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专题复习球与球体
2016年高考专题复习■-球与球体01.25
典型例题1――球的截面
例1球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点,其中AB=18,BC=24、AC=30,球心到这个截面的距
离为球半径的一半,求球的表面积.
【练习】过球0表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD,且两两夹角都为60。
,若球半径为R,求弦AB的长度.
典型例题2――球面距离
C.无数个
D.以上均不正确
球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周
A、B是半径为R的球0的球面上两点,它们的球面距离为
护'求过A、B的平面中'与球心的最大距离是多少?
典型例题3――其它问题
例5.自半径为R的球面上一点M,引球的三条两两垂直的弦
MA,MB,MC,求MA2+MB2+MC2的值.
例6.试比较等体积的球与正方体的表面积的大小.
典型例题4――球与几何体的切、接问题
例7一个倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器内注入水,并放入一个半径为r的铁球,这时水面恰好和球面相切.问将球从圆锥内取出后,圆锥内水平面的高是多少?
例8.设正四面体中,第一个球是它的内切球,第二个球是它的外接球,求这两个球的表面积之比及体积之比.
例9.把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上,使它两两外切,然后在它们上面放上第四个球,使它与前三个都相切,求第四个球的最高点与桌面的距离.
例10.如图1所示,在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切.
(1)求两球半径之和;
(2)球的半径为多少时,两球体积之和最小.
作业1.正三棱锥的高为1,底面边长为2罪,正三棱锥内有一个球
2.求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.
3在球心同侧有相距9cm的两个平行截面,它们的面积分别为
49兀cm2和400兀cm2.求球的表面积.
【高考真题】1.(2010四川理数)(11)半径为R的球0的直径AB垂直于平面0垂足为B,ABCD是平面a内边长为R的正三角形,线段AC、AD分别
与球面交于点M,N,那么M、N两点间的球面距离是
1718
(A)Rarccos一(B)Rarccos—w_w_w(C)(D)£兀R
2525
2.(2010湖北文数)14.圆柱形容器内盛有高度为3cm的水,若放入
三个相同的珠(球的半么与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最
3.(2009全国卷I文)已知OA为球0的半径,过OA的中点M且垂直
于OA的平面截球面得到圆M,若圆M的面积为3沢,则球0的表面积等于
4.
(2009陕西卷文)如图球0的半径为2,圆Oi是一小圆,
00W,AB是圆01上两点,若NAOi吒,则A,B
两点间的球面距离为5.(安徽卷理16文16)已知A,B,C,D在同一个球面
上,AB丄平面BCD,BC丄CD,若AB=6,AC=2辰,AD=8,贝JB,C两点间的
球面距离是6.(江西卷文15)连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦ABCD的长度分别等于W7、4^3,每条弦的两端都在球面
上运动,则两弦中点之间距离的最大值为7.(辽宁卷理14文14)在体积为皿的球的表面上有A,B,C三点,
兀,则球心到平面ABC的
/3
AB=1,BC=Q,A,C两点的球面距离为一
3
距离为
8.(天津卷理12)一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为4®,则该正方体的表面积为
9.(浙江卷理14文15)如图,已知球0点面上四点
B、CD,DA丄平面ABCAB丄BC,DA=AB=BC=3,球0点体积等于
2016年高考专题复习---■球与球体
例1分析:
求球的表面积的关键是求球的半径,本题的条件涉及球的截面,MBC是截面的内接三角形,由此可利用三角形求截面圆的半径,球心到截面的距离为球半径的一半,从而可由关系式r2=R2-d2求
解:
•/AB=18,BC=24,AC=30,
二AB2+BC2=AC2,人ABC是以AC为斜边的直角三角形.
ABC的外接圆的半径为15,即截面圆的半径r=15,又球心到截面的距离为d=iR,.・.R2-(*R)2=152,得R=1OJ3.二球的表面积为S=4;IR2=4兀(1073)2=1200;!
说明:
涉及到球的截面的问题,总是使用关系式r=jR2—d2解题,我们可以通过两个量求第三个量,也可能是抓三个量之间的其它关系,求三个量.
【练习】由条件可抓住A-BCD是正四面体,A、B、C、D为球
上四点,则球心在正四面体中心,设AB=a,则截面BCD与球心的距
(亟a)2=R2-(血a-R)2得a-^^R.
333
例2分析:
对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论.
点不共线时,可以作一个大圆;当三点共线时,可作无数个大圆,故选B
如图所示,设三点A、B、C,O为球心,
2;!
设球的半径为R,小圆的半径为r,则2^=4辽,「.r=2.
NAOBZOCZOA.-冷.又:
OA=OB「5是等边三角形,同样,ABOC、ACOA都是等边三角形,得AABC为等边三角形,边长等于球半径R.r为沁的外接圆半径,r=£AB=^R,
3*_
R=—=r=2d3.
说明:
本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题,除了考查常规的与多面体综合外,还考查了球面距离,几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点,是一道不可多得的好题.
例4分析:
A、B是球面上两点,球面距离为-R,转化为球心角
2
NAOB=-,从而AB=J2R,由关系式r^R^d2,r越小,d越大,r是
过A、B的球的截面圆的半径,所以AB为圆的直径,r最小.
解:
•••球面上A、B两点的球面的距离为-R.•••NAOB=-,
22
ABWr.当AB成为圆的直径时,r取最小值,此时rJaB=^R,
22
d取最大值’d=E=fR,即球心与过A、B的截面圆距离
最大值为即
说明:
利用关系式r2=R2-d2不仅可以知二求一,而且可以借此分析截面的半径r与球心到截面的距离d之间的变化规律.此外本题还
涉及到球面距离的使用,球面距离直接与两点的球心角NAOB有关,
而球心角NAOB又直接与AB长度发生联系,这是使用或者求球面距离
的一条基本线索.
例5.分析:
此题欲计算所求值,应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算,所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系,便于将球的条件与之相联.
解:
以MA,MB,MC为从一个顶点出发的三条棱,将三棱锥
M-ABC补成一个长方体,则另外四个顶点必在球面上,故长方体是
球的内接长方体,则长方体的对角线长是球的直径.
22222
二MA2+MB2+MC2=(2R)2=4R2.
说明:
此题突出构造法的使用,以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算.
例6.分析:
首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长,找出等量关系,再转化为其面积的大小关系.
解:
设球的半径为r,正方体的棱长为a,它们的体积均为V,
则由¥「3"3=話,r=3学,由亠V,得.
S球如2F(3層)2N時.S正方“6宀6前)2=府仝'时
打4兀<21^.y^V2cU216V2,即S球
例7分析:
先作出轴截面,弄清楚圆锥和球相切时的位置特征,利用铁球取出后,锥内下降部分(圆台)的体积等于球的体积,列式求解.
解:
如图作轴截面,设球未取出时水面高Pc=h,球取出后,水
面高PH=xVAC二為,PC=3r,则以AB为底面直径的圆锥容积为
11—
V圆锥=-兀”AC2卩C=-兀(丿3「)2”3r=3用,球取出后水面下降到EF,水体
33
体的关系,第二个关键是两个球的半径之间的关系,依靠体积分割的
方法来解决的.
解:
如图,正四面体ABCD的中心为0,ABCD的中心为O1,则第
和外接球的两个球心是重合的,为正四面体高的四等分点,即定有内切球的半径r=1h(h为正四面体的高),且外接球的半径R=3r.
例9.分析:
关键在于能根据要求构造出相应的几何体,由于四个球半径相等,故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2.
解:
四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点,则正四面体的高h=書丄=坐.而第四个球的最高点到第四个球的球心距
133
离为求的半径1,且三个球心到桌面的距离都为1,故第四个球的最
高点与桌面的距离为2+晋
例10.分析:
此题的关键在于作截面,一个球在正方体内,学
生一般知道作对角面,而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线
上,故仍需作正方体的对角面,得如图2的截面图,在图2中,观
察R与r和棱长间的关系即可.
解:
如图2,球心Oi和02在AC上,过Oi,O2分别作
AD,BC的垂线交于E,F.贝J由AB=1,AC=73得
AOj=j3r,CO2=73r.
F图2
4E
二r+R+J3(r+R),
73+12
(1)设两球体积之和为V,
贝JV=4兀(R3+r3)=-兀(r+R)(r2-Rr+r2)
33
43^3r2143^3[3^323^31
=-兀(r+r)2-3rR」一兀a(^^)2-3R(d-R)
323222I
=4兀矩[3R2_d^R+(y)2]
32[22J
当R=时,V有最小值.二当R=r=时,体积之和有最小值.
44
作业解:
如图,球0是正三棱锥P-ABC的内切球,0到正三
棱锥四个面的距离都是球的半径R.PH是正三棱锥的高,即
PH=1.E是BC边中点,H在AE上,AABC勺边长为2恵,
C
/.HE=2^/6=^2
6
1,
可以得至yS由AB=SdC=S^BC=-BC卩E=3^2.
S心BC出(276)2=6+g
4
+Vo_PBC+Vo」BC
由等体积法,Vp」BC=V。
上ab中Vo_pac
1_112£3_
二一X6J3X1=-x372xRx3+-x673xR得:
R=———=j6-2,
3332J3+3
…S球=4兀r2=4兀(J6—2)2=8(5—)兀.••V球=§jiR,=§兀(aZ6—2)'.
说明:
球心是决定球的位置关键点,本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径R来求出R,以球心的位置特点来抓球的基本量,这是解决球有关问题常用的方法.
2.分析:
首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥,它们公共的轴截面,然后寻找几何体与几何体之间元素的关系.
解:
如图,等边ASAB为圆锥的轴截面,此截面截圆柱得正方形
CiCDDi,截球面得球的大圆圆Oi.设球的半径OOi=R,
则它的外切圆柱的高为2R,底面半径为R;
二7球=4兀R3,
厂
O2
入
fOi
O
3
二R=25二3求=4兀R2=2505(cm2).二球的表面积为2500花cm2
【高考真题】1.解析:
由已知,AB=2R,BC=R,故tanZBAC=丄
2
cos/BAB洋连结0M」y0AM为等腰三角形
AM=2AOcosZBAC=也R,同理AN=也R
55
而AC=75R,CD=R故MN:
CD=AN:
ACw_=
连结0M、ON,有OM=ON=R
于是cos/MON=om2+on2-mn2=17
-25
2OM[on
www.答案:
A
所以M、N两点间的球面距离是Rarccos17
25
2.【答案】4【解析】设球半径为r,则由3V球+V水“柱可得
3xfjtr3+兀r2x8=町2x6r,解得r=4.
3.【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积,基础题。
解:
设球半径为R,圆M的半径为r,则兀『=3兀,即『=3由题得
R2-(旦)2=3,所以r2=4=4兀r2=16兀。
2
4.答案:
线解析:
由00=72,OA=OB=2由勾股定理在圆01中
3
贝y有QA^OjB^d,又NAO1B^贝JAB=2所以在iAOB中,
2
OA=OB=AB=2,贝JMOB为等边三角形,那么NAOB=60。
.
由弧长公式为半径)得A,B两点间的球面距离"「6=2于即
女口图,易得BC=J(2713)2-62=4,BD二厶2七=277,
5.解:
2c2
•••CD=用,
则此球内接长方体三条棱长为
AB、BCCD(CD
的对边与
CD等长),从而球外接圆的直径为
2R=J62+42+(辰)2=8,R=4则BC与球心构成的大圆如图,因
B,C两点间的球面距离是—。
3
6.解析:
易求得M、N到球心0的距离分别为3、2,类比平面内圆的
情形可知当M、N与球心0共线时,MN取最大值5。
7.解析:
本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离。
设球的半径为R,则V=0;IR3=473兀,二R=73.设A、C两点对球心张角为日,
3
贝JAC=R9=兀,Q=—,.•.AC=J3,.•.AC为ABC所在平面的小
33
圆的直径,二NABC=90X设ABC所在平面的小圆圆心为0',则球心到
平面ABC的距离为d=oo'=心r=W=|.答案:
I
8-解析:
由TR3=4Q得RW'所以a=2,表面积为心24.
9.解析:
本小题主要考查球的内接几何体体积计算问题。
其关键是找
出球心,从而确定球的半径。
由题意,三角形DAC三角形DBC
都是直角三角形,且有公共斜边。
所以DC边的中点就是球心
(到DACB四点距离相等),所以球的半径就是线段DC
长度的一半。
1厂23
y=-兀 3 二V球: V柱: ▼锥=4: 6: 9. 3.分析: 可画出球的轴截面,利用球的截面性质,求球的半径. 解: 如图为球的轴截面,由球的截面性质知,AO1//BO2,且若Oi、O2分别为两截面圆的圆心,则OOi丄AOi, OO2丄BO2.设球的半径为R...rQB2=49兀,二O2B=7(cm) 同理兀OJ2=40^0,•O1^20(cm)设OO^,=xcm,则 OO2=(x+9)cm.在R^OO1A中,R2=x2+20;在R^OO2B中, R2=(x+9)2+72,•X2+20=72+(x+9)2,解得x=15,•R2=x2+202=252,
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- 专题 复习 球体