相似三角形六大证明技巧提高类技巧训练.docx
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相似三角形六大证明技巧提高类技巧训练
回顾相似三角形的判定方法总结:
相似三角形6大证明技巧
相似三角形证明方法之反A型与反X型
1.
2.
3.
4.
平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似三边成比例的两个三角形相似.(SSS
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(SAS)
两角分别相等的两个三角形相似.(AA)
斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)
5.
模型一:
反A型:
如图,已知△ABC,/ADE=/C,若连CD、BE,进而能证明△ACDABE(SAS)试一试写出具体证明过程
模型二:
反X型:
如图,已知角/BAO=/CDO,若连AD,BC,进而能证明△AOD
BOC.
试一试写出具体证明过程
D
B
应用练习:
1.已知△ABC中,/AEF=/ACB,求证:
(1)AEABAFAC
(2)/BEO=/CFO,
/EBO=/FCO(3)/OEF=/OBC,/OFE=/OCB
2.已知在MBC中,/ABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动
点,过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如
图2)于点P.
⑴当点P在线段AB上时,求证:
MPQS/△ABC;
⑵当/△^QB为等腰三角形时,求AP的长。
模型三:
射影定理
相似三角形证明方法之射影定理与类射影
如图已知^ABC,/ACB=90°,CH丄AB于H,求证:
Ac2AHAB,BC2BHBA,,
2
HCHAHB,试一试写出具体证明过程
模型四:
类射影
BDAB
如图,已知AB2ACAD,求证:
亍乔,试一试写出具体证明过程
BCAC
应用练习:
j45
1.如图,在△ABC中,AD丄BC于D,DE丄AB于E,DF丄AC于F。
求证:
—
APAS
AC于F,连EF,求证:
2.如图,在△ABC中,ADBC于D,DEAB于E,DF
相似三角形证明方法之一线三等角
/AEF=/C
模型五:
一线三等角
如图,已知/B=/C=/EDF,则△BDECFD(AA),试
一试写出具体证明过程
应用练习:
1.如图,△ABC和/DEF两个全等的等腰直角三角形,/BACKEDF=90,△DEF的顶点E与^ABC的斜边BC的中点重合.将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:
△BPE^ZCQE
(2)
△BP0ACEQ
a的代数式表示)
(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:
并求当BP=aCQ=9a/2时,P、Q两点间的距离(用含
2.^ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为顶点作/
(1)如图
(1)当射线DN经过点A时,DM交AC边于点E,不添加辅助线,写出图中所有与/△ADE相似的三角形.
(2)如图
(2),将/MDN绕点D沿逆时针方向旋转,DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点(点E与点A不重合),不添加辅助线,写出图中所有的相似三角形,并证明你的结论.
(3)在图
(2)中,若AB=AC=10,BC=12,当Z\DEF的面积等于/ABC的面积的4时,求线段EF的长.
3.如图,点仔在线段《上,点D、F在M同侧,"=«=妙,他丄砒,
AD=SC
0
(1)求证:
胆"D+CA
(2)若37,CE",点P为线段丄&上的动点,连接DP,作M3尸,交直线占E于点Q。
①当点P与貝、g两点不重合时,求DbPQ的值。
②当点P从貝点运动到M的中点时,求线段%的中点所经过的路径(线段)长。
(直接写出结果,不必写出解答过程)
通过前面的学习,我们知道,比例线段的证明,离不开
“平行线模型”(A型,X型,线束型),也离不开上述的6种“相似模型”.但是“模型”只是工具,怎样选择工具,怎样使用工具,怎样用好工具,取决于我们如何思考问题.合理的思维方法,能让模型成为解题的利刃,让复杂的问题变简单。
在本模块中,我们将学比例式的证明中,会经常用到的思维技巧技巧一:
技巧二:
技巧三:
技巧四:
技巧五:
技巧六:
三点定型法等线段代换等比代换等积代换证等量先证等比几何计算
技巧一:
三点定型
横向与纵向观察所证线段比列式(如果是等积式,则将其化为等比式)的分子分母,三个字母即可确定三角形,从而证三角形相似即可。
1.如图,在Rt△ABC中,AD是斜边BC上的高,ABC的平分线BE交AC于E,交AD于
BFAB
F.求证:
韮.
ABCD中,E是AB延长线上的一点,DE交BC
2.如图,平行四边形
于F,求证:
DC
AE
CF-
AD
3.如图,△ABC中,BAC90,M为BC的中点,
DMBC交CA的延长线于D,交AB于E.求证:
AM2MDME
比例式的证明方法之等线段代换
若三点定型法无法确定哪两个三角形相似,则考虑用等量代换替代其中线段,然后再用三点定型法确定三角形证相似,常用的方法有:
等线段代换,等比代换,等积代换
【例1】如图,在△ABC,AD平分/BAC,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F,求证:
FD2FB证明:
连接AF,
FC
A
D
C
D
E
\
A
的平分线,
Z2
\FE是AD的垂直平分线
_\FA=FD(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
/.ZFAD=ZFDA(等边对等角),
•「上BAF=IFAD+/1,
ZACF^^FDA+Z2,
;ZBAF=ZACF
t/EFA=ZAFB
【例2】
如图,
【例3】
ECA
如图,
AB2
四边形ABCD是平行四边形,点E在边BA的延长线上,
D.求证:
ACBECEAD•
△ACB为等腰直角三角形,AB=AC,/BAC=90,/
BECD
【例4】
如图,△ABC中,AB
AD上一点,过C作CF
E,交CF于F.求证:
AC,
//AB,
BP2
AD是中线,P是延长BP交AC于
PEPF-
CE交AD于F,
DAE=45,求证:
等比代换
【例5】如图,平行四边形
AD于O,
OB2
ABCD中,过B作直线AC、
交CD的延长线于F,求证:
【解题方法提示】
OEOF.
OB
OF
要证ob2=of・oe,即证
OE_OD
0A
OF
同理因为AF//BC,可得
OC
=OD
接下来你有思路了吗?
OAOB
OC=OE;
比例式的证明方法之
A
D
E
因为AB//CE,由平行线分线段成比例定理,可得
,由等式的传递性,问题即可得证
二△血F〜△ACF
证明:
•••AB//CE,
•••AF//BC,
OAOF
•••1X7=OB,
OEOF
.•.OE=OD,
•ob2=oe・of.
【例61如图,在△ABC中,已知A90时,ADBC于D,E为直角边AC的中点,
过D、E作直线交AB的延长线于F.求证:
ABAFACDF.
【例71如图,在△ABC中(AB>AC)的边AB上取一点D,在边AC上取一点E,使
ADAE,直线DE和BC的延长线交于点P.求证:
BPCECPBD
(1)如图1,在MBC中,点
例8.
DE//
BC,AQ交DE于点P,求证:
如图,Z\ABC中,/BAC=90
(2)
的边上,连接AG,AF分别交DE于M,N两点.
1如图2,若AB=AC=1,直接写出MN的长;
2如图3,求证:
MN2二DM?
EN.
D、E、Q分别在AB、AC、BC上,且
DP_PE;
BQ=?
0;
,正方形DEFG的四个顶点在△ABC
【例101
CBDECD.
在Rt△ABC中,AD丄BC,P为AD中点,MN丄BC,求证MN2ANNC
已知△ABC中,AD,BF分别为BC,AC边上的高,过D作AB的垂线交AB于E,
【例13】
【例14】
【例15】
如图,△ABC为等腰直角三角形,点P为AB上任意一点,
AF交PE于N,BE交PF于M.,求证:
PM=PN,MN//AB.
如图,正方形BFDE内接于△ABC,CE与DF交于点N,与AF交于点P.求证:
(1)MN//AC;
(2)EM=DN.
(探)设E、F分别为AC、AB的中点,D为BC上一点,
PF丄BC,PE丄AC,
AF交ED于点M,CE
P在BF上,DP//CF,
运动问题中经常涉及没有明确对应关系的相似三角形,此时分类讨论思想在动
态问题中尤其重要,应充分考虑所有可能出现的情况避免遗漏。
利用相似三角形对应
边成比列为等量关系,建立方程求解,进而解决问题
1.如图,在RtAABC中,/ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1//AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH丄AB于H,过点E作EF丄AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;
(2)当^DEG与^ACB相似时,求t的值.
2.如图,在△ABC中,乙ABC=90°AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC向点C移动.同时,动点Q以1m/s的速度从一点到达终点时,它们都停止移动•设移动的时间为
(1)①当t=2.5s时,求△CPQ的面积;
②求△CPQ的面积S(平方米)关于时间t式;
C点出发,沿CB向点t秒.
(秒)的函数解析
(2)在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值.
3.如图1,在RtAABC中,^ACB=90°AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE平分三CDB交边BC于点E,EM丄BD,垂足为M,
B移动.当其中有
A
耳I
DE//AC;
△BME与^CNE相似?
EN丄CD,垂足为N.
(1)当AD=CD时,求证:
(2)探究:
AD为何值时,
4.
BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒
如图所示,在△ABC中,
4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时,Q点随之停止运动•设运动的时间为X.
(1)当X为何值时,PQ//BC?
(2)△APQ与△CQB能否相似?
若能,求出AP的长;若不能说明理由.
5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t
(S)表示移动的时间(0Vt<6)。
(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?
(2)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
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