中考数学压轴题专题复习反比例函数综合及解析.docx
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中考数学压轴题专题复习反比例函数综合及解析
中考数学压轴题专题复习——反比率函数的综合及答案剖析
一、反比率函数
1.平行四边形ABCD的两个极点A、C在反比率函数y=(k≠0)图象上,点B、D在x轴上,且B、D两点关于原点对称,AD交y轴于P点
(1)已知点A的坐标是(2,3),求k的值及C点的坐标;
(2)在
(1)的条件下,若△APO的面积为2,求点D到直线AC的距离.
【答案】
(1)解:
∵点A的坐标是(2,3),平行四边形ABCD的两个极点A、C在反比
例函数y=(k≠0)图象上,点
B、D在
x轴上,且
B、D两点对于原点对称,
∴3=
,
点C与点A对于原点O对称,
∴k=6,C(﹣2,﹣3),
即k的值是6,C点的坐标是(﹣
2,﹣3);
(2)解:
过点A作AN⊥y轴于点N,过点D作DM⊥AC,如图,
∵点A(2,3),k=6,
∴AN=2,
∵△APO的面积为2,
∴,
即,得OP=2,
∴点P(0,2),
设过点A(2,3),P(0,2)的直线剖析式为y=kx+b,
,得,
∴过点A(2,3),P(0,2)的直线剖析式为y=0.5x+2,当y=0时,0=0.5x+2,得x=﹣4,
∴点D的坐标为(﹣4,0),
设过点A(2,3),B(﹣2,﹣3)的直线剖析式为y=mx+b,
则,得,
∴过点A(2,3),C(﹣2,﹣3)的直线剖析式为,
∴点D到直线AC的直线得距离为:
=.
【剖析】【剖析】
(1)依照点A的坐标是(2,3),平行四边形ABCD的两个极点A、C
在反比率函数y=(k≠0)图象上,点B、D在x轴上,且B、D两点对于原点对称,能够
求得k的值和点C的坐标;
(2)依照△APO的面积为2,能够求得OP的长,进而能够求
得点P的坐标,进而能够求得直线AP的剖析式,进而能够求得点D的坐标,再依照点到
直线的距离公式能够求得点D到直线AC的距离.
2.如图,已知抛物线y=﹣x2+9的极点为A,曲线DE是双曲线y=(3≤x≤)12的一部分,
记作G1,且D(3,m)、E(12,m﹣3),将抛物线
y=﹣x2+9水平向右搬动
a个单位,
获取抛物线G2.
(1)求双曲线的剖析式;
(2)设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C,且B在C的左侧,则线段BD的长为
________;
(3)点(6,n)为G1与G2的交点坐标,求a的值.
(4)解:
在搬动过程中,若
G1与G2有两个交点,设
G2的对称轴分别交线段
DE和G1于
M、N两点,若MN<,直接写出a的取值范围.
【答案】
(1)把D(3,m)、E(12,m﹣3)代入y=得,解得,
所以双曲线的剖析式为y=;
(2)2
(3)解:
把(6,n)代入y=得6n=12,解得n=2,即交点坐标为(6,2),抛物线G2的剖析式为y=﹣(x﹣a)2+9,
把(6,2)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(6﹣a)2+9=2,解得a=6±
,
即a的值为6±
;
(4)抛物线G2的剖析式为y=﹣(x﹣a)2+9,
把D(3,4)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(3﹣a)2+9=4,解得a=3﹣
或a=3+
;
把E(12,1)代入
y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(12﹣a)2+9=1,解得
a=12﹣2
或a=12+2
;
1
2
∵G
与G有两个交点,
∴3+
≤a≤﹣12
,
设直线DE的剖析式为
y=px+q,
把D(3,4),E(12,1)代入得,解得,
∴直线DE的剖析式为y=﹣
x+5,
∵G2
的对称轴分别交线段
1
于M、N两点,
DE和G
∴M(a,﹣a+5),N(a,),
∵MN<,
∴﹣a+5﹣<,
整理得a2﹣13a+36>0,即(a﹣4)(a﹣9)>0,
∴a<4或a>9,
∴a的取值范围为
9<a≤12﹣2
.
【剖析】【解答】解:
(
2)当y=0时,﹣x2+9=0,解得x1=﹣3,x2=3,则B(﹣3,0),
而D(3,4),
所以BE=
=2
.
故答案为2
;
【剖析】
(1)把D(3,m)、E(12,m﹣3)代入y=得对于k、m的方程组,尔后解方
程组求出m、k,即可获取反比率函数剖析式和D、E点坐标;
(2)先解方程﹣x2+9=0得
到B(﹣3,0),而D(3,4),尔后利用两点间的距离公式计算DE的长;(3)先利用
反比率函数图象上点的坐标特点确定交点坐标为(6,2),尔后把(6,2)代入y=﹣(x
﹣a)2+9得a的值;(4)分别把
D点和E点坐标代入
y=﹣(x﹣a)2+9得a的值,则利用
图象和G1与G2有两个交点可获取
3+≤a≤﹣122
,再利用待定系数法求出直线
DE的
剖析式为y=﹣x+5,则M(a,﹣a+5),N(a,),于是利用MN<获取﹣a+5
﹣<,尔后解此不等式获取a<4或a>9,最后确定知足条件的a的取值范围.
3.如图,已知一次函数y=x+b的图象与反比率函数y=(x<0)的图象交于点A(﹣
1,2)和点B,点C在y轴上.
(1)当△ABC的周长最小时,求点C的坐标;
(2)当x+b<时,请直接写出x的取值范围.
【答案】
(1)解:
作点A对于y轴的对称点A′,连结A′B交y轴于点C,此时点C即是所求,以以下列图.
∵反比率函数y=(x<0)的图象过点A(﹣1,2),
∴k=﹣1×2=﹣2,
∴反比率函数剖析式为y=﹣(x<0);
∵一次函数y=x+b的图象过点A(﹣1,2),
∴2=﹣+b,解得:
b=,
∴一次函数剖析式为y=x+.
联立一次函数剖析式与反比率函数剖析式成方程组:
,
解得:
,或,
∴点A的坐标为(﹣1,2)、点B的坐标为(﹣4,).
∵点A′与点A对于y轴对称,
∴点A′的坐标为(1,2),
设直线A′B的剖析式为y=mx+n,
则有,解得:
,
∴直线A′B的剖析式为y=x+.
令y=x+中x=0,则y=,
∴点C的坐标为(0,)
(2)解:
察看函数图象,发现:
当x<﹣4或﹣1<x<0时,一次函数图象在反比率函数图象下方,
∴当x+<﹣时,x的取值范围为x<﹣4或﹣1<x<0
【剖析】【剖析】
(1)作点A对于y轴的对称点A′,连结A′B交y轴于点C,此时点C即是所求.由点A为一次函数与反比率函数的交点,利用待定系数法和反比率函数图象点的
坐标特点即可求出一次函数与反比率函数剖析式,联立两函数剖析式成方程组,解方程组
即可求出点A、B的坐标,再依照点A′与点A对于y轴对称,求出点A′的坐标,设出直线A′B的剖析式为y=mx+n,结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的剖析式,令直
线A′B剖析式中x为0,求出y的值,即可得出结论;
(2)依照两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标,即可得出不等式的解集.
4.如图,已知直线y=ax+b与双曲线y=
(x>0)交于A(x
,y),B(x
2
,y)两点
1
1
2
(A与B不重合),直线AB与x轴交于P(x0
,0),与y轴交于点
C.
(1)若A,B两点坐标分别为(1,3),(3,y2),求点P的坐标.
(2)若b=y1+1,点P的坐标为(6,0),且AB=BP,求A,B两点的坐标.
(3)结合
(1),
(2)中的结果,猜想并用等式表示x1
2
0
之间的关系(不要求
,x
,x
证明).
【答案】
(1)解:
∵直线y=ax+b与双曲线y=(x>0)交于A(1,3),∴k=1×3=3,
∴y=,
∵B(3,y2)在反比率函数的图象上,
∴y2==1,
∴B(3,1),
∵直线y=ax+b经过A、B两点,
∴解得,
∴直线为y=﹣x+4,
令y=0,则x=4,
∴P(4,O)
(2)解:
如图,作AD⊥y轴于D,AE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,BG⊥y轴于G,AE、BG
交于H,则AD∥BG∥x轴,AE∥BF∥y轴,
∴=,==,
∵b=y1+1,AB=BP,
∴=,
==,
∴B(,y1)
∵A,B两点都是反比率函数图象上的点,
∴x1?
y1=
?
y1,
解得x1=2,
代入=,解得y1=2,
∴A(2,2),B(4,1)
(3)解:
依照
(1),
(2)中的结果,猜想:
x1,x2,x0之间的关系为x1+x2=x0
【剖析】【剖析】
(1)先把A(1,3)),B(3,y2)代入y=求得反比率函数的剖析式,进而求得B的坐标,尔后把A、B代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的剖析
式,既而即可求得P的坐标;
(2)作AD⊥y轴于D,AE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,BG⊥y
轴于G,AE、BG交于H,则AD∥BG∥x轴,AE∥BF∥y轴,得出=,==,
依照题意得出=,==,进而求得B(,y1),尔后依照k=xy得
出x1?
y1=
?
y1,求得x1=2,代入
=,解得y1=2,即可求得
A、B的坐
标;(3)合
(1),
(2)中的结果,猜想x1+x2=x0
.
5.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形的边,极点坐标为,
点坐标为.
(1)点的坐标是________,点的坐标是________(用表示);
(2)若双曲线过平行四边形的极点和,求该双曲线的表达式;
(3)若平行四边形与双曲线总有公共点,求的取值范围.
【答案】
(1);
(2)解:
∵双曲线过点和点,
∴,解得,
∴点的坐标为,点的坐标为,
把
点的坐标代入,解得,
∴双曲线表达式为
(3)解:
∵平行四边形与双曲线总有公共点,
∴当点在双曲线,获取,
当点
在双曲线
,获取
,
∴的取值范围
.
【剖析】【剖析】
(1)由四边形ABCD为平行四边形,获取
A与B纵坐标相同,C与D纵
坐标相同,横坐标相差
2,得出B、C坐标即可;
(2)依照B与D在反比率图象上,获取
C与D横纵坐标乘积相等,求出
b的值确定出
B坐标,进而求出
k的值,确定出双曲线解
析式;(3)抓住两个重点点,将
A坐标代入双曲线剖析式求出
b的值;将C坐标代入双
曲线剖析式求出
b的值,即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时
b的范围.
6.阅读理解:
配方法是中学数学的重要方法,用配方法可求最大(小)值。
对于随意正实
数a、b,可作如下变形a+b==-+=
+,
又∵≥0,∴+≥0+,即≥.
(1)依照上述内容,回答以下问题:
在≥(a、b均为正实数)中,若ab为
定值p,则a+b≥,当且仅当a、b知足________时,a+b有最小值.
(2)思虑考证:
如图1,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,CO为AB边上中
线,AD=2a,DB=2b,试依照图形考证≥成立,并指出等号建马上的条件.
(3)研究应用:
如图2,已知A为反比率函数的图象上一点,A点的横坐标为1,
将一块三角板的直角极点放在A处旋转,保持两直角边向来与x轴交于两点D、E,F(0,
-3)为y轴上一点,连结DF、EF,求四边形ADFE面积的最小值.
【答案】
(1)a=b
(2)解:
有已知得
CO=a+b,CD=2,CO≥CD,即
≥2.
当D与O重合时或
a=b时,等式成立.
(3)解:
当DE最小时S四边形ADFE最小.
过A作AH⊥x轴,由
(2)知:
当DH=EH时,DE最小,
所以DE最小值为8,此时S四边形ADFE=(4+3)=28.
【剖析】【剖析】
(1)依照题中的例子即可直接得出结论。
(2)依照直角三角形的性质得出CO=a+b,CD=,再由
(1)中的结论即可得出等号建马上的条件。
(3)过点A作AH⊥x轴于点H,依照S四边形ADFE=S△ADE+S△FDE,可知当DH=EH时DE最小,由此可证得结论。
7.在平面直角坐标系xOy中,反比率函数的图象经过点A(1,4),B(m,n).
(1)求反比率函数的剖析式;
(2)若二次函数的图象经过点B,求代数式的值;
(3)若反比率函数的图象与二次函数的图象只有一个交点,且该交
点在直线y=x的下方,结合函数图象,求a的取值范围.
【答案】
(1)解:
将A(1,4)代入函数y=得:
k=4
反比率函数y=的剖析式是
(2)解:
∵B(m,n)在反比率函数y=上,
∴mn=4,
又二次函数y=(x-1)2的图象经过点B(m,n),
∴即n-1=m2-2m
∴
(3)解:
由反比率函数的剖析式为,令y=x,可得x2=4,解得x=±2.
∴反比率函数
的图象与直线
y=x交于点(
2,2),(-
2,-2).
如图,
当二次函数y=a(x-1)2的图象经过点(2,2)时,可得a=2;
当二次函数
∵二次函数
y=a(x-1)2的图象经过点(-2,-2)时,可得
y=a(x-1)2图象的极点为(1,0),
a=-
.
∴由图象可知,符合题意的a的取值范围是0<a<2或a<-.
【剖析】【剖析】
(1)只要将点A的坐标代入反比率函数的剖析式即可得出答案。
(2)依照B(m,n)在反比率函数图像上得出
mn=4,将点B的坐标代入y=(x-1)2获取
n-1=m2-2m,再将代数式变形为用含
mn和m2-2m的代数式表示,尔后再整体代入即可解
决问题。
(3)可先求出直线y=x与反比率函数y=交点的坐标,尔后分
a>0和a<0两种情况讨论,
先求出二次函数的图象经过两交点时对应的
a的值,再结合图象,利用二次函数的性质
(|a|越大,抛物线的张口越小)即可解决问题。
8.如图,一次函数的图象与反比率函数的图象交于第一象限C,D两
点,坐标轴交于A、B两点,连结OC,OD(O是坐标原点).
(1)利用图中条件,求反比率函数的剖析式和m的值;
(2)求△DOC的面积.
(3)双曲线上可否存在一点P,使得△POC和△POD的面积相等?
若存在,给出证明并求出点P的坐标;若不存在,说明原因.
【答案】
(1)解:
将C(1,4)代入反比率函数剖析式可得:
k=4,则反比率函数剖析式为:
,
将D(4,m)代入反比率函数剖析式可得:
m=1
(2)解:
依照点C和点D的坐标得出一次函数的剖析式为:
y=-x+5则点A的坐标为(0,5),点B的坐标为(5,0)
∴S△DOC=5×5÷2-5×1÷2-5×1÷
(3)解:
双曲线上存在点P(2,2),使得S△POC=S△POD,原因以下:
∵C点坐标为:
(1,4),D点坐标为:
(4,1),
∴OD=OC=,
∴当点P在∠COD的均分线上时,∠COP=∠POD,又OP=OP,
∴△POC≌△POD,
∴S△POC=S△POD.
∵C点坐标为:
(1,4),D点坐标为:
(4,1),
可得∠COB=∠DOA,
又∵这个点是∠COD的均分线与双曲线的y=交点,
∴∠BOP=∠POA,
∴P点横纵坐标坐标相等,
即xy=4,x2=4,
∴x=±2,
∵x>0,
∴x=2,y=2,
故P点坐标为(2,2),使得△POC和△POD的面积相等利用点CD对于直线y=x对称,P(2,2)或P(-2,-2).
答:
存在,P(2,2)或P(-2,-2)
【剖析】【剖析】
(1)察看图像,依照点C的坐标可求出函数剖析式及
m的值。
(2)利用待定系数法,由点
D、C的坐标求出直线
CD的函数剖析式,再求出直线
CD与两
坐标轴的交点A、B的坐标,尔后利用S△DOC△AOB△BOC△AOD
,利用三角形的面积公式
=S
-S-S
计算可解答。
(3)双曲线上存在点P,使得S△POC△POD
,这个点就是∠COD的均分线与双曲线的y=
=S
交点,易证△POC≌△POD,则S△POC△POD
,可得出点P点横纵坐标坐标相等,利用反比
=S
例函数剖析式,成立对于
x的方程,即可得出点
P的坐标,利用对称性,可得出点
P的另
一个坐标,即可得出答案。
9.如图,已知矩形OABC中,OA=3,AB=4,双曲线y=(k>0)与矩形两边AB、BC分别交于D、E,且BD=2AD
(1)求k的值和点E的坐标;
(2)点P是线段OC上的一个动点,可否存在点P,使∠APE=90°?
若存在,求出此时点P的坐标,若不存在,请说明原因.
【答案】
(1)解:
∵AB=4,BD=2AD,
∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4,
∴AD=,
又∵OA=3,
∴D(,3),
∵点D在双曲线y=上,
∴k=×3=4;
∵四边形OABC为矩形,
∴AB=OC=4,
∴点E的横坐标为4.
把x=4代入y=中,得y=1,
∴E(4,1);
(2)解:
(2)假定存在要求的点P坐标为(m,0),OP=m,CP=4﹣m.
∵∠APE=90,°
∴∠APO+∠EPC=90,°
又∵∠APO+∠OAP=90°,
∴∠EPC=∠OAP,
又∵∠AOP=∠PCE=90°,
∴△AOP∽△PCE,
∴,
∴,
解得:
m=1或m=3,
∴存在要求的点P,坐标为(1,0)或(3,0).
【剖析】【剖析】
(1)由矩形OABC中,AB=4,BD=2AD,可得3AD=4,即可求得AD的
长,尔后求得点D的坐标,即可求得k的值,既而求得点E的坐标;
(2)第一假定存在要求的点P坐标为(m,0),OP=m,CP=4﹣m,由∠APE=90°,易证得△AOP∽△PCE,然
后由相像三角形的对应边成比率,求得m的值,既而求得此时点P的坐标.
10.已知,抛物线的图象经过点,.
(1)求这个抛物线的剖析式;
(2)如图1,是抛物线对称轴上一点,连结
,,试求出当
的值最小时点
的坐标;
(3)如图
把
2,是线段
分红面积之比为
上的一点,过点作
的两部分,恳求出
轴,与抛物线交于点的坐标.
点,若直线
【答案】
(1)解:
将
,
的坐标分别代入
.
得
解这个方程组,得,
所以,抛物线的剖析式为
(2)解:
如图1,由于点、对于轴对称,所以连结,直线与轴的交点即为
所求的点,
由,令,得,
解得,,
点的坐标为,
又,
易得直线的剖析式为:
.
当时,,
点坐标
(3)解:
设点的坐标为,
所以所在的直线方程为.那么,与直线的交点坐标为,
与抛物线的交点坐标为.
由题意,得
①,即,
解这个
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