完整版51相交线垂线习题精选.docx
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完整版51相交线垂线习题精选
5.1相交线垂线习题精选
一.解答题(共10小题)
1.有一张地图,有A、B、C三地,但地图被墨迹污染,C地具体位置看不清楚了,但知道C地在A地的北偏东30°,在B地的东南方向,
(1)试确定C地的位置;
(2)画射线CA;
(3)画出点C到AB的垂线段CD.
2.如图,已知直线AB,OC⊥AB,OD⊥OE,若∠COE=
∠BOD,则求∠COE,∠BOD,∠AOE的度数.
3.如图,AO⊥OB,直线CD过点O,且∠BOD=130°,求∠AOD的大小.
4.如图:
AB,CD,EF相交于O点,AB⊥CD,OG平分∠AOE,∠FOD=30°,求∠BOE及∠AOG的度数.
5.如图,AB、CD相交于O点,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,猜想射线OE与直线AB的位置关系,并求证.
6.如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥OF,OC平分∠AOE,且∠BOF=2∠BOE.请你求∠DOB的度数.
7.如图,直线AB,CD相交于O点,OM⊥AB于O.
(1)若∠1=∠2,求∠NOD;
(2)若∠BOC=4∠1,求∠AOC与∠MOD.
8.如图,直线AB、CD相交于O点,∠AOC与∠AOD的度数比为4:
5,OE⊥AB,OF平分∠DOB,求∠EOF的度数.
9.如图,小明将两块完全相同的直角三角形纸片的直角顶点C叠放在一起,若保持△BCD不动,将△ACE绕直角顶点C旋转.
(1)如图1,如果CD平分∠ACE,那么CE是否平分∠BCD?
答:
_________ (填写“是”或“否”);
(2)如图1,若∠DCE=35°,则∠ACB= _________ °;
若∠ACB=140°,则∠DCE= _________ °;
(3)当△ACE绕直角顶点C旋转到如图1的位置时,猜想∠ACB与∠DCE的数量关系为 _________ ;当△ACE绕直角顶点C旋转到如图2的位置时,上述关系是否依然成立,请说明理由;
(4)在图1中,若∠BCE=∠D,请你猜想CE与BD的位置关系,并说明理由.
10.如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:
线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时,连接PA、PB,构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角.(提示:
有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°)
(1)当动点P落在第①部分时,有∠APB=∠PAC+∠PBD,请说明理由;(3分)
(2)当动点P落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立?
若不成立,试写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的等量关系(无需说明理由);(2分)
(3)当动点P在第③部分时,探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系,写出你发现的一个结论并加以说明.(3分)
5.1相交线垂线习题精选
参考答案与试题解析
一.解答题(共10小题)
1.有一张地图,有A、B、C三地,但地图被墨迹污染,C地具体位置看不清楚了,但知道C地在A地的北偏东30°,在B地的东南方向,
(1)试确定C地的位置;
(2)画射线CA;
(3)画出点C到AB的垂线段CD.
考点:
方向角;垂线.809625
分析:
(1)先分别以A、B两点为原点画出坐标系,再画射线BC、AC,两条射线的交点即为C点;
(2)以C为端点,做射线CA即可;
(3)过点C作AB的垂线段CD即可求出答案.
解答:
解:
(1)如图所示,线段BC与AC的交点即为C点;
(2)由
(1)确定出C点的位置,再做射线CA;
(3)过点C作AB的垂线段CD.
点评:
本题考查的是方向角的概念,熟知方向角的表示方法并能画出图形是解答此题的关键.
2.如图,已知直线AB,OC⊥AB,OD⊥OE,若∠COE=
∠BOD,则求∠COE,∠BOD,∠AOE的度数.
考点:
角的计算;垂线.809625
专题:
计算题.
分析:
先根据同角的余角相等求出∠COE=∠AOD,再根据∠AOD与∠BOD是邻补角且∠COE=
∠BOD求出∠BOD;∠AOE等于∠AOC与∠COE的和.
解答:
解:
∵OC⊥AB,OD⊥OE,
∴∠DOE=∠AOC=90°,
∵∠COE+∠DOC=∠DOE=90°,
∠AOD+∠DOC=∠AOC=90°,
∴∠COE=∠AOD,
∵∠BOD=180°﹣∠AOD,
∵∠COE=
∠BOD,
∴∠COE=30°,
∴∠BOD=180°﹣∠AOD
=180°﹣∠COE
=180°﹣30°
=150°;
∴∠AOE=∠AOC+∠COE
=90°+30°
=120°.
点评:
利用同角的余角相等求出∠COE=∠AOD是解题的关键.
3.如图,AO⊥OB,直线CD过点O,且∠BOD=130°,求∠AOD的大小.
考点:
角的计算;垂线.809625
分析:
首先根据邻补角的关系求得∠BOC,再根据余角的关系求得∠AOC.最后根据邻补角的概念,进一步求得∠AOD.
解答:
解:
∵∠BOD=130°,
∴∠BOC=180°﹣130°=50°,
又∵AO⊥OB,
∴∠AOC=40°,
∴∠AOD=180°﹣40°=140°.
点评:
根据图形结合已知条件找到互补的角和互余的角,结合角的运算求得结果.
4.如图:
AB,CD,EF相交于O点,AB⊥CD,OG平分∠AOE,∠FOD=30°,求∠BOE及∠AOG的度数.
考点:
角的计算;对顶角、邻补角;垂线.809625
专题:
计算题.
分析:
分析图形可得,∠COE与∠FOD是对顶角,又有∠BOC=90°,OG平分∠AOE,计算可得答案.
解答:
解:
∵∠FOD=30°,∠COE与∠FOD是对顶角,
∴∠EOC=30°;
∵AB⊥CD,
∴∠BOC=90°,
∵∠AOE=90°+∠EOC=120°,且OG平分∠AOE,
∴∠AOG=60°.
点评:
本题考查角的运算,注意角与角之间的倍数与垂直关系即可.
5.如图,AB、CD相交于O点,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,猜想射线OE与直线AB的位置关系,并求证.
考点:
垂线;对顶角、邻补角.809625
专题:
探究型.
分析:
观察图形,可猜想OE⊥AB,根据已知条件,证明∠AOE是直角即可.
解答:
解:
OE⊥AB.理由如下:
∵∠BOC=130°(已知),
∴∠AOD=∠BOC=130°(对顶角相等),
∴∠AOE=∠AOD﹣∠EOD=130°﹣40°=90°.
∴OE⊥AB.
点评:
本题考查了垂线对顶角、邻补角.利用垂直的定义除了由垂直得直角外,还能由直角判定垂直,判断两直线的夹角是否为90°是判断两直线是否垂直的基本方法.
6.如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥OF,OC平分∠AOE,且∠BOF=2∠BOE.请你求∠DOB的度数.
考点:
垂线;角平分线的定义;对顶角、邻补角.809625
专题:
计算题.
分析:
由已知条件和观察图形,根据垂直的定义、角平分线的定义和对顶角相等,利用这些关系可解此题.
解答:
解:
∵OE⊥OF,
∴∠EOF=90°,
∵∠BOF=2∠BOE,
∴3∠BOE=90°,
∴∠BOE=30°,
∴∠AOE=180°﹣∠BOE=150°,
又∵OC平分∠AOE,
∴∠AOC=
∠AOE=75°,
∴∠DOB=∠AOC=75°.
点评:
本题利用垂直的定义,角平分线的定义以及对顶角相等的性质计算,要注意领会由垂直得直角这一要点.
7.如图,直线AB,CD相交于O点,OM⊥AB于O.
(1)若∠1=∠2,求∠NOD;
(2)若∠BOC=4∠1,求∠AOC与∠MOD.
考点:
垂线;对顶角、邻补角.809625
专题:
计算题.
分析:
(1)由已知条件和观察图形可知∠1与∠AOC互余,再根据平角的定义求解;
(2)利用已知的∠BOC=4∠1,结合图形以及对顶角的性质求∠AOC与∠MOD.
解答:
解:
(1)因为OM⊥AB,
所以∠1+∠AOC=90°.
又∠1=∠2,
所以∠2+∠AOC=90°,
所以∠NOD=180°﹣(∠2+∠AOC)=180°﹣90°=90°.
(2)由已知∠BOC=4∠1,即90°+∠1=4∠1,可得∠1=30°,
所以∠AOC=90°﹣30°=60°,
所以由对顶角相等得∠BOD=60°,
故∠MOD=90°+∠BOD=150°.
点评:
本题利用垂直的定义,对顶角的性质和平角的定义计算,要注意领会由垂直得直角这一要点.
8.如图,直线AB、CD相交于O点,∠AOC与∠AOD的度数比为4:
5,OE⊥AB,OF平分∠DOB,求∠EOF的度数.
考点:
垂线;角的计算;对顶角、邻补角.809625
专题:
计算题.
分析:
设∠AOC=4x,则∠AOD=5x,根据邻补角的定义得到∠AOC+∠AOD=180°,即4x+5x=180°,解得x=20°,则∠AOC=4x=80°,利用对顶角相等得∠BOD=80°,由OE⊥AB得到∠BOE=90°,则∠DOE=∠BOE﹣∠BOD=10°,再根据角平分线的定义得到∠DOF=
∠BOD=40°,利用∠EOF=∠EOD+∠DOF即可得到∠EOF的度数.
解答:
解:
设∠AOC=4x,则∠AOD=5x,
∵∠AOC+∠AOD=180°,
∴4x+5x=180°,解得x=20°,
∴∠AOC=4x=80°,
∴∠BOD=80°,
∵OE⊥AB,
∴∠BOE=90°,
∴∠DOE=∠BOE﹣∠BOD=10°,
又∵OF平分∠DOB,
∴∠DOF=
∠BOD=40°,
∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=10°+40°=50°.
点评:
本题考查了垂线的性质:
两直线垂直,则它们相交所成的角为90°.也考查了对顶角相等以及邻补角的定义.
9.如图,小明将两块完全相同的直角三角形纸片的直角顶点C叠放在一起,若保持△BCD不动,将△ACE绕直角顶点C旋转.
(1)如图1,如果CD平分∠ACE,那么CE是否平分∠BCD?
答:
是 (填写“是”或“否”);
(2)如图1,若∠DCE=35°,则∠ACB= 145 °;若∠ACB=140°,则∠DCE= 40 °;
(3)当△ACE绕直角顶点C旋转到如图1的位置时,猜想∠ACB与∠DCE的数量关系为 ∠ACB+∠DCE=180° ;当△ACE绕直角顶点C旋转到如图2的位置时,上述关系是否依然成立,请说明理由;
(4)在图1中,若∠BCE=∠D,请你猜想CE与BD的位置关系,并说明理由.
考点:
角的计算;角平分线的定义;余角和补角;垂线.809625
专题:
综合题.
分析:
(1)CD平分∠ACE,那么可得∠DCE=45°,进而求得∠BCF是45°,那么CE平分∠BCD;
(2)由∠DCE=35°可先求出∠ACD=55°,再结合∠ACB=∠DCB+∠ACD,∠BCD=90°即可求解;
同理,由∠ACB=140°,可先求出∠ACD从而求出∠DCE.
(3)四个角组成一个周角,有2个角是90°,和为180°,那么,∠ACB+∠DCE=180°;
(4)易知∠D和∠B互余,∠BCE=∠D那么∠DCE和∠D互余,CE与BD垂直.
解答:
解:
(1)是;
(2)145,40;
∵∠DCE=35°,
∴∠ACD=55°,
∴∠ACB=∠DCB+∠ACD=90°+55°=145°;
同理,∠ACB=140°,∠ACD=∠ACB﹣∠DCB=50°,
∴∠DCE=∠ACE﹣∠ACD=40°;
(3)∠ACB+∠DCE=180°;
成立;
∵∠ACE+∠DCB=180°,
∴∠ACB+∠DCE=360°﹣(∠ACE+∠DCB)=180°;
(4)CE⊥BD.
∵∠BCE=∠D,∠BCE+∠ECD=90°,
∴∠D+∠ECD=90°,
∴∠CFD=90°,
∴CE⊥BD.
点评:
注意直角三角形中直角的应用,以及隐含条件周角的度数为360°.
10.如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:
线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时,连接PA、PB,构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角.(提示:
有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°)
(1)当动点P落在第①部分时,有∠APB=∠PAC+∠PBD,请说明理由;(3分)
(2)当动点P落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立?
若不成立,试写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的等量关系(无需说明理由);(2分)
(3)当动点P在第③部分时,探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系,写出你发现的一个结论并加以说明.(3分)
考点:
平行线的性质.809625
专题:
推理填空题.
分析:
(1)过点P向左作PQ∥AC,根据平行公理可得PQ∥BD,然后根据两直线平行,内错角相等可得∠APQ=∠PAC,∠BPQ=∠PBD,相加即可得解;
(2)过点P向右作PQ∥AC,根据平行公理可得PQ∥BD,然后根据两直线平行,同旁内角互补可得∠APQ+∠PAC=180°,∠BPQ+∠PBD=180°,两式相加即可得解;
(3)分点P在直线AB的左侧与右侧两种情况,分别过点P向右作PQ∥AC,根据平行公理可得PQ∥BD,然后根据两直线平行,同旁内角互补用∠PAC表示出∠APQ,用∠PBD表示出∠BPQ,然后结合图形整理即可得解.
解答:
解:
(1)如图,过点P向左作PQ∥AC,则∠APQ=∠PAC,
∵AC∥BD,
∴PQ∥BD,
∴∠BPQ=∠PBD,
∵∠APB=∠APQ+∠BPQ,
∴∠APB=∠PAC+∠PBD;
(2)不成立.∠APB+∠PAC+∠PBD=360°.
理由如下:
如图,过点P向右作PQ∥AC,则∠APQ+∠PAC=180°,
∵AC∥BD,
∴PQ∥BD,
∴∠BPQ+∠PBD=180°,
∴∠APQ+∠PAC+∠BPQ+∠PBD=180°×2=360°,
∵∠APB=∠APQ+∠BPQ,
∴∠APB+∠PAC+∠PBD=360°;
(3)①若点P在直线AB左侧,过点P向右作PQ∥AC,则∠APQ=180°﹣∠PAC,
∵AC∥BD,
∴PQ∥BD,
∴∠BPQ=180°﹣∠PBD,
∵∠APB=∠BPQ﹣∠APQ=(180°﹣∠PBD)﹣(180°﹣∠PAC)=∠PAC﹣∠PBD,
∴∠PAC=∠APB+∠PBD;
②若点P在直线AB右侧,过点P向右作PQ∥AC,则∠APQ=180°﹣∠PAC,
∵AC∥BD,
∴PQ∥BD,
∴∠BPQ=180°﹣∠PBD,
∵∠APB=∠APQ﹣∠BPQ=(180°﹣∠PAC)﹣(180°﹣∠PBD)=∠PBD﹣∠PAC,
∴∠PBD=∠APB+∠PAC.
点评:
本题考查了平行线的性质,读懂题目信息,过点P作出平行线,构造出内错角或同旁内角是解题的关键,(3)注意要分点P在直线AB的左、右两侧两种情况讨论求解.
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