绳杆相关联物体的速度求解.docx
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绳杆相关联物体的速度求解
绳、杆相关联物体的速度求解
江苏省新沂市第一中学 张统勋
绳、杆等有长度的物体,在运动过程中,如果两端点的速度方向不在绳、杆所在直线上,两端的速度通常是不一样的,但两端点的速度是有联系的,称之为“关联”速度。
“关联速度”问题特点:
沿杆或绳方向的速度分量大小相等。
绳或杆连体速度关系:
①由于绳或杆具有不可伸缩的特点,则拉动绳或杆的速度等于绳或杆拉物的速度。
②在绳或杆连体中,物体实际运动方向就是合速度的方向。
③当物体实际运动方向与绳或杆成一定夹角时,可将合速度分解为沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向的两个分速度。
常用的解题思路和方法:
先确定合运动的方向,即物体实际运动的方向,然后分析这个合运动所产生的实际效果,即一方面使绳或杆伸缩的效果;另一方面使绳或杆转动的效果。
以确定两个分速度的方向,沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度,而沿绳或杆方向的分速度大小相同。
一、绳相关联问题
1.一绳一物题型
⑴所拉的物体匀速运动
【例1】如图1所示, 人在岸上拉船,已知船的质量为m,水的阻力恒为f,当轻绳与水平面的夹角为θ时,船的速度为v,此时人的拉力大小为T,则此时
A.人拉绳行走的速度为vcosθ
B.人拉绳行走的速度为v/cosθ
C.船的加速度为
D.船的加速度为
解析:
船的速度产生了两个效果:
一是滑轮与船间的绳缩短, 二是绳绕滑轮顺时针转动, 因此将船的速度进行分解如图所示, 人拉绳行走的速度v人=vcosθ,A对,B错;绳对船的拉力等于人拉绳的力,即绳的拉力大小为T,与水平方向成θ角,因此Tcosθ-f=ma,解得:
,C正确,D错误。
答案:
AC。
点评:
人拉绳行走的速度即绳的速度,易错误地采用力的分解法则,将人拉绳行走的速度。
即若按图3所示进行分解,则水平分速度为船的速度,得人拉绳行走的速度为v/cosθ,会错选B选项。
⑵匀速拉动物体
【例2】如图4所示,在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸,拉绳的速度为v,当拉船头的绳索与水平面的夹角为α时,船的速度是多少?
解析:
方法1——微元分析法
取小量θ,如图5所示,设角度变化θ所需的时间为Δt,取CD=CB,在Δt时间内船的位移为AB,绳子端点C的位移大小为绳子缩短的长度AD。
由于θ→0°,所以∠BDA→90°。
所以AD=ABcosα ①
又AD=vΔt ②
AB=v船Δt ③
由上述三式可得:
v船=v/cosα
方法2——运动等效法
因为定滑轮右边的绳子既要缩短又要偏转,所以定滑轮右边绳上的A点的运动情况可以等效为:
先以滑轮为圆心,以AC为半径做圆周运动到达B,再沿BC直线运动到D。
做圆周运动就有垂直绳子方向的线速度,做直线运动就有沿着绳子方向的速度,也就是说船的速度(即绳上A点的速度)的两个分速度方向是:
一个沿绳缩短的方向,另一个垂直绳的方向。
作矢量三角形如图6所示,v船=v/cosα。
点拨:
方法1利用几何知识构建三角形,找出在Δt时间内绳与船的位移关系,进而确定速度关系;方法2利用了实际运动为合运动,按效果对船的速度进行分解。
2.两绳一物题型
【例3】如图7所示,两绳通过等高的定滑轮共同对称地系住一个物体A,两边以v速度匀速地向下拉绳。
当两根细绳与竖直方向的夹角都为60°时,物体A上升的速度多大?
解析:
以右边绳子为研究对象,应用绳连体模型的结论,当绳端物体A在做既不沿绳方向,又不垂直于绳方向运动时,一般要将绳物体A的真实运动分解到沿绳收缩方向和垂直于绳子方向的两个分运动。
其运动效果一是沿绳方向的直线运动,这使得绳变短,二是以定滑轮为圆心的圆周运动,这使得绳转过了一个小角度,即A的运动就是这两个分运动的合成。
如图8所示,有
,则
。
点评:
本题是一道绳连体的速度问题,有部分学生认为物体A参与两边绳子的分运动,物体A上升的速度为合速度,容易错解成
,等同于力的合成与分解。
3.一绳两物题型
⑴水平方向情况分析
【例4】A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上,现物体A以v1的速度向右匀速运动,当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时,如图9所示。
物体B的运动速度vB为(绳始终有拉力)
A.
B.
C.
D.
解析:
A、B两物体通过绳相连接,且两物体都是运动的,物体的实际运动速度是合速度,物体的速度都产生了沿绳方向和垂直于绳方向两个作用效果。
设物体B的运动速度为vB,此速度为物体B合运动的速度,根据它的实际运动效果,两分运动分别为:
沿绳收缩方向的分运动,设其速度为v绳B;垂直绳方向的圆周运动,速度分解如图10所示,则有vB=
①
物体A的合运动对应的速度为v1,它也产生两个分运动效果,分别是:
沿绳伸长方向的分运动,设其速度为v绳A;垂直绳方向的圆周运动,它的速度分解如图11所示,则有v绳A=v1cosα ② 由于对应同一根绳,其长度不变,故v绳B=v绳A ③
根据三式解得:
vB=
。
选项ABC错误D正确。
答案:
D
点评:
此题涉及多个物体的速度分解,应用隔离法将每个物体的速度进行分解,再通过关联速度进行求解。
⑵竖直方向情况分析
【例5】如图12所示,竖直平面内放置一直角杆AOB,杆的水平部分粗糙,竖直部分光滑,两部分各有质量相等的小球A和B套在杆上,A、B间用轻绳相连,以下说法中正确的是
A.若用水平拉力向右缓慢地拉A,则拉动过程中A受到的摩擦力不变
B.若以一较明显的速度向右匀速地拉A,则拉动过程中A受到的摩擦力不变
C.若以一较明显的速度向右匀速地拉A,则过程中A受到的摩擦力比静止时的摩擦力要大
D.若以一较明显的速度向下匀速地拉B,则过程中A受到的摩擦力与静止时的摩擦力相等
解析:
当A滑动时,A受到的摩擦力是滑动摩擦力,在动摩擦因数不变的情况下,其大小只与正压力有关。
若用水平拉力向右缓慢地拉A,两小球都处于平衡状态,选取两球组成的系统为研究对象,该系统在竖直方向上受到总重力和水平杆对A球竖直向上的支持力N的作用,二力平衡,所以
,可见,支持力N不变,又因为A受到的摩擦力
,所以
不变,选项A正确。
若用水平拉力向右以一较明显的速度向右匀速地拉A,则两球实际运动的速度可以看作合速度,它们均可以分解为沿绳方向的分速度和垂直绳方向的分速度,并且两球沿绳方向的分速度大小相等,设A球匀速运动的速度为v,轻绳AB与水平杆间的夹角为
,如图13所示,则
,
,
,所以
,可见,当A球向右运动时,
变大,
也变大,即B球在竖直方向上做加速运动,所以轻绳对B球拉力的竖直向上的分量大于GB,根据牛顿第三定律,轻绳对A球竖直向下的拉力分量也大于GB,所以N=GA+GB,A受到的摩擦力
>
,选项B错误,C正确;若以一较明显的速度向下匀速地拉B,那么由两球组成的系统在竖直方向上受力平衡,则水平杆对A球的弹力N=GA+GB+F,其中F为拉力,可见N比静止时要大,所以该过程中A受到的摩擦力经静止时大,选项D错误。
答案:
AC
点评:
竖直方向的物体分析,涉及到超、失重情况,分析时应加以注意,否则易出现错误。
二、杆相关联问题
【例6】如图14所示,一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动,当AB杆和墙的夹角为θ时,杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1,B端沿地面的速度大小为v2。
则v1、v2的关系是()
A.v1=v2 B.v1=v2cosθ
C.v1=v2tanθ D.v1=v2sinθ
解析:
如图15所示,轻杆A端下滑速度v1可分解为沿杆方向的速度v1′和垂直于杆的方向速度v1″,B端水平速度v2可分解为沿杆方向的速度v2′和垂直于杆的方向速度v2″,由于沿杆方向的速度相等v1′=v2′,由数学知识可知,v1′=v1cosθ,v2′=v2sinθ,v1=v2tanθ。
故C项正确。
答案:
C
点评:
对于直杆的运动,一般将其两端的运动速度沿杆和垂直于杆的两个方向分解,两端速度沿杆的分量相等。
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