立方差公式.docx
- 文档编号:28191363
- 上传时间:2023-07-09
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:231.34KB
立方差公式.docx
《立方差公式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《立方差公式.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
立方差公式
立方差公式
立方差公式:
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
推导过程
1.证明如下:
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
所以a3-b3=(a-b)3-(-3a2b+3ab2)
=(a-b)(a-b)2+3ab(a-b)
=(a-b)(a2-2ab+b2+3ab)=(a-b)(a2+ab+b2)
2.(因式分解思想)证明如下:
a3-b3=a3-a2b-b3+a2b
=a2(a-b)+b(a2-b2)
=a2(a-b)+b(a+b)(a-b)
=(a-b)[a2+b(a+b)]
=(a-b)(a2+ab+b2)
立方和公式及其推广:
(1)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
(2)an+bn=(a+b)[a(n-1)-a(n-2)×b+...+(-1)^(r-1)×a^(n-r)×b^(r-1)+...+b^(n-1)](n为大于零的奇数,r为中括号内项的序数)(后面括号中各项式的幂之和都为n-1)。
an表示a的n次方。
字母表达
立方和公式
立方差公式
三项立方和公式
推导过程:
完全立方公式
(a-b)3=a3+3ab2-3a2b-b3
立方和累加
正整数范围中
注:
可用数学归纳法证明
2公式证明编辑
迭代法一
我们知道:
0次方和的求和公式
,即
1次方和的求和公式
,即
2次方和的求和公式
,即
——平方和公式,此公式可由同种方法得出,取公式
,迭代即得。
具体如下:
(k+1)3-k3=(k3+3k2+3k+1)-k3=3k2+3k+1
利用上面这个式子有:
23-13=3×12+3×1+1
33-23=3×22+3×2+1
43-33=3×32+3×3+1
53-43=3×42+3×4+1
……
(n+1)3-n3=3×n2+3n+1
把上述各等式左右分别相加得到:
(n+1)3-13=3×(12+22+32+……+n2)+3×(1+2+3+……+n)+n×1
n3+3n2+3n+1-1=3×(12+22+32+……+n2)+3×n(n+1)/2+n
(1)
其中12+22+32+……+n2=n(n+1)(2n+1)/6
代入
(1)式,整理後得13+23+33+……+n3=[n(n+1)/2]2
迭代法二
取公式:
系数可由杨辉三角形来确定
那么就得出:
…………⑴
…………⑵
…………⑶
…………
…………(n).
于是⑴+⑵+⑶+…+(n)有
左边=
右边=
把以上这已经证得的三个公式代入,
得
移项后得
等号右侧合并同类项后得
即
推导完毕。
排列组合法
设数列{
}=n(n+1)(n+2),其n项和为
,且设
=
+
+
+…+
,则
=1×(1+1)×(1+2)+2×(2+1)×(2+2)+…+n(n+1)(n+2)
=
=
=
+3
+2
=
+3×
+2×
=
+
+n(n+1)
又
=1×(1+1)×(1+2)+2×(2+1)×(2+2)+…+n(n+1)(n+2)
=
+
+
+…+
=
(
+
+
+…+
)
=
(
+
+
+…+
)
=
(
+
+
+…+
)
=
(
+
+…+
)
=…
=
=6
∴
由此得
=
。
[1-2]
因式分解证明
3几何验证编辑
图象化立方和公式
透过绘立体的图像,也可验证立方和。
根据右图,设两个立方,总和为:
把两个立方体对角贴在一起,根据虚线,可间接得到:
要得到
,可使用
的空白位置。
该空白位置可分割为3个部分:
·
·
·
把三个部分加在一起,便得:
=
=
之后,把
减去它,便得:
公式发现两个数项皆有一个公因子,把它抽出,并得:
=
可透过完全平方公式,得到:
=
=
这样便可证明:
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 立方 公式
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)