因式分解最全方法归纳.docx
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因式分解最全方法归纳
因式分解最全方法归纳
一、因式分解的概念与原则
1、定义:
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式,这种恒等变换叫做因式分解,也叫作分解因式。
2、原则:
(1)分解必须要彻底(即分解之后的因式均不能再做分解);
(2)结果最后只留下小括号;
(3)结果的多项式是首项为正,为负时提出负号;
(4)结果个因式的多项式为最简整式,还可以化简的要化简;
(5)如有单项式和多项式相乘,应把单项式提到多项式前;
(6)相同因式的乘积写成幂的形式;
(7)如无特殊要求,一般在有理数范围内分解。
如另有要求,在要求的范围内分解。
3、因式分解的一般步骤
(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
(2)如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;
(3)如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项法来分解;
(4)检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解。
也可以用一句话来概括:
“先看有无公因式,再看能否套公式。
十字相乘试一试,分组分解要相对合适。
”
二、因式分解的方法
1、提取公因式
公因式:
一个多项式的多项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。
公因式可以是单项式,也可以是多项式。
确定公因式的方法:
公因数的常数应取各项系数的最大公约数,多项式第一项为负的,要提出负号;字母取各项的相同字母,而且各字母的指数取次数最低的。
提取公因式:
公因式作为一个因式,原式除以公因式的商作为另一个因式。
注意事项:
(1)先确定公因式,一次把公因式全部提净;
(2)提完公因式后,商的项数与原式相同,与公因式相同的项,其商为1不可丢掉;
(3)提取的公因式带负号时,多项式的各项要变号。
例1、分解因式:
6a2b–9abc+3ab
解:
原式=3ab(2a-3c+1)
例2、分解因式:
–12x3y2+4x2y3
解:
原式=–4x2y2(3x–y)
总结(口诀):
找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶。
2、公式法
分解因式与整式乘法是互逆的恒等变换,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解成因式。
平方差a2–b2=(a+b)(a–b)
完全平方(a±b)2=a2+b2±2ab(a+b+c)2=a2+b2+2ab+2bc+2ca
立方差a3–b3=(a–b)(a2+b2+ab)
立方和a3+b3=(a+b)(a2+b2–ab)
三项立方和a3+b3+c3–3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2–ab–bc–ac)
完全立方(a+b)³=a³+3ab²+3a²b+b³(a-b)³=a³+3ab²-3a²b-b³
高次方和an–bn=(a–b)[a(n–1)+a(n–2)b+……+b(n–2)a+b(n–1)]
高次方差am+bm=(a+b)[a(m–1)-a(m–2)b+……-b(m–2)a+b(m–1)](m为奇数)
部分公式的推导:
a2–b2=a2+ab–ab–b2=(a2+ab)–(ab+b2)=a(a+b)–b(a+b)=(a+b)(a–b)a3+b3=a3+a2b-a2b+b3=a2(a+b)-b(a2-b2)=a2(a+b)-b(a+b)(a-b)=(a+b)[a2-b(a-b)]=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=a3-a2b+a2b-b3=a2(a-b)+b(a2-b2)=a2(a-b)+b(a+b)(a-b)=(a-b)[a2+b(a+b)]=(a-b)(a2+ab+b2)
例3、分解因式:
x6-64y6
解一:
原式=(x3)2–(8y3)2=(x3+8y3)(x3–8y3)=(x+2y)(x2–2xy+4y2)(x–2y)(x2+2xy+4y2)
解二:
x6-64y6=(x2)3–(4y2)3=(x2–4y2)(x4+8x2y2+16y4–4x2y2)=(x+2y)(x–2y)[(x2+4y2)2–(2xy)2]=(x+2y)(x–2y)(x2+2xy+4y2)(x2–2xy+4y2)
注意:
分解时既用平方差公式又用立方差公式,一般先用平方差公式,可简化步骤。
3、分组分解法
多项式含有多个单项式时,从整体看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从局部看,能够提取公因式或利用公式的,进行适当的分组,使得分组后能够提取公因式或利用公式。
例4、分解因式:
am+an–bm–bn
解:
原式=(am+an)–(bm+bn)=a(m+n)–b(m+n)=(a–b)(m+n)3
例5、分解因式:
a2+b2–c2–2ab
解:
原式=(a2–2ab+b2)–c2=(a–b)2–c2=(a–b+c)(a–b–c)
4、十字相乘法
(1)形如ax2+bx+c的二次三项式,如果有mn=a,pq=c,且mq+np=b,则可把该式分解为ax2+bx+c=(mx+p)(nx+q)。
注意:
凡是能十字相乘法分解的二次三项式ax2+bx+c,都要求判别式Δ=b2–4ac≥0,能在有理数范围内分解的,还必须是一个完全平方数。
例6、分解因式:
3x2–11x+10
解:
原式=(3×1)x2+[1×(-5)+3×(-2)]x+(–2)×(–5)=(x-2)(3x-5)
例7、分解因式:
6x2y2–xy–15
解:
原式=2×3x2y2+[2×(–5)+3×3]xy+3×(–5)=(2xy+3)(3xy-5)
例8、已知k为正整数,2x2+3x+k能够在整数范围内分解因式,求k值。
解:
Δ=3
2–4×2k=9–8k≥0,k≤98,且为正整数
∴k=1
例9、(2004⋅杭州)要是二次三项式x2–5x+p在整数范围内能进行因式分解,那么整数p的取值可以有()。
A、2个B、4个C、6个D、无数个
解:
Δ=(–5)
2–4p=25–4p≥0,即p≤254
只要p能分解为和为–5的两个数,这样的数有无数组,故选D
(2)二次项系数为1时,是相对上面标准二次三项式的简化。
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
例10、分解因式:
x2–5x+6
解:
原式=x2+[(–2)+(–3)]x+(–2)×(–3)=(x–2)(x–3)
例11、分解因式:
x2–2x–35
解:
原式=x2+[5+(–7)]x+5×(–7)=(x+5)(x–7)4
(3)对于齐次多项式ax2+bxy+cy2,将一个字母当做常数处理,把原多项式看成关于另一个字母的二次三项式,就可以利用十字相乘法进行分解。
例12、分解因式:
15x2+7xy-4y2
解:
原式=(5x+4y)(3x–y)
例13、分解因式:
x2–6xy+8y2
解:
原式=(x–4y)(x–2y)
(4)对于高次多项式形如ax2n+bxn+c或ax2n+bxnym+cy2m的,参照上面方法进行,分解后的多项式由于次数较高,如果有能继续分解的要继续分解,直至分解彻底。
例14、分解因式:
2s4–5s2+3
解:
原式=(s2–1)(2s2–3)=(s+1)(s–1)(2s2–3)
例15、分解因式:
12m4–19m2n2–18n4
解:
原式=(4m2–9n2)(3m2+2)=(2m+3)(2m–3)(3m2+2)
5、拆项法(包含添项法)
把多项式的某一项拆开成其和与原项相等的两项或多项,一个不存在的项也可以拆成其和为0的两项或多项(也称添项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
注意:
拆项(或添项)必须是在与原多项式相等的原则下进行的恒等变换,否则此处一步错,后面步步错。
例16、分解因式:
x3–3x2+4
解一:
原式=x3+1–3x2+3=(x+1)(x2–x+1)–3(x+1)(x–1)
=(x+1)(x2–x+1–3x+3)=(x+1)(x2–4x+4)=(x+1)(x–2)2
解二:
原式=(x3–3x2–4x)+4x+4=x(x2-3x–4)+4(x+1)
=x(x+1)(x–4)+4(x+1)=(x+1)(x2–4x+4)=(x+1)(x–2)2
例17、分解因式:
bc(b+c)+ca(c–a)–ab(a+b)
解:
原式=bc(c-a+a+b)+ca(c–a)–ab(a+b)
=bc(c–a)+ca(c–a)+bc(a+b)–ab(a+b)
=c(c–a)(b+a)+b(a+b)(c–a)=(c+b)(c–a)(a+b)
例18、分解因式:
x9+x6+x3–3
解:
原式=x9–1+x6–1+x3–1
=(x3–1)(x6+x3+1)+(x3–1)(x3+1)+(x3–1)
=(x3–1)(x6+x3+1+x3+1+1)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)
6、配方法
有些多项式可以使用拆项法将其配成一个完全平方式,然后剩余部分再利用平方差公式,就能将其因式分解。
(1)为了方便运算,二次项系数不为1时,先提出二次项系数,使其变为1。
(2)对于形如x2+bx+c的二次三项式,作变换:
x2+bx+c=x2+bx+(b2)2+c–(b2)。
(3)对于齐次多项式x2+bxy+cy2,将一个字母当做常数处理,把原多项式看成关于另一个字母的二次三项式,就可以利用配方法进行分解。
(4)对于高次多项式形如x2n+bxn+c或x2n+bxnym+cy2m的,参照上面方法进行。
例19、分解因式:
x2+3x–40
解:
原式=x2+3x+(32)2–40–(32)2=(x+32)2–(132)2=(x+8)(x-5)
例20、分解因式:
5x4–20x2y2–105y4
解:
原式=5(x4–4x2y2–21y4)=5(x4–4x2y2+4y4–4y4–21y4)=5(x4–4x2y2+4y4–25y4)
=5[(x2–2y2)2–(5y2)2]=5(x2+3y2)(x2–7y2)
总结:
能够用配方法分解的多项式,均可用十字相乘法分解。
但配方法作为一种重要的数学方法,除因式分解外还有很多重要应用,必须熟练掌握。
7、换元法
把多项式中某些部分看成一个整体,用新字母代替,叫做换元。
换元后进行因式分解,然后再转换回来。
(1)对多项式中复杂部分换元,简化计算,避免出错。
例21、分解因式:
2015x2–(20152–1)x–2015
解:
设K=2015,
原式=Kx2–(K2–1)x–K=(Kx+1)(x–K)=(2015x+1)(x-2015)
(2)形如abcd+e的多项式,先经过适当分组,两两展开,再换元以求简便。
例21、分解因式:
(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2
解:
原式=(x2+7x+6)(x2+5x+6)+x2
设M=x2+5x+6,则x2+7x+6=M+2x
原式=M(M+2x)+x2=x2+2Mx+M2=(x+M)2=(x+6x+6)2
例22、要使多项式(x–1)(x+3)(x–4)(x-8)+m为一个完全平方式,则m等于()
A、12B、24C、98D、196
解:
原式=(x–1)(x–4)(x+3)(x–8)+m=(x2–5x+4)(x2–5x–24)+m
设x2–5x+4=y,则x2–5x–24=y–28
原式=y(y–28)+m=y2+28y+m∴m=(282)2=196选择D
(3)按字母的降幂排列,每一项的次数依次减1,且系数成轴对称的等距离多项式,
提中间项的字母和它的次数,保留系数,然后再用换元法。
例23、分解因式:
2x4–x3–6x2–x+2
解:
原式=x2(2x2–x–6–1x+2x2)=x2[2(x2+1x2)–(x+1x)–6]
设x+1x=A,则x2+1x2=A2–2
原式=x2[2(A2–2)–A–6]=x2(2A2–A–10)=x2(2A–5)(A+2)
=x2(2x+2x–5)(x+1x+2)=x(2x+2x–5)x(x+1x+2)
=(2x2–5x+2)(x2+2x+1)=(x+1)2(2x–1)(x–2)
例24、分解因式:
x4–4x3+x2+4x+1
解:
原式=x2(x2–4x+1+4x+1x2)=x2[(x2+1x2)–4(x1x)+1]
设x–1x=A,则x2+1x2=A2+2
原式=x2(A2+2–4A+1)=x2(A2–4A+3)=x2(A–1)(A–3)
=x2(x–1x–1)(x–1x–3)=(x2–x–1)(x2–3x–1)
总结:
对结构比较复杂的多项式,能使复杂的问题简单化、明朗化,在减少多项式项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
8、主元法
选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母降幂排列,再进行因式分解。
例25、分解因式:
a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)+2abc
解:
原式=(b+c)a2+(b2+c2+2bc)a+b2c+bc2=(b+c)a2+(b+c)2a+bc(b+c)
=(b+c)[a2+(b+c)a+bc]=(a+b)(b+c)(a+c)
例26、分解因式:
a2(b–c)+b2(c–a)+c2(a–b)
解:
原式=(b–c)a2–(b2–c2)a+b2c–bc2=(b–c)a2–(b–c)(b+c)a+bc(b–c)
=(b–c)[a2–(b+c)a+bc]=(a–b)(b–c)(a–c)
总结:
选定主元,可使多元多项式清晰明了,避免分解时无从下手。
9、待定系数法
首先判断出分解后因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。
例27、分解因式:
x2+xy–6y2+x+13y–6
解:
原式的前3项可以分解为(x+3y)(x-2y)
设x2+xy–6y2+x–13y–6=(x+3y+a)(x-2y+b)(x+3y+a)(x-2y+b)=x2+xy–6y2+(a+b)x+(3b-2a)y–ab
与原式对比相同项的系数,得:
a+b=1
3b−2a=13
ab=6
解得a=–2
b=3
∴原式=(x+3y–2)(x-2y+3)
例28、多项式x2–y2+mx+5y–6能分解因式,求m的值,并分解此多项式。
解:
设x2–y2+mx+5y–6=(x+y+a)(x–y+b)
(x+y+a)(x–y+b)=x2–y2+(a+b)x+(b–a)y+ab
与原式对比系数得:
a+b=m
b–a=5
ab=–6
解得a=–2
b=3
m=1
或a=−3
b=2
m=–1
∴m=±1
当m=1时,原式=x2–y2+x+5y–6=(x+y-2)(x–y+3)
当m=–1时,原式=x2–y2–x+5y–6=(x+y-3)(x–y+2)
例29、如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2能分解因式,求a+b的值。
解:
设x3+ax2+bx+8=(x+1)(x+2)(x+y)
则x3+ax2+bx+8=x3+(y+3)x2+(3y+2)x+2y
对比对应项的系数得:
y+3=a
3y+2=b
2y=8
解得:
a=7
b=14
y=4
∴a+b=21
总结:
必须先判断出分解后因式的形式,该形式一旦确定,后面就比较简单了。
10、双十字相乘法
对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的二元二次六项式,将a分解成mn乘积作为一列,c分解成pq乘积作为第二列,f分解成jk乘积作为第三列,如果mq+np=b,pk+qj=e,mk+nj=d,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规则。
则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k)。
mq+np=b
pk+qj=e
mk+nj=d
先用十字相乘法分解a、c,得到一个十字相乘图(有两列),满足mq+np=b;再把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求同时满足mk+nj=d和pk+qj=e。
(1)对于如上形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的二元二次六项式,缺少的项认为系数为0,可直接采用双十字相乘法分解。
例35、分解因式:
2x2–7xy–22y2–5x+35y–3
解一:
双十字相乘法
原式=(2x-11y-3)(x+2y-3)
解二:
先用主元法,选定x为主元,再经过两次使用十字相乘法分解
原式=2x2–(7y+5)x–(22y2–35y+3)
=2x2–(7y+5)x–(11y–1)(2y–3)
=(2x-11y-3)(x+2y-3)
例36、分解因式:
3x2+5xy-2y2+x+9y-4
解一:
双十字相乘法
原式=(x+2y-1)(3x-y+4)
解二:
先用主元法,选定x为主元,再经过两次使用十字相乘法分解
原式=3x2+(5y+1)x–(2y2–9y+4)
=3x2+(5y+1)x–(y–4)(2y–1)
=(x+2y-1)(3x-y+4)
(2)对于一元四次五项式,采用换元法,设一个新未知数等于原未知数的平方,原4次项转化为2次项,3次项转化为两个1次项的乘积,2次项适当拆分为原未知数的2次项和新设未知数的1次项,这样就转换为二元二次六项式,再直接采用双十字相乘法分解。
例37、分解因式:
2x4+13x3+20x2+11x+2
解:
设x2=y,则x4=y2,x3=xy,代入原式
原式=2y2+13xy+15x
2+5y+11x+2
=(2y+3x+1)(y+5x+2)
=(2x2+3x+1)(x2+5x+2)
=(x+1)(2x+1)(x2+5x+2)
总结:
双十字相乘法本质上就是两次使用十字相乘法,如果掌握不好容易出错,也可以通过主元法的思路,经过两次十字相乘法来分解。
11、因式定理法(包含求根法)
余数定理:
多项式f(x)被ax+b除,所得的余数为R=f(–ba)。
因式定理:
如果f(a)=0,那么多项式f(x)必定含有因式x–a。
反过来,如果f(x)含有因式x–a,那么,f(a)=0。
为余式定理的推论之一。
(1)试错法(求根法):
最高次项系数为1时,找出常数项的各个因子分别代入x,找出所有满足f(x)=0的因子,也就是说这些因子都是方程f(x)=0的根。
如果所有根为x1、x2......xn,且根的数量n等于f(x)的最高次数,即表明方程f(x)=0没有重根,则分解结果为f(x)=(x-x1)(x-x2)……(x-xn)。
(2)长除法:
找出常数项的各个因数,如果某一因数a满足f(a)=0,那么x–a就是多项式f(x)因式之一。
把f(x)除以x–a,使用长除法,得到一个商的多项式。
对这个商继续进行上边的步骤,直至不能分解,或通过长除法降低次数后使用其它方法分解。
(3)结合使用待定系数法:
找出常数项的各个因数,如果某一因数a满足f(a)=0,那么x–a就是多项式f(x)因式之一。
不用长除法把f(x)除以x–a,而是把x–a作为一个因式,用待定系数法求出其余的因式。
例30、分解因式:
x3–x2–4x+4
解一:
4的因数为±1、±2、±4
记f(x)=x3–x2–4x+4
当x=1时,f
(1)=1–1–4+4=0
当x=–1时,f(–1)=–1–1+4+4=6
当x=2时,f
(2)=8–4–8+4=0
当x=–2时,f(–2)=–8–4+8+4=0
当x=4时,f(4)=64–16
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