圆锥曲线学案.docx
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圆锥曲线学案.docx
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圆锥曲线学案
§2.1.1曲线与方程
(1)
2.曲线x2+2xy-by=0上有点Q(1,2)则
b=.
学习目标
.J■—■—■-Il1-I-、
1.
新知:
根据已知条件,求出表示曲线的方程
理解曲线的方程、方程的曲线;
2.求曲线的方程.
学习过程
一、课前准备
(预习教材理P34~P36,找出疑惑之处)
Q
复习1:
画出函数y=2x(/ 典型例题 例1证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程式是xy. 复习2: 画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线,并写出其方程. 变式: 到x轴距离等于5的点所组成的曲线的方程 是y-5=0吗? 学习探究探究任务一: 至俩坐标轴距离相等的点的集合是什么? 写出它的方程. 例2设A,B两点的坐标分别是(_1,_1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程. 问题: 能否写成y=|x|,为什么? 新知: 曲线与方程的关系: 一般地,在坐标平面内的一条曲线C与一个二元方程F(x,y)=0之间,如果具有以下两个关系: 1•曲线C上的点的坐标,都是的解; 2•以方程F(x,y)=0的解为坐标的点,都是 的点, 那么,方程F(x,y)=0叫做这条曲线C的方程;曲线C叫做这个方程F(x,y)=0的曲线. 变式: 已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是 A(0,3),B(-2,0),C(2,0).中线AO(O为原点) 所在直线的方程是x=0吗? 为什么? 注意: 1°如果”,那么”; 2°“点”与“解”的两个关系,缺一不可; 3。 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念,相对不同角度的两种说法; 4°曲线与方程的这种对应关系,是通过坐标平面建立的. 试试: 2 1.点P)a在曲线x+2xy-5y=0上,则a=一 反思: BC边的中线的方程是x=0吗? 小结: 求曲线的方程的步骤: ①建立适当的坐标系,用M(x,y)表示曲线上的任 意一点的坐标; 动手试试练1. 2求和点0(0,0),A(c,0)距离的平方差为常数c的点的轨迹方程. §2.1.2曲线与方程 (2) 2写出适合条件P的点M的集合P={MIp(M)}; 3用坐标表示条件P,列出方程f(x,y)=0; 4将方程f(x,y)=0化为最简形式; 5说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 下列方程的曲线分别是什么? 2 X…、x—2一、loax =— (2)(3)y=aaa xx-2x 二、新课导学 课后作业.... 1.点A(1,-2),B(2,-43),C(3,10)是否在方程 x2-xy+2y十1=0表示的曲线上? 为什么? 学习探究引入: 圆心C的坐标为(6,0),半径为r=4,求此圆的方程. 问题: 此圆有一半埋在地下,求其在地表面的部分的方程. 点P(1,b)到直线X+y_1=0的距离是 例2已知一条直线I和它上方的一个点F,点F到I的距离是2,一条曲线也在I的上方,它上面的每一点到F的距离减去到I的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程. 探究: 若|AB=4,如何建立坐标系求AB的垂直平分线的方程. 典型例题 例1有一曲线,曲线上的每一点到X轴的距离等于 这点到A(0,3)的距离的2倍,试求曲线的方程. 动手试试 练1.有一曲线,曲线上的每一点到X轴的距离等于这点到直线x+y—1=0的距离的2倍,试求曲线的方程. 变式: 现有一曲线在X轴的下方,曲线上的每一点到X轴的距离减去这点到点A(0,2),的距离的差是 2,求曲线的方程. 练2.曲线上的任意一点到A(—3,0),B(3,0)两点距 离的平方和为常数26,求曲线的方程. 三、总结提升 小结: 点P(a,b)到X轴的距离是点P(a,b)到y轴的距离是 学习小结 1.求曲线的方程; 2.通过曲线的方程,研究曲线的性质. 知识拓展圆锥曲线的统一定义: 到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是圆锥曲线. 0ce<1: 椭圆; e=1: e;>1: §2.2.1椭圆及其标准方程 (1) 抛物线; 双曲线. (时量: 5分钟满分: 10分)计分: 当堂检测 1.方程(3x-4y-12)[log2(x+2y)-3]=0的曲线经-7)中的 4 学习目标 1.从具体情境中抽象出椭圆的模型; 2.掌握椭圆的定义; 3.掌握椭圆的标准方程. 过点 A(0,-3),B(0,4),C(4,0), D(5, ( A. 2•已知A(1,0),B(—1,0),动点满足|MA|-|MB|=2,则点M的轨迹方程是( A.y=0(—1 C.y=0(x<=)D.y=0(|x|31) 3.曲线y=-^1-x2与曲线y+|x|=0的交点个数一 定是(). A.0个B.2个C.4个_D.3个 4.若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足oP*OA=4贝 点P的轨迹方程是. 5.由方程|x—1|+|y-1|=1确定的曲线所围成的图 形的面积是. B.1个C.2个 课后作业一 1•以0为圆心,2为半径,上半圆弧的方程是什么? 在第二象限的圆弧的方程是什么? 2.已知点C的坐标是(2,2),过点C的直线CA与x轴交于点A,过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B•设点M是线段AB的中点,求点M的轨迹方程. 学习过程 一、课前准备(预习教材理P38~ 复习 P40,文P32~P34找出疑惑之处) 1: 过两点(0,1),(2,0)的直线方程 复习 心, 2: 方程(x-3)2+(y+1)2=4表示以为半径的. 为圆 二、新课导学 学习探究取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一个点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖画出的轨迹是一个. 如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在拉紧绳子,移动笔尖,一___P 图板的两个点处,套上铅笔,画出的轨迹是什么曲线? 思考: 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么? Fi F2 经过观察后思考: 在移动笔尖的过程中,细绳的保持不变,即笔尖 于常数. 新知1: 我们把平面内与两个定点F1,F2的距离 之和等于常数(大于IF1F2I)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 反思: 若将常数记为2a,为什么2aF1f2? 当2a=|F1F2时,其轨迹为; 当2a<1F1F2I时,其轨迹为. 试试: 已知F1(/,0),F2(4,0),到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是. 小结: 应用椭圆的定义注意两点: 1分清动点和定点; 2看是否满足常数2^|F1F2|. 新知2: 焦点在x轴上的椭圆的标准方程 22 xy222 2+\=1(aAb>0\其中b=a-c ab'丿 变式: 椭圆过点(/,0),(2,0),(0,3),求它的标 准方程. 若焦点在y轴上,两个焦点坐标 则椭圆的标准方程是. 典型例题 例1写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴a=4,b=1,焦点在x轴上; ⑵a=4,c=届,焦点在y轴上; ⑶a+b=10,c=2^/5. 小结: 由椭圆的定义出发,得椭圆标准方程 动手试试 2 练1.已知AABC的顶点B、C在椭圆一+y2=1 3 上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则AABC的周长是(). A.2反B.6C.価 x2 练2•方程—=1表示焦点在y轴上的椭圆, m 9 求实数m的范围. 2 变式: 方程1+义=表示焦点在x轴上的椭圆, 4m 则实数m的范围. 5分钟满分: 10分)计分: M到两定点F1、F2距离之和为常 ). 例2已知椭圆两个焦点的坐标分别是(-2,0), ^53)一 (2,0),并且经过点! —,一,求它的标准方程. <22丿 当堂检测(时量: 1.平面内一动点 数2a,则点M的轨迹为( A.椭圆B.圆 C.无轨迹D.椭圆或线段或无轨迹 2.如果方程X2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是( A.(0,® C.(1,亦) 2 x ). (0,2) (0,1) B. D. 2 3.如果椭圆亠+(=1上一点P到焦点F1的距离 10036 等于6,那么点P到另一个焦点F2的距离是(). A.4B.14C. 4.椭圆两焦点间的距离为16, 两焦点的距离分别等于9和15,则椭圆的标准方程 12D.8 且椭圆上某一点到 是. 5.如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式 Jx+(y+3)2+Jx2+(y一3)2=10,点M的轨迹 是,它的方程是 课后作业 1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴焦点在x轴上,焦距等于4,并且经过点 P(3—^/6); ⑵焦点坐标分别为(0,-4),(0,4卜a=5; ⑶a+c=10,a—c=4. 问题: 于 圆上的所有点到 (半径); (圆心)的距离都等 反之,到点(—3,0)的距离等于2的所有点都在圆上. 典型例题 例1在圆x+y=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足•当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么? 22 2.椭圆=1的焦距为2,求n的值. 4n §2.2.1椭圆及其标准方程 (2) 变式: 若点M在DP的延长线上,且 则点M的轨迹又是什么? DM DP 3 2 学习目标 1.掌握点的轨迹的求法; 2.进一步掌握椭圆的定义及标准方程. 小结: 椭圆与圆的关系: 圆上每一点的横(纵)坐标不变,而纵(横)坐标伸长或缩短就可得到椭圆. 学习过程 复习2: 在椭圆的标准方程中,a=6,b=U'35则椭 例2设点A,B的坐标分别为(—5,0)(5,0),•直线 4 AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是一, 9 求点M的轨迹方程 圆的标准方程是 变式: 点A,B的坐标是(-1,0),(1,0),直线AM,BM 相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2,点M的轨迹是什么? 动手试试 练1.求到定点A(2,0卢到定直线X=8的距离之比为返的动点的轨迹方程. 2 练2. 圆X2 程式, 一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与 2 中y-6x-91=0内切,求动圆圆心的轨迹方并说明它是什么曲线. 三、总结提升 学习小结 1.①注意求哪个点的轨迹,设哪个点的坐标,然后找出含有点相关等式; ②相关点法: 寻求点M的坐标x,y与中间x0,y0的关系,然后消去x0,y0,得到点M的轨迹方程.知识拓展椭圆的第二定义: 到定点F与到定直线I的距离的比是常数e(0ced)的点的轨迹. 定点F是椭圆的焦点;定直线I是椭圆的准线;常数e是椭圆的离心率. 当堂检测(时量: 5分钟满分: 10分)计分: 1.若关于x,y的方程x2sinot-y2cosa=1所表示的曲线是椭圆,则《在(). A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 2.若AABC的个顶点坐标A(r,0)、B(4,0)的周长为18,则顶点C的轨迹方程为( y2丄x2 B.—+—=1 259 22—+=1(yH0) 259 ,动点P满足条件 22 x,y A.一+—=1259 X2y2 C.一+二=1(yH0)D.169 3.设定点F1(0,-2),F2(0,2) 4 +—(ma0),m |PFi|+|PF2|=m (). A.椭圆 C.不存在 4.与y轴相切且和半圆动圆圆心的轨迹方程是 5.设Fi,F2为定点, AABC). (yHO) 则点P的轨迹是 B•线段 D•椭圆或线段 22 X+y=4(0 |吋2|=6,动点M满足 |MFi|+|MF2|=6,则动点M的轨迹是 课后作业_ 1.已知三角形VabC的一边长为6,周长为16,求顶点A的轨迹方程. 对称性: 椭圆关于 轴、 轴和 都对称; ); 顶点: ( bc 反思: b或-的大小能刻画椭圆的扁平程度吗? ab 典型例题 例1求椭圆16x+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 二、新课导学学习探究 有哪些几何性质呢? 图形: 变式: 若椭圆是9x2+y2=81呢? 范围: -: 小结: ①先化为标准方程,找出a,b,求出C; ②注意焦点所在坐标轴. 例2点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线 254 I: X=—的距离的比是常数一,求点M的轨迹. 45 小结: 到定点的距离与到定直线的距离的比为常数(小于1)的点的轨迹是椭圆. 动手试试 练1.求适合下列条件的椭圆的标准方程: 1 「3; 3 e=一; 5 ⑴焦点在 ⑵焦点在 ⑶经过点 x轴上,a=6, y轴上,C=3, P(£,0),Q(0,—2); ⑷长轴长等到于20,离心率等于 当堂检测(时量: 5分钟满分: 10分)计分: X2V2710 若椭圆—+—=1的离心率e=——,则m的值 5m5 (). 25 A.3B.3或一C.屈 3 2.若椭圆经过原点,且焦点分别为则其离心率为( A.3 4 D•曲或迹 3 F1(1,0),F2(3,0), ). B.? 3 3.短轴长为,离心率 F1,F2,过F1作直线交椭圆于周长为( A.3 ). B. 1 2 2e=—的椭圆两焦点为 3 A,B两点,则MBF2的 c. C.12 D.24 6 2 X 5 及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标是. 5.某椭圆—长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,贝毗椭圆的方 程是. 4.已知点 P是椭圆 2 +y 4 =1上的一点,且以点P 课后作业 1.比较下列每组椭圆的形状,哪一个更圆,哪一个更扁? y2 12_ 2 +y=1 10 2 ⑴9x2+y2=36与1』16 2 22X ⑵X+9y=36与 6 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴经过点p(-2j2,o),q(o,J5); ⑵长轴长是短轴长的3倍,且经过点P(3,0); ⑶焦距是8,离心率等于0.8. §.2.2椭圆及其简单几何性质⑵ 学一习目标… 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质; 2.椭圆与直线的关系. 学习过程 一、课前准备 (预习教材理卩46~P48,文卩40~P41找出疑惑之处) 22 复习1: 椭圆L+L=1的 1612 焦点坐标是()( 长轴长 、短轴长 离心率 变式: 若图形的开口向上,则方程是什么? 复习2: 直线与圆的位置关系有哪几种? 如何判定? 小结: (理) 二、新课导学 学习探究 问题1: 想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢? 问题2: 椭圆与直线有几种位置关系? 又是如何确定? 1先化为标准方程,找出a,b,求出c; 2注意焦点所在坐标轴. 22 例2已知椭圆工+L=1,直线I: 259 4X—5y+40=0。 椭圆上是否存在一点,它到直线I的距离最小? 最小距离是多少? 反思: 点与椭圆的位置如何判定? 典型例题 例1一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面 (椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一个焦点F2 变式: 最大距离是多少? 上,由椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2,已知BC丄卩店2,|F1b=2.8cm,IF1F2I=4.5cm,试建立适当的坐标系,求截口BAC所在椭圆的方程. 动手试试 练1已知地球运行的轨道是长半轴长 8 a=1.50X10km,离心率e=0.0192的椭圆,且太阳在这个椭圆的一个焦点上,求地球到太阳的最大和最小距离. 课后作业 2 练2.经过椭圆L+y2=1的左焦点F1作倾斜角为 2 60羊勺直线I,直线I与椭圆相交于A,B两点,求AB的长. 22 2.若椭圆丄+L=1,—组平行直线的斜率是 49 ⑴这组直线何时与椭圆相交? ⑵当它们与椭圆相交时,这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上? 直线与椭圆相交,得到弦, 弦长I=J1+k2|x-冷 (1+k2) =J(1+k2)[(X1+X2)-4x1X2 §2.3.1双曲线及其标准方程 其中k为直线的斜率,(X1,y1),(X2,y2)是两交点坐标. 当堂检测(时量: 5分钟满分: 10分)计分: 22 1.设P是椭圆—+—-1, 1612 差为,贝y^F1F2是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 2.设椭圆的两个焦点分别为 学习目标 1•掌握双曲线的定义; 2•掌握双曲线的标准方程. P到两焦点的距离之 ). B. D. .直角三角形 .等腰直角三角形 F1、、F2,过F2作椭圆 学习过程 一、课前准备 (预习教材理P52~P55,文卩45~P48找出疑惑之处) 复习1: 椭圆的定义是什么? 椭圆的标准方程是什 么? 长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( 42-1 B.C. 2 22 X■+匕=1的左、 169 3.已知椭圆 ). 2-42D.72-1 右焦点分别为Fi,F2, 复习2: 在椭圆的标准方程 何关系? 若a=5,b=3,贝y圆方程. 2 X 2a 2 +y2=1中,a,b,C有 C=? 写出符合条件的椭 距离的和”改为距离的 三个顶点,则点P到X轴的距离为( 99 A.-B.3C.- 54 4.椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比 数列,则其离心率为. X2y2 5.椭圆一=1的焦点分别是F1和F2,过原点04520 作直线与椭圆相交于A,B两点,若MBF2的面积是 20,则直线AB的方程式是 二、新课导学 学习探究 问题1: 把椭圆定义中的差”那么点的轨迹会怎样? 如图2-23,定点F1,F2是两个按钉,MN是个细套管,两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管, 点M移动时, |MFi|-MF2|是常数,这样就画出一条曲线; 由|MF2|-! MFi|是同一常数,可以画出另一支. 新知1双曲线的定义: 平面内与两定点Fi,F2的距离的差的_于常数(小于|FiF^)的点的轨迹叫做双曲线。 两定点Fi,F2叫做双曲线的, 两焦点间的距离|FiF^叫做双曲线的例2已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程. 反思: 设常数为2a,为什么2a€F1F2|? 2a=丁汀2时,轨迹是; 2a>"伍卩2时,轨迹. 试试: 点A(1,0),B(J,0),若|Aq—|Bq=1,则点C的轨迹是. 变式: 如果A,B两处同时听到爆炸声,那么爆炸点在什么曲线上? 为什么? 新知2: 双曲线的标准方程: 22 xy222 —22=1,(a>0,b>0,C=a+b)(焦点在x轴) ab 其焦点坐标为Fd-c,。 ),F2(c,0). 小结: 采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置. 思考: 若焦点在y轴,标准方程又如何? 典型例题 例1已知双曲线的两焦点为Fd—5,0),F2(5,O),双曲线上任意点到F1,F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程. 动手试试 练1: (1) (2) 求适合下列条件的双曲线的标准方程式: 焦点在x轴上,a=4,b=3; 焦点为(0,-6),(0,6),且经过点(2,」). 22 变式: 已知双曲线———=1的左支上一点P到左 169 焦点的距离为10,则点P到右焦点的距离为. 点A,B的坐标分别是(—5,0),(5,0),直线 4 AM,BM相交于点M,且它们斜率之积是—, 9 试求点M的轨迹方程式,并由点M的轨迹方程判 断轨迹的形状. 1理解并掌握双曲线的几何性质. 当堂检测(时量: 5分钟满分: 10分)计分: 1.动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2,则点P的轨迹是( A.双曲线 C.两条射线 ). B.双曲线的一支 D.一条射线 2.双曲线5X2+ky2=5的一个焦点是(J6,0),那么实数k的值为(). A.-25B.25 3•双曲线的两焦点分别为a=2,则b=(). A.5B.13C. 学习过程. 一前准备: (预习教材理卩56~P58,文卩49~P51找出疑惑之处) 复习1: 写出满足下列条件的双曲线的标准方程: 1a=3,b=4,焦点在X轴上; 2焦点在y轴上,焦距为8,a=2. C.-1D.1 Fi(<,0),F2(3,O),若 75D.^^3 4.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=272.则动点P的轨迹方程为. 复习2: 前面我们学习了椭圆的哪些几何性质? 22 5.已知方程一X—――—=1表示双曲线,则 2+mm+1 取值范围 课后作业 1.求适合下列条件的双曲线的标准方程式: (1)焦点在X轴上,a=2^5,经过点A(-5,2); (2)经过两点Ad-612,B(277,3). 二、新课导学: 学习探究 问题1: 由椭圆的哪些几何性质出发,类比探究双 22 曲线笃-爲=1的几何性质? ab 2.相距1400mA,B两个
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