求导法则及求导公式.docx
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求导法则及求导公式.docx
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求导法则及求导公式
§2求导法则
上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家:
深刻理解导数概念,能准确表达其定义;
明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知
道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系•特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数•例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我
们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算•因此,从理论上来讲
给了一个函数(不管它是简单函数,还是复杂函数),总可用定义求其导数(只要极限存在)
但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的•试想对基本
初等函数的导数计算(用定义求导)都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象•
因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能
较方便地求出初等函数的导数•在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数:
f1(x)sinxcosxg1(x)sin2x
f2(x)sinxcosxg2(x)sin(ax)
f3(x)
cosxg3(x)arcsinxlogax
、导数的四则运算
即
(sinxcosx)'(sinx)'(cosx)'
一般地,有如下和的导法则:
定理i(和的导数)设f(x),g(x)在x点可导,则
[f(x)g(x)]f(x)g(x)(求导是线性运算)
证明令y(x)f(x)g(x)
y[f(xx)g(xx)][f(x)g(x)]
xx
f(xX)f(x)g(xx)g(x)
xx
f(x)g(x)当x0时。
xxx
问题2设f(x)sinxa,则f'(x)(sinx)'(a)'cosxalna对吗?
分析一般地,有如下乘积的求导法则:
定理2(积的导数)设f(x),g(x)在x点可导,则
f(x)g(x)f(x)g(x)(它导它不导,它不导它导,然后加起来)令y(x)
f(x
[f(x)g(x)]
证明
f(x)g(x)
x)g(xx)f(x)g(x)
X
(分子f(x)g(xf(xx)f(x)/
g(x
X)f(x)g(xX))
x)f(x)g(XX)g(X)
xx
f(X)g(x)f(X)g(x)当x0时。
推论1
(u(x)v(x)w(x))'(x°)
U'(Xo)V(Xo)W(Xo)U(Xo)v'(Xo)W(Xo)U(X°)V(X。
)w'(X。
).
推论2若函数v(x)在X0知可导,C为常数,则(cos(x))'xx0Cv'(x。
).
问题3设f(x),求f'(x).
logaX
一般地,存如下商的运算法则:
定理3
(商的导数)
设f(x),g(x)在X点可导,则
f(x)g(x)
f(x)g(x)f(x)g(x)
g2(x)
证明
y(x)令
1
1
g(x)
f(x)g(x)
1
g(xx)g(x)g(xx)g(x)_
X
邺总当X
g2(x)
1
f(x)
g(x)给出(3).
g(xX)g(x)
推论
(1)[cf(X)]cf(x).
n
fi(x)
i1
fi(x)
1
n
fi(x)
j1
⑶
.利用导数的四则运算法则举例
n
Kk(x),
k1
Kk(x)fdx)
fk(X)fn(X)
例1f(x)x35x29x,求f'(x),f'(0).
例2ycosxInx,求y'
.例3证明:
(xn)'
nxn1,nN.
2
例4证明:
(tanx)'sec
x,(cotx)'csc
例5证明:
(secx)'secxtanx,(cscx)'
escxcotx.
.利用导数的四则运算法则求导数举例:
1.
f(x)
x2sinx•2
5J•
f(x)x3
sinxcosx;
3.
f(x)
2
2x;4.f(x)
2
xcosx;
5.
f(x)
xsinx7x;6.
f(x)
23
xxcosx;
7.
f(x)
x2sinxInx塑;8.
x
f(x)
5sinx3tgx
9.
x
esinx
71tgx
2,XInX.
二、反函数的导数
问题
设f(x)
arcsinx,求f'(x).
定理
(yo)
x°
(y)在区间(c,d)上连续,严格上升,在yo(c,d)点可导,且(y0).则反函数y
f(X。
)
注若
(y)在(c,d)可导,导数
f(x)在x°
1
(y°)
°(或0),则反函数yf(x)存在,且
点可导,且
1
f(x)
111
&[f(x)]
(y)yf(x)
这里导数°(或
dydx
°)可推出(y)严格上升(下降),反函数之导数公式也可写成
1dxdy.
定理的证明
limf(x)f(x°)
xx°要证
xx°
存在,注意到这个比式是函数
g(y)
yo
(y)(y0)与yf(x)
的复合,由定理条件知
f(x)f(x°)
lim
y
yo
(y)(%)
yimyo(y)(y0)
yyo
1
(y°)
再由反函数连续性,
limf(x)f(X0)
xx0
xXo
x。
时,yyo,由复合函数求极限定理得
J_
(yo)
limg[f(x)]
xx
yimg(y)
yo
arcsinx
(siny)y
1
例6y
xa
(a0,a1),
求y.
(ax)
y
5
1
y
解x
loga
(loga
y)
yax
logae
yax
(logaX)
1
1
logae
已知,也可求
(ax)
x
logay
axlna
y
例7y
x
5
求y.
解
y
Inxe
y—ex
Inxx
1
例
8y
arcsinx
求y.
解
xsiny
5
1
(arcsinx)
axlna
/x
反过来,如果(a)
cos(arcsinx)
1
<'i__x2
例9yarccosx,求y.
例1。
yarctgx,求y.
三、复合函数的导数
问题1设f(x)sin2x,求f'(x);2).设f(x)sin(ax),求f'(x);3).设
f(x)x,求f'(x).
定理5设f(Uo)与g(xo)存在,Uog(xo),则复合函数F(x)f[g(x)]在xo点可
导,且F(xo)f[g(xo)]g(xo).
注若
F(x)
f(U)的定义域包含Ug(x)的值域,两函数在各自的定义域上可导,则复合函数
f[g(x)]g(x)(怀中抱月)或
du
dx
f[g(x)]在g(x)的定义域上可导
yxyUux
定理的证明
定义函数
f(u)f(Uo)
(X)
且F
dydy
dx
du
A(u)
Uo,
UUof(Uo)
A(u)ulimA(u)
A(U)在Uo点连续,uuo由恒等式,f(U)F(x)F(xo)
Uo。
A(Uo)
f(Uo)
f(Uo)A(U)(UUo),我们有
xXo
仏冋住⑷A[g(x)]
g(x)g(Xo)
xXo
xXo
令XXo,得F(Xo)f[g(xo)]g(x°)
我们引进A(u)是为了避免再直接写表达式
F(x)F(Xo)f(u)f(Uo)g(x)g(x。
)
XXoUUoXXo
中当XXo时,可能会出现UUo情况.例1yX?
求y.
解
12-12
y-(1x)(1x)
2
2
例2ysinx,求y.
222
解ycosx(x)2xcosx.
例3ysin(sinx3),求y.
解ycos(sinx3)cosx3(x3)3x2cosx3cos(sinx3)
例4丫ln(xMx2),求y
解
2x
(x1X2)
ln|x|,求y.
1
y_
o时,x;xo时,
Insin(2x)求y
2
ycos(2x)
解sin(2x)
四、隐函数微分法
例5y
解x
例6y
y(ln(X))
2cos(2x)sin(2x).
-(
x
11
x);,x0时,(ln|x|);
d
F(xy)oF(x,y)o
F(x,y)o,则其导数可以从dx求出•一个方程
1
决
哇定
个可微函数yy(x),留待日后解决,现在我们通常假定能唯
考虑如何求出导函数问题.
2
a,求过点(xo,yo)(yoo)的切线方程•
22
ya求导,心中记住yy(x)是x的函数,得
o
y(x)
y(xo)
Xo
yo,过(Xo』。
)切线方程为
在(x0,y0)占上
1—1—*八、、一'~*■J
X。
(yyo(x
yo
2
xxoyyoXo
2
即xxoyyoa
五、对数微分法我们结合例子研究对数微分法
Xo)
2
yo
(a
o),求y.
解函数定义域
Iny
0)和(a,),取对数
31
2x
訓|x|
y_
y(x)求导,采用隐函数微分法,得y
2x3ax3
2x(xa)\xa
yuv,uu(x),vv(x),求y.
1
In|xa|
2,两边对
2x3a
2x(xa),所以
Inuv
yy(竺vInu)
u
uv(vuvInu)
u
如yxx,yxx(1Inx)
六、双曲函数及其反函数之导数
y
shx
4(ex
X\
e)
y
chx
1(ex
e)
y
thx
shx
chx
chxycthx
shx
22
性质chxshx1
ch2x
sh2
xch2x
sh2x
2shxchx
sh(x
y)
shxch
y
chxshy
ch(x
y)
chxch
y
shxshy
1th2
x
1
ch2x
1cth
2
x
1
sh2x
shx
chx
xe
cos
isine
chx
shx
x
e由
cos
isine
(shx)chx
(chx)shx
(thx)chx
反双曲函数
ArshxIn(x
Arthx
11x
In
1x(Arthx)rv
小结
一、基本求导法则
1.(uv)'u'v';2.(uv)'u'vuv',(cu)'cu';
czuu'vuv'z11主…氓dydydu
3.(—)2,()2;4.反函数导数.
vvvvdxdudx
二、基本初等函数导数公式
1.(c)'0;
2.(x)'x(R);
3.(sinx)'cosx,(cosx)'sinx;
22
4.(tan)'secx,(cot)'escx,
(secx)'
secxtanx,(cscx)'cscx
ctgx;
5.
(ax)'
xxx
aIna,(e)'e;
6.
(logax)'
(arcsinx)'
1
2「,(arccosx)'
1x
(arctanx)'
1
y
解取对数,得1nyVlnU,两边求导,得y
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