届湖南省高三六校联考试题 数学理word版.docx

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届湖南省高三六校联考试题数学理word版

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湖南省2019届高三六校联考试题

由　　联合命题

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

时量120分钟，满分150分。

答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

作答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数z满足（1＋i）z＝，则z＝

A．2＋2iB．1＋2iC．1－2iD．2－2i

2．已知集合A＝，则∁RA＝

A．[－3，1）B．（－∞，－3）∪[1，＋∞）

C．（－3，1）D．（－∞，－3]∪（1，＋∞）

3．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：

分）进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．

①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；

②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；

③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；

④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．

其中正确的个数为

A．1B．2C．3D．4

4．如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为8，则俯视图中三角形的高x等于

A．2B．3C．4D．1

5．已知f（x）是奇函数，当x>0时，f（x）＝－，则函数在x＝－1处的切线方程是

A．2x－y－1＝0B．x－2y＋2＝0

C．2x－y＋1＝0D．x＋2y－2＝0

6．如图，在矩形OABC中的曲线分别是y＝sinx，y＝cosx的一部分，A，C（0，1），在矩形OABC内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为P1，取自非阴影部分的概率为P2，则

A．P1>P2B．P1

C．P1＝P2D．大小关系不能确定

7．已知△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠A＝60°，AD⊥BC于D，＝λ＋μ，则＝

A．6B．3C．3D．2

8．已知双曲线C：

－＝1（a>0，b>0），以点P（b，0）为圆心，a为半径作圆P，圆P与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MPN＝90°，则C的离心率为

A.B.C.D.

9．若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位（例如：

2019＋100＝2119，则称（m，n）为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对（m，n）的值，那么值为2019的“简单的”有序对的个数是

A．30B．60C．96D．100

10．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xlnx＝1的解，则x1x2等于

A．eB．1C.D．－1

11．已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，且f（x）在上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为－1），则ω的取值范围是

A.B.C.D.

12．已知函数f（x）＝ex－ax－1在区间内存在极值点，且f（x）<0恰好有唯一整数解，则a的取值范围是（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）

A.B.∪

C.∪D．（e－1，e）

第Ⅱ卷

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知二项式的展开式中的常数项为－160，则a＝________．

14．若实数x，y满足不等式组则目标函数z＝3x－y的最大值为________．

15．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P－ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为r，则＝________．

16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若c＝2b，△ABC的面积为1，则a的最小值为________．

三、解答题：

共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题，共60分。

17．（本小题满分12分）

已知数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且对任意的r、t∈N*，都有＝.

（Ⅰ）判断{an}是否为等差数列，并证明你的结论；

（Ⅱ）若数列{bn}满足＝2n－1（n∈N*），设Tn是数列{bn}的前n项和，证明：

Tn<6.

18．（本小题满分12分）

在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝.已知E，F分别是BC，AC的中点．将△CEF沿EF折起，使C到C′的位置且二面角C′－EF－B的大小是60°.连接C′B，C′A，如图：

（Ⅰ）求证：

平面C′FA⊥平面ABC′；

（Ⅱ）求平面AFC′与平面BEC′所成二面角的大小．

19．（本小题满分12分）

已知平面上一动点P到定点F（，0）的距离与它到直线x＝的距离之比为，记动点P的轨迹为曲线C.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设直线l：

y＝kx＋m与曲线C交于M，N两点，点M在x轴上的射影为G，O为坐标原点，若4·＝9·，求△MON面积的最大值．

20．（本小题满分12分）

随着食品安全问题逐渐引起人们的重视，有机、健康的高端绿色蔬菜越来越受到消费者的欢迎，同时生产－运输－销售一体化的直销供应模式，不仅减少了成本，而且减去了蔬菜的二次污染等问题．

（Ⅰ）在有机蔬菜的种植过程中，有机肥料使用是必不可少的．根据统计某种有机蔬菜的产量与有机肥料的用量有关系，每个有机蔬菜大棚产量的增加量y（百斤）与使用堆沤肥料x（千克）之间对应数据如下表：

使用堆沤肥料x（千克）

2

4

5

6

8

产量增加量y（百斤）

3

4

4

4

5

依据表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；并根据所求线性回归方程，估计如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克，则每个有机蔬菜大棚产量增加量y是多少百斤？

（Ⅱ）某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份10元的价格销售到生鲜超市．“乐购”生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）．该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量（单位：

份），制成如下表格（注：

x，y∈N*，且x＋y＝30）：

每日前8个小时

销售量（单位：

份）

15

16

17

18

19

20

21

频数

10

x

16

16

15

13

y

若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，当购进17份比购进18份的利润的期望值大时，求x的取值范围．

附：

回归方程系数公式＝，＝－·.

21．（本小题满分12分）

已知f（x－1）＝2ln（x－1）－＋k（x>1）．

（Ⅰ）判断当－1≤k≤0时f（x）的单调性；

（Ⅱ）若x1，x2（x1≠x2）为f（x）两个极值点，求证：

x[f（x1）＋f（x2）]≥（x＋1）[f（x）＋2－2x]．

（二）选考题：

共10分。

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．（本小题满分10分）选修4—4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝.

（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设P为曲线C上的点，PQ⊥l，垂足为Q，若的最小值为2，求m的值．

23．（本小题满分10分）选修4—5：

不等式选讲

已知函数f（x）＝|x－2a|－|x－a|，a∈R.

（Ⅰ）若f

（1）>1，求a的取值范围；

（Ⅱ）若a<0，对x，y∈（－∞，a]，都有不等式f（x）≤＋|y－a|恒成立，求a的取值范围．

湖南省2019届高三六校联考试题

数学（理科）参考答案

命题学校：

师大附中、湘潭市一中

一、选择题

题　号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答　案

D

B

B

C

C

A

A

C

B

B

D

C

二、填空题

13．2　【解析】二项式的展开式的通项是Tr＋1＝C·（ax）6－r·＝C·a6－r·（－1）r·x6－2r.令6－2r＝0，得r＝3，因此二项式的展开式中的常数项是C·a6－3·（－1）3＝－160，故a＝2.

14．12　【解析】作出可行域如图，目标函数y＝3x－z，

当y＝3x－z过点（4，0）时，z有最大值，且最大值为12.

15.　【解析】易知该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，所以＝AB2＋AD2＋AP2＝42＋42＋32＝41，R＝.

因为侧棱PA⊥底面ABCD，且底面为正方形，所以内切球O1在侧面PAD内的正视图是△PAD的内切圆，则内切球半径为1，故＝.

16.　【解析】设角A为θ，

a2＝b2＋c2－2bccosθ＝b2＋4b2－4b2cosθ＝b2（5－4cosθ）．

又S△ABC＝·2b·b·sinθ＝b2sinθ＝1，∴b2＝，

∴a2＝，设y＝，

则y′＝＝，

当4－5cosθ＝0，即cosθ＝时，y有最小值为3，故a的最小值为.

三、解答题

17．【解析】（Ⅰ）{an}是等差数列．证明如下：

因为对任意的r、t∈N*，都有＝，

所以对任意的n∈N*，有＝n2，即Sn＝n2.2分

从而n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，且n＝1时此式也成立．

所以an＋1－an＝2（n∈N*），

即{an}是以1为首项，2为公差的等差数列.5分

（Ⅱ）＝2n－1，得bn＝.6分

Tn＝1·＋3·＋…＋（2n－1）·，

Tn＝1·＋3·＋…＋（2n－3）·＋（2n－1）·.8分

两式相减得：

Tn＝1＋2·＋2·＋…＋2·－（2n－1）·

＝1＋2·－（2n－1）·＝1＋4－（2n－1）·＝3－（2n＋3），

Tn＝6－（2n＋3）.10分

∵n∈N*，∴Tn＝6－（2n＋3）<6.12分

18．【解析】（Ⅰ）解法一：

∵F是AC的中点，∴AF＝C′F.

设AC′的中点为G，连接FG.

设BC′的中点为H，连接GH，EH.

易证：

C′E⊥EF，BE⊥EF，∴∠BEC′即为二面角C′－EF－B的平面角．

∴∠BEC′＝60°，而E为BC的中点．

易知BE＝EC′，∴△BEC′为等边三角形，∴EH⊥BC′.　①

∵EF⊥C′E，EF⊥BE，C′E∩BE＝E，∴EF⊥平面BEC′.

而EF∥AB，∴AB⊥平面BEC′，∴AB⊥EH，即EH⊥AB.　②

由①②，BC′∩AB＝B，∴EH⊥平面ABC′.

∵G，H分别为AC′，BC′的中点．

∴GH綊AB綊FE，∴四边形EHGF为平行四边形．

∴FG∥EH，FG⊥平面ABC′，又FG平面AFC′.

∴平面AFC′⊥平面ABC′.6分

解法二：

如图，建立空间直角坐标系，设AB＝2.

则A（0，0，2），B（0，0，0），F（0，2，1），E（0，2，0），C′（，1，0）．

设平面ABC′的法向量为a＝（x1，y1，z1），

＝（0，0，2），＝（，1，0），

∴令x1＝1，则a＝（1，－，0），

设平面AFC′的法向量为b＝（x2，y2，z2），

＝（0，2，－1），＝（，1，－2），

∴令x2＝，则b＝（，1，2）．

∵a·b＝0，∴平面AFC′⊥平面ABC′.6分

（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，设AB＝2.

则A（0，0，2），B（0，0，0），F（0，2，1），E（0，2，0），C′（，1，0）．

显然平面BEC′的法向量m＝（0，0，1），8分

设平面AFC′的法向量为n＝（x，y，z），＝（，1，－2），＝（0，2，－1），

∴∴n＝（，1，2）.9分

cos〈m,n〉＝＝，10分

由图形观察可知，平面AFC′与平面BEC′所成的二面角的平面角为锐角．

∴平面AFC′与平面BEC′所成二面角大小为45°.12分

19．【解析】（Ⅰ）设P（x，y），则＝，化简得＋y2＝1.4分

（Ⅱ）设M，N，G（x1，0），联立

得x2＋8kmx＋4m2－4＝0，

依题意，Δ＝－4>0，

化简得m2<4k2＋1，　①

x1＋x2＝－，x1x2＝，

y1y2＝＝k2x1x2＋km＋m2，

若4·＝9·，则4x1x2＋4y1y2＝9x1x2，即4y1y2＝5x1x2，6分

∴4k2x1x2＋4km＋4m2＝5x1x2，

∴·＋4km＋4m2＝0，

即－8k2m2＋m2＝0，

化简得m2＋k2＝，　②8分

＝＝

＝＝，

∵原点O到直线l的距离d＝，

∴S△MON＝·d＝.10分

设4k2＋1＝t，由①②得0≤m2<，

所以

S△MON＝＝＝3≤1，

所以当＝时，即k＝±时△MON面积最大为1.12分

20．【解析】（Ⅰ）x＝＝5，y＝＝4.2分

＝22＋42＋52＋62＋82＝145，

＝＝0.3，＝y－·x＝4－0.3×5＝2.5，

所以y关于x的线性回归方程为：

y＝0.3x＋2.5.4分

当x＝10时，y＝0.3×10＋2.5＝5.5百斤，

所以如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克，

估计每个有机蔬菜大棚产量的增加量y是5.5百斤.5分

（Ⅱ）若该超市一天购进17份这种有机蔬菜，Y1表示当天的利润（单位：

元），那么Y1的分布列为

Y1

65

75

85

P

Y1的数学期望是EY1＝65×＋75×＋85×＝；8分

若该超市一天购进18份这种有机蔬菜，Y2表示当天的利润（单位：

元），那么Y2的分布列为

Y2

60

70

80

90

P

Y2的数学期望是EY2＝60×＋70×＋80×＋90×＝；11分

又购进17份比购进18份的利润的期望值大，故>，求得x>24，

故求得x的取值范围是，x∈N*.12分

21．【解析】（Ⅰ）因为f（x－1）＝2ln（x－1）＋（x>1），

所以f（x）＝2lnx＋（x>0）．

f′（x）＝＋＝，2分

当－1≤k≤0时，Δ＝（4＋k）2－16＝k（k＋8）≤0，2x2＋（4＋k）x＋2>0恒成立．

于是，f（x）在定义域上为单调增函数.5分

（Ⅱ）证明：

∵f′（x）＝＋＝，

由题设知，f′（x）＝0有两个不相等的正实数根x1，x2，则

k<－8，7分

而f（x1）＋f（x2）＝2lnx1＋＋2lnx2＋

＝2ln（x1x2）＋k

＝2ln（x1x2）＋k·＝k，9分

又＝k，

故欲证原不等式等价于证明不等式：

≥[f（x）－2（x－1）]，10分

也就是要证明：

对任意x>0，有lnx≤x－1.11分

令g（x）＝lnx－x＋1（x>0），由于g

（1）＝0，并且g′（x）＝－1，

当x>1时，g′（x）<0，则g（x）在（1，＋∞）上为减函数；

当00，则g（x）在（0，1）上为增函数．

则g（x）在（0，＋∞）上有最大值g

（1）＝0，即g（x）≤0，故原不等式成立.12分

22．【解析】（Ⅰ）因为曲线C的极坐标方程为ρ2＝，

即ρ2＋ρ2sin2θ＝4，

将ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y代入上式并化简得＋＝1，3分

所以曲线C的直角坐标方程为＋＝1，

直线l的普通方程为x－y－m＝0.5分

（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），由点到直线的距离公式得

＝＝，7分

由题意知m≠0，

当m>0时，＝＝2，得m＝2＋2；

当m<0时，＝＝2，得m＝－2－2；

所以m＝2＋2或m＝－2－2.10分

23．【解析】（Ⅰ）f

（1）＝|1－2a|－|1－a|>1.1分

若a≤，则1－2a－1＋a>1，得a<－1；2分

若1，得a>1，即不等式无解；3分

若a≥1，则2a－1＋1－a>1，得a>1,4分

综上所述，a的取值范围是（－∞，－1）∪（1，＋∞）.5分

（Ⅱ）由题意知，要使得不等式恒成立，只需[f（x）]max≤[|y＋2020|＋|y－a|]min，6分

当x∈（－∞，a]时，|x－2a|－|x－a|≤－a，[f（x）]max＝－a，7分

因为|y＋2020|＋|y－a|≥|a＋2020|，

所以当（y＋2020）（y－a）≤0时，[|y＋2020|＋|y－a|]min＝|a＋2020|，9分

即－a≤|a＋2020|，解得a≥－1010，结合a<0，

所以a的取值范围是.10分