数列典藏大招.docx
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数列典藏大招
独家秘笈:
数列典藏大招
第1讲等差数列的性质
【知识导航】
等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则:
1.am=an+(m-n)d;
2.如果m+n=p+q,那么am+an=ap+aq,特别地,若m+n=2p,则am+an=2ap;
mm+pm+2p
3.项数(下标)成等差数列的项,仍然组成等差数列,即a,a,a,…(m,p∈N*)为等差数列;
4.依次每k项之和仍成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…为等差数列;
【1】
(1)在等差数列中,a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a9-a10=
(
)
A.20B.22C.24
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=72,则a2+a4+a9等于
D.28
()
A.24B.25C.26
D.27
【2】设等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为;
(2)设等差数列前4项之和为40,最后4项之和为80,所有项之和为210,则项数为.
【3】已知S,T分别是等差数列{a}、{b}的前n项和,且Sn=2n+1,
nnnn
Tn4n-2
求a10+
a11
和a8+a10+a15以及an的值.
b3+b18
b6+b15
b4+b18bn
第2讲等比数列的性质
【知识导航】
等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则:
1.如果m+n=p+r,那么aa=aa;特别地,若m+n=2p,则aa=a2;
mnprmnp
mm+pm+2p
2.项数(下标)成等差数列的项,仍然成等比数列,即a,a,a,(m,p∈N*)为等比数列;
3.依次每k项之和仍成等比数列,即Sk,S2k-k,S3k-2k,…为等比数列,其中Sn≠0;
【1】
(1)若{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=.
(2)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2⋅a3=8,则数列{an}的前n项和等于
.
【2】
(1)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2++log3a10的
值为.
+lna20
(2)若等比数列{a}的各项均为正数,且aa+aa=2e5,则lna+lna+=
n101191212
.
【例3】
(1)设等比数列{a}的前n项和为S,若S6=3,则S9=;
S
S
nn
36
S
2
S
(2)设等比数列{a}的前n项和为S,若S10=1,则S15=.
nn
55
第3讲特值法
【1】
(1)设a1,a2,…,a8为各项都大于零的等差数列,公差d≠0,则()
A.a1a8>a4a5
B.
a1a8 C.a1+a8>a4+a5 D.a1a8=a4a5 (2)已知等差数列{a}的公差d≠0,且a,a,a成等差数列,则a1+a3+a9 =. n139 a+a+a 2410 【2】 (1)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=72,则a2+a4+a9=. (2)已知等差数列{a}满足a+a+a+a+a =30,则a-1a=; n678910 9311 n (3)设函数f(x)=(x-3)2+x-1,已知{a}是公差不为零的等差数列,且满足 f(a1)+f(a2)++f(a7)=14,则a1+a2++a7=. 【3】 (1)已知等比数列{an}满足a5a6a7=27,求log3a1+log3a2++log3a11=. (2)已知a,b,c为等比数列,b,m,a和b,n,c是两个等差数列,则a+c=. mn (3)如果abc=1,则1+ ab+b+1 1+ bc+c+1 1=. ca+a+1 第4讲叠加法 【知识导航】 nn 利用叠加法,an+1=an+f(n)型的递推数列的通项求法: an=a1+∑(ak-ak-1)=a1+∑f(k-1); k=2k=2 【1】在数列{an}中,已知a1=1,当n≥2时an=an-1+2n-1,则an的表达式是() A.3n-2 B. n2 C. 3n-1 D. 4n-3 【2】设数列{an}满足a1=2,an+1-an=3⋅22n-1,则数列{an}的通项公式为. 【3】在数列{a}中,a=1,a=a+1(n≥2),求a的通项公式. n12 nn-1 n2-1n n+ 【4】已知数列{an}的各项均为正,a1=1,na21-an+1an-(n+1)an=0,求数列{an}的通项 公式. 第5讲叠乘法 【知识导航】 利用叠乘法,an+1=f(n)an型的递推数列的通项求法: a=an⋅an-1⋅⋅a2⋅a=af (1)f (2) f(n-1)(n≥2). naaa11 n-1n-21 【1】在数列{a}中,a =na且a=2,则数列{a}的通项公式为. nn+1 n+2n1n 【2】已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3++(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项 an=. 第6讲待定系数法 【知识导航】 形如an+1=pan+q(p≠1)递推数列 1.转化为等比数列后求解: 设an+1+A=p(an+A),整理得an+1=pan+(p-1)A,与an+1= pa+q(p≠1)比较得A=q,即a =pa+q⇔a+q p⎛a+q⎫,转化为 np-1 n+1 nn+1 p-1 çnp-1⎪ = ⎝⎭ 等比数列⎧a+q⎫进而求解. ⎨np-1⎬ ⎩⎭ 2.由an+1=pan+q得an=pan-1+q(n≥2),两式相减得an+1-an=p(an-an-1),则 {an-an-1}是首项为a2-a1,公比为p的等比数列,所以an-an-1=(a2-a1)⋅pn-2,因此求得. n an=a1+∑(ak-ak-1)=a1+ k=2 (a2-a1)(1-pn-1) 1-p (n≥2). 3.形如an+1=pan+q(n)(p≠1)递推数列 (1)利用待定系数法,得到an+1+q'(n+1)=p(an+q'(n)),转化为等比数列求解. (2)两边同除以pn+1,得an+1=an + q(n),令an =b,转化为“a =a+f(n)”型求 pn+1pn pn+1 pnn n+1n 解. 【1】在数列{an}中,若an+1=2an+3,a1=1,则该数列的通项an() A.2n+1-3 B.2n-3 C.2n+1-1 D.2n-1 【2】已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1),且a1=9,其前n项之和为Sn,则满足不等 式Sn -n-6< 1 125 的最小整数n是() A.5B.6C.7D.8 n1 【3】已知数列a0,a1,a2,…,an,…满足关系式(3-an+1)(6+an)=18,且a0=3,则∑a i=0i 的值是. 【4】在数列{an}中,已知a1=2,an+1an+an+1-2an=0,求数列an的通项公式. 【5】数列{a}满足a=4,aa+6a-4a -8=0,记b=6 n ,n∈N+; n1n+1nn+1n an-2 (1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{an⋅bn}前n项和Sn. n 【6】若数列{a}中,a=1,S是数列{a}的前n项之和,且S =Sn (n≥1),求 n1nn 数列{an}的通项公式. n+13+4S 【7】在数列{a}中,a=1,n≥2时,a =1a+2n-1,求{a}的通项公式. n1n 2n-1n 【8】在数列{an}中,a1=1,an+1=3an-2n2+4n+4,求{an}的通项公式. 【9】在数列{an}中,a1=-1,an+1=2an+4⋅3n-1,求通项公式an. 【10】在数列{a}中,a=1,a+a=4,n∈N*,求数列{a}的通项公式. n13nn+13n+1n 【11】已知数列{an}的前n项和Sn=2an-3⨯2n+4(n∈N*),求数列{an}的通项公式. 【12】设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. 第7讲一阶递归标准求解通法 【例1】在下列条件下,求数列{an}的通项公式an (1)若a1=1,an+1=an+n,求an; (2)若a=1,a=a+2n,求a; 1n+1nn (3)若a=1,a=2a+2n,求a; 1n+1nn (4)若a=1,a=3a+2n,求a; 1n+1nn (5)若a1=1,an+1=3an+n,求an; (6)若a=1,a=3a+2n+n,求a; 1n+1nn (7)若a=1,a=2a+2n+n,求a; 1n+1nn (8)若a=1,a=3a+n⋅2n,求a; 1n+1nn (9)若a=1,a=2a+n⋅2n,求a; 1n+1nn (10)若a=1,a=3a+n⋅2n+2,求a; 1n+1nn (11)若a=1,a=2a+n⋅2n+1,求a; 1n+1nn (12)若a=1,a=2a+n⋅2n+n+1,求a; 1n+1nn (13)若a=1,a =3⎛n+1⎫a +n⋅2n+2n,求a; 1n+1 çn⎪nn ⎝⎭ 第8讲二阶递归待定系数法 【知识导航】 一般地,如果某数列{an}满足涉及连续三项an,an-1,an-2的递推关系an=pan-1+qan-2, n≥3,其中p,q是已知的非零常数,并且初始条件即前两项a1,a2的数值已给出,我们将其称为二阶递推数列. 【例1】在下列条件下,求数列{an}的通项公式an; (1)若a1=1,a2=2,an+1=2an+3an-1,求an (2)若a1=1,a2=2,an+1=2an+3an-1+1,求an; (3)若a1=1,a2=2,an+1=2an+3an-1+n,求an; (4)若a1=1,a2=2,an+1=2an+3an-1+n+1,求an; (5)若a=1,a=2,a=2a+3a+2n,求a; 12n+1nn-1n (6)若a=1,a=2,a=2a+3a+2n+1,求a; 12n+1nn-1n (7)若a=1,a=2,a=2a+3a+2n+n,求a; 12n+1nn-1n (8)若a=1,a=2,a=2a+3a+2n⋅n,求a; 12n+1nn-1n (9)若a=1,a=2,a=2a+3a+2n⋅n+1,求a; 12n+1nn-1n (10)若a=1,a=2,a=2a+3a+2n⋅n+n+1,求a; 12n+1nn-1n 第9讲特征根法 【知识导航】 形如an+1=pan+qan-1递推数列 1.当p+q=1时,有a - a=-q(a-a ),则a-a=(-q)n-1⨯(a-a),然后利用叠加 n+1 nnn-1 n+1n21 法求解;当p+q≠1时,利用待定系数法得,先求得等比数列{an-αan-1}的通项公式,然后转化为an+1=pan+q(n)(p≠1)型求解. 2.在数列{a}中,给出a,a,且a =pa + qa .它的特征方程x2=px+q的两根为x和 n12 n+1 nn-11 x.如果x ≠x,则a =Axn+Bxn;如果x =x,则a =(An+B)⋅xn.其中A,B是常数, 212 n12 12n1 可由初始值a1,a2求出. 【1】已知数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),求数列{an}的通项公式. 【2】已知数列{an},{bn}满足an+1=-an-2bn,且bn+1=6an+6bn,又a1=2,b1=4,求an, bn. 【3】已知数列{a}满足a=2,a=3,a =3a -2a (n∈N*),求数列{a}的通项公 n12 n+2 n+1nn 式. 【4】已知数列{a}满足a=1,a=2,4a =4a - a(n∈N*),求数列{a}的通项公 n12 n+2 n+1nn 式. n 【5】已知正项数列{a}满足a=1,a=2,a =an-2,n≥3,求数列{a}的通项公式. n12 an-1 【6】已知数列{an}满足a1=a2=1,a3=2,3an+3=4an+2+an+1-2an,n=1,2,3,…,求数列{an}的通项公式. a2+2 n 【7】已知数列{an}满足a1=a2 =1,a=n-1(n≥3),求数列{a}的通项公式. n n an-2 第10讲一阶分式递归 【知识导航】 某数列{a}的相邻两项a,a满足a =can+b,形如这种形式的递推关系,我们称之 nn+1n 为一阶分式递推数列. n+1 can+d k(n)an n 型 知识点1: an+1=p(n)a + q(n) 【例1】在下列条件下,求数列{an}的通项公式an n (1)若a=1,a =an ,求a; 1n+12a+1n (2)若a=1,a =an ,求a; 1n+1 n an+2 n (3)若a=1,a=an,求a; 1n+13a+2n (n+1)an n (4)若a1=1,an+1=3a+2n,求an; 知识点2: a =can+b型 n+1 can+d 【例2】在下列条件下,求数列{an}的通项公式an a (1)若a=1,a=an+2,求a; 1n+1n n a (2)若a=1,a=4an-4,求a; 1n+1n n n (3)若a=1,a =3an+2,求a; 1n+1 2an (4)若a=1,a =3an+2,求a; n 1n+1 2an n (5)若a=1,a =an+4,求a; 1n+1 an+1 (6)若a1=1,an+1= (2n+2)an+3n(n+1) an ,求an; (7)若a=1,a=1 ,求a. 12n+1 n 2-an 第11讲不动点法 【知识导航】 我们发现,若用x代替地推关系a =aan+b中a,a 的位置,则得到的方程恰为 n+1 can+d nn+1 cx2+(d-a)x=b,该方程称作数列的不动点方程。 设f(x)=ax+b cx+d (1)若f(x)没有不动点,则{an}为周期数列; (2)若f(x)只有唯一不动点x,则数列⎧1⎫是等差数列; 0⎨a-x⎬ ⎩n0⎭ (3)若f(x)有两个相异的不动点x,x,则数列⎧an-x1⎫是等比数列; 12⎨a - x⎬ ⎩n2⎭ 注: 不动点是曲线y=f(x)与直线y=x的交点. 【例1】已知a =an+4(n∈N*),且a=3,求a. n+1 2an+3 1n 【例2】已知数列{a}满足a=1,a =8an-1,求a. n n1n+1 4an+4 【例3】已知数列{a}满足a=2,a =7an-8,求a. n n1n+1 2an-3 【例4】已知数列{a}中,a=1,a =5-1 ,求a. n n1n+1 2an {} 【例5】数列a满足a=1,a= n12n+1 (n+1)(2an-n)an+4n ,求an. 第12讲裂项相消法 【知识导航】 把所给数列的通项拆成两项之差,求和时能在相加时除了首尾各有一项或少数几项外,其余各项都能前后相消,从而达到求和的目的. 常见的拆项公式有: 1=1-1;1 =1⎛1-1⎫;1 =1⎛1-1⎫; n(n+1)nn+1n(n+k) kçnn+k⎪ (2n-1)(2n+1) 2ç2n-12n+1⎪ n+1 n+1 n n+k n+k ⎝⎭ ⎝⎭ 1=-;1=1( -n); n n ++ 2n+1=1-1;1 k ⎢⎥ =1⎡1-1⎤; n2(n+1)2 n2(n+1)2 n(n+1)(n+2) 2n(n+1)(n+1)(n+2) k (k+1)! =1- k! ⎢⎣⎥⎦ 1 (k+1)! 等 n+n+1 【1】数列{a}的通项公式是a=1,前m项的和为10,则m=. nn ++(2x-1) ++ 1 x(x+1) 1+3+5 【2】若 =110(x∈N*),则x=. 1+1 1⨯22⨯3 【3】设{an}是等差数列,公差d>0,Sn是数列{an}的前n项和.已知a1a4=22,S4=26. (1)求数列{an}的通项公式; n n n (2)令b=1,求数列{b}的前n项和T. anan+1 【4】数列{a}的定义为: a= 1,正整数m,n满足m a=1, n 求m+n的值. nk2+k m m+1 n-129 【5】数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,2Sn=(n+1)an. (1)求an与an-1的关系式,并求{an}的通项公式; (2)求和Wn =1+ a2-1 1+. + 1 a2 n+1 -1 a2-1 + 23 n1 【6】设数列{a}满足a=0,且1-
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