,
-|x+m|<0有最大值是0
(可以理解为X是任意有理数,则x+a依然是任意有理数,如|x+3|*,-|x+3区0或者lx-l|NO,-lx-l|<0)
5)x是任意有理数,m和n是常数,则|x+m|g,有最小值是n
-|x+m|+n (可以理解为lx+ml+n是由lx+ml的值向右(n>0)或者向左(nvO)平移了Ini个单位,为如lx-1|沙,则Ix-1I+3n3,相当于 lx-II的值整体向右平移了3个单位,lx-l|>0,有最小值是0,则lx-ll+3的最小值是3) 总结: 根据3[4)、5)可以发现, 当绝对值前面是号时,代数式有最小值, 有号时,代数式有最大值. 例题1: 1)当X取何值时,IX-II有最小值,这个最小值是多少? 2)当x取何值时,lx-11+3有最小值,这个最小值是多少? 3)当x取何值时,lx-11-3有最小值,这个最小值是多少? 4)当x取何值时,-3+lx-II有最小值,这个最小值是多少? 解1)当x-l=O时,即x=l时,lx-11有最小值是0 2)当x-l=O时,即x=l时,lx-11+3有最小值是3 3)当x-l=O时,即x=l时,lx-ll-3有最小值是-3 4)此题可以将~3+k-11变形为收-11-3,即当x-l=O时,即x=l时,lx-ll-3有最小值是-3 例超2: 1)当x取何值时,-lx-II有最大值,这个最大值是多少? 2)当x取何值时,-lx-11+3有最大值,这个最大值是多少? 3)当x取何值时,-lx-ll-3有最大值,这个最大值是多少? 4)当x取何值时,3-lx-ll有最大值,这个最大值是多少? 思考L若x是任意有理数,a和b是常数,贝! J 1)Ix+al有最大(小)值? 最大(小)值是多少? 此时x值是多少? 2)lx+al+b有最大(小)值? 最大(小)值是多少? 此时x值是多少? 3)-lx+al+b有最大(小)值? 最大(小)值是多少? 此时x值是多少? 例题3: 求lx+ll+lx-21的最小值,并求出此时x的取值范围 例题4: 求*+111+收-121+"131的最小值,并求出此时x的值? 例题4: 求代数式lx・ll+lx・2l+lx-3l+lx,4l的最小值 归档总结: 若含有奇数个绝对值,处于中间的零点值可以使代数式取最小值 若含有偶数个绝对值,处于中间2个零点值之间的任意一个数(包含零点值)都可以使代数式取最小值 例题5: 求"111+双-121+"131的最小值,并求出此时x的值? [例题6]lx-II的最小值 lx-ll+lx-21的最小值 lx-ll+lx-2l+lx-3l的最小值 lx-1l+lx-2l+lx-3l+lx⑷的最小值 lx-1l+lx-2l+lx-3l+lx lx-ll+lx-2l+lx-3l+lx lx-1l+lx-2l+lx-3l+lx lx-1l+lx-2l+lx-3l+lx4l+lx-5l+lx-6l+lx-7l+lx-8l的最/J\值 lx-1l+lx-2l+lx-3l+lx lx-1l+lx-2l+lx-3l+lx-4l+lx-5l+lx-6l+lx-7l+lx-8l+lx-91+lx-101的最直 【例题7] (1)已知1x73,求x的值 (2)已知|x饪3,求x的取值范围 (3)已知1x1<3,求x的取值范围 (4)已知国之3,求x的取值范围 (5)已知1x1>3,求x的取值范围 [例题8] (1)已知闲§,则满足条件的所有x的整数值是多少? 且所有整数的和是多少? (2)已知1x1<3,则满足条件的x的所有整数值是多少? 且所有整数的和是多少? 【乘方最值问题】 (1)当a取何值时,代数式(a-3)2有最小值,最小值是多少? (2)当a取何值时,代数式(a-3)44有最小值,最小值是多少? (3)当a取何值时,代数式(a-3产<有最小值,最小值是多少? (4)当a取何值时,代数式-(a-3)2有最大值,最大值是多少? (5)当a取何值时,代数式-(a-3)44有最大值,最大值是多少? (6)当a取何值时,代数式一⑶3%4有最大值,最大值是多少? (7)当a取何值时,代数式4-(a-3)嘴最大值,最大值是多少? [探究1]某公共汽车运营线路AB段上有A.D.C.B四个汽车站,如图现在要在AB段上修建一个加油站 M,为了使加油站选址合理,要求A.B.C.D四个汽车站到加油站M的路程总和最小,试分析加油站M在 何处选址最好? 【探究2]如果某公共汽车运营线路上有Al,A2,A3A4,A5五个汽车站(从左到右依次排列),上述问题中 加油站M建在何处最好? 【探究3]如果某公共汽车运营线路上有Al,A2,A3,…,An共n个汽车站(从左到右依次排列),上述问题中加油站M建在何处最好? A用工 【探究4】根据以上结论,求lx・ll+lx・2l+.•…+lx-616l+lx-617l的最小值。 探究: 根据绝对值的几何意义,就是在数轴上找出表示x的点,使它到表示1.2,….617各点的距离之和最小。 【课就习】1. (1)当X取何值时,卜-3|有最小值? 这个最小值是多少? (2)当x取何值时,5-卜+2|有最大值? 这个最大值是多少? (3)求卜―4|+,-5怕勺最小值。 (4)求卜一7|+打一8|+卜一9|的最〃'值。 2.已知,设“=,+»+卜+1|+的一“一4|,求M的最大值与最小值. 3、若.+H1I与伍一HD? 互为相反数,求3。 +力-1的值。 4.若卜,+〃+1|与(〃-"1)2互为相反数,则a与b的大小关系是(). A.a>bB.a=bC.a 5.利用数轴分析lx-2l+lx+3l,可以看出,这个式子表示的是x到2的距离与x至53的距离之和,它表示两条线段相加: ⑴当x>时,发现,这两条线段的和随x的增大而越来越大; ⑵当x<时,发现,这两条线段的和随x的减小而越来越大; ⑶当 因此,总结,lx-2l+lx+3l有最小值,即等于到的距离。 6.利用数轴分析lx+71-lx-ll,这个式子表示的是x到-7的距离与x至I」1的距离之差 它表示两条线段相减: ⑴当烂时,发现,无论x取何值,这个差值是一个定值; ⑵当x>时,发现,无论X取何值,这个差值是一个定值; ⑶当<工<时,随着X增大,这个差值渐渐由负变正,在中点处是零。 因此,总结,式子lx+71-lx-ll当x时,有最大值;当x时,有最小值 7.设.+〃+c=0fabc>0,则的值是(). A.-3B.1C.3或-1D.-3或1 8.设"、c分别是一个三位数的百位、十位和个位数字,并且,则上-4+84+g4可能取得的最大值是 绝对值(零点分段法、化简、最值) 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法与一般不等式的解法相同。 因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 X(Y>0) 根据实数含绝对值的意义,即1X1=一],有 -x(x<0) x<一c或%>c(c>0) xH0(c=0) xeR(c<0) % 2利用不等式的性质去掉绝对值符号 利用不等式的性质转化Ixlvc或1,门>。 (。 >0)来解,如Ica+〃I>C(c>0)可为O¥+〃>C或at+〃<-c;\ax+b\ 对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解,也可利用结论”〃£x饪人O〃SxW〃或WXW-。 ”来求解,这是种典型的转化与化归的数学思想方法。 3利用平方法去掉绝对值符号 对于两边都含有''单项"绝对值的不等式,利用IW2=/可在两边脱去绝对值符号来解,这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷,解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围,如果没有明确不等式两边均为非负数,需要进行分类讨论,只有不等式两边均为非负数(式)时,才可以直接用两边平方去掉绝对值,尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。 4利用零点分段法去掉绝对值符号 所谓零点分段法,是指: 若数为,X2,……,五分别使含有IX-xjf\x-x2\,……,lx-乙I的代数式中相应绝对值为零,称为,X,,……,/为相应绝 对值的零点,零点/4将数轴分为机+1段,利用绝对值的意义化去绝对值符号,得到代数式在各段上的简化式,从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解,即令每项等于零,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集。 零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法,它可以把求解条理化、思路直观化。 5利用数形结合去掉绝对值符号 解绝对值不等式有时要利用数形结合,利用绝对值的几何意义画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。 数形结合法较为形象、直观,可以使复杂问题简单化,此解法适用于lx-4l+lx-或lx-i/l+Lv-/? l<m(m为正常数)类型不等式。 对I仪+。 I+1ex+d1>机(或<〃? ),当I4罔cI时一般不用。 二、如何化简绝对值 绝对值的知识是初中代数的重要内容,在中考和各类竞赛中经常出现,含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一,解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义,将绝对值符号化去,将问题转化为不含绝对值符号的问题,确定绝对值符号内部分的正负,借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 (-X根据题设条件 例1: 设XO1,化简2-|2-|x-2|I的结果是(\ (A)2-x(B)2+x(C)-2+x(D)-2-x (二X借助数轴 例2: 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式lal-la+bl+lc-al+lbd的值等于() (A)-a(B)2a-2b(C)2c-a(D)a i111► ba0c (三)、采用零点分段讨论法例3: 化简2lx-2l-lx+4l 三、带绝对值符号的运算 如何去掉绝对值符号? 既是初中数学的一个重点,也是初中数学的一个难点。 (一)、要理解数a的绝对值的定义。 数a的绝对值是这样定义的「在数轴上,表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。 .‘应理解,数a的绝对值所表示的是一段距离,那么,不论数a本身是正数还是负数,它的绝对值都应该是一个非负数。 (二)、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。 从数a的绝对值的定义可知,一个正数的绝对值肯定是它的本身,一个负数的绝对值必定是它的相反数,零的绝对值就是零。 重点理解的是,当a是一个负数时,怎样去表示a的相反数(可表示为“-屋),以及绝对值符号的双重作用(一是非负的作用,二是括号的作用1 (三/掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。 1、对于形如Ia|的一类问题 只要根据绝对值的3个性质,判断出a的3种情况,便能快速去掉绝对值符号。 当a>0时,|a|=a(性质1: 正数的绝对值是它本身); 当a=0时,|a|=0(性质2: 0的绝对值是0); 当a<0时;Ia|=-a(性质3: 负数的绝对值是它的相反数)。 2、对于形如Ia+b|的一类问题 首先要把a+b看作是一个整体,再判断a+b的3种情况,根据绝对值的3个性 质,便能快速去掉绝对值符号进行化简。 当a+b>0时,|a+b|=(a+b)=a+b(性质1: 正数的绝对值是它本身); 当a+b=O时,|a+b|=(a+b)=0(性质2: 0的绝对值是0); 当a+b<0时,|a+b|=-(a+b)=-a-b(性质3: 负数的绝对值是它的相反数)。 3、对于形如Ia-b|的一类问题 同样,仍然要把a-b看作一个整体,判断出a-b的3种情况,根据绝对值的3 个性质,去掉绝对值符号进行化简。 但在去括号时最容易出现错误。 如何快速去掉绝对值符号,条件非常简单,只要你能判断出a与b的大小即可(不论正负\ 因为I大-小I=I小-大I=大-小, 所以当a>b时,|a-b|=(a-b)=a-b,|b-a|=(a-b)=a-b0 |口诀: 无论是大减小,还是小减大,去掉绝对值,都是大减小。 4、对于数轴型的一类问题, 根据3的口诀来化简,更快捷有效。 如Ia-b|的一类问题,只要判断出a在b的右边(不论正负),便可得到|a-b|=(a-b)=a-b,|b-a|=(a-b)=a-b0 5、对于绝对值符号前有正、负号的运算 非常简单,去掉绝对值符号的同时,不要忘记打括号。 前面是正号的无所i胃,如果是负号,忘记打括号就惨了,差之亳厘失之千里也! 6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算 万变不离其宗,还是把绝对值号里的式子看成一个整体,把它与0比较,大于0直接去绝对值号,小于0的整体前面加负号。 四.去绝对值化简专题练习 (1)设*<-1化简2-|2-r-2||的结果是(\ (A)2-x(B)2+x(C)-2+x(D)-2-x (2)实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式lal-la+bl+lc-al+lb-cl的值 等于() (A)-a(B)2a-2b(C)2c-a(D)a 11-i1>ba0c (3)已知定2,化简2lx-2l-lx+4l的结果是x-80 (4)已知x<-4,化简2lx-2l-lx+4l的结果是--x+8。 (5)已知乂夕<2,化简2lx-2Ux+4l的结果是--3x0 (6)已知a、b、c、d满足a<-l 那么a+b+c+d=()(提示: 可借助数轴完成) (7)若|-a|>-a,则有(A\
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