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分块矩阵及其应用
徐健,数学计算机科学学院
摘要:
在高等代数中,分块矩阵是矩阵内容的推广.一般矩阵元素是数量,
而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵,它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利,解决相关问题更加强有力,所以其应用也更广泛.本文主要研究分块矩阵及其应用,主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理.
关键词:
分块矩阵;行列式;方程组;矩阵的秩
OnBlockMatrixesanditsApplications
XuJian,SchoolofMathematicsandComputerScience
AbstractInthehigheralgebra,blockmatrixisageneralizationofmatrixcontent.
Ingeneral,matrixelementsarenumbers.However,theblockmatrixisalargematrixwhichisdividedintosomesmallrectangularmatricies,whoseelementsarematrixblocks.Theintroductionoftheblockmatrixmakesitmoreconvenienttousematrix,andmorepowerfultosolverelevantproblems.Sotheapplicationoftheblockmatrixismuchwider.Thispapermainlystudiestheblockmatrixanditsapplicationinthecalculationofdeterminant,suchassolvinglinearequations,calculatinginversematrix,provingtheoremrelatedtotherankofmatrix,etc.
KeywordsBlockmatrix;Determinant;Systemofequations;Rankofamatrix
1引言
我们在高等代数中接触到矩阵后,学习了矩阵的相关性质,但是对于一些复杂高阶矩阵,我们希望能将问题简化.考虑将矩阵分割为若干块,并将矩阵的部分性质平移至分块矩阵中,这样的处理往往会使问题简化.
定义1.1[1]分块矩阵是把一个大矩阵分割成若干“矩阵的矩阵”,如把
m⨯n矩阵分割为如下形式的矩阵:
⎛A11A⎫
ç1n⎪
Am⨯n=ç⎪
Am1Amn
特别地,对于单位矩阵分块:
⎝⎭
11
⎛E00⎫
ç⎪
En⨯n=ç0ç0
0⎪
⎪
0E
⎝nn⎭
显然,这里我们认识的矩阵元素不再局限于数字,而是一个整体,这里的
A所代表的是大矩阵囊括的小矩阵,而小矩阵一般是我们熟知的常见矩阵.
ij
依照以上设想,有关矩阵性质的一些问题,我们可以考虑用分块矩阵的思路来解决.
2.1矩阵的相关概念
2分块矩阵
在矩阵的学习中,我们学过一些最基本的概念,比如矩阵的行列式、矩阵
的秩、矩阵的逆、初等变换、初等矩阵等等.事实上,我们发现:
分块后的矩阵同样用到这些概念.
a11
定义2.1.1[2]n级行列式a21
a12a22
a1n
a2n
等于所有取自不同行不同列的
an1an2an
n个元素的乘积a1ja2janj的代数和,这一定义又可写成:
12n
a11a21
a12a22
a1n
a2n=
(-1)(j1j2jn)aa
a.
an1an2an
∑
j1j2jn
1j12j2njn
[2]
定义2.1.2
向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的的秩.所
谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩;矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩.
定义2.1.3[2]n级方阵称为可逆的,如果有n级方阵B,使得
AB=A-1.
BA=E(这里E是n级单位矩阵),那么B就称为A的逆矩阵,记为
定义2.1.4[3]对分块矩阵施行下列三种初等变换:
(1)互换分块矩阵的某两行(列);
(2)用一个非奇异阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列);
(3)用一个非零阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)加至另一行(列)上,分别称上述三种初等行(列)变换为分块矩阵的初等行(列)变换.
定义2.1.5[3]m+n2⨯2
⎛ImO⎫
对阶单位矩阵作分块,即Im+n=ççOI⎪,然后
⎝n⎭
对其作相应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵.分块矩阵具有以下形式:
(1)
çOI⎪
分块初等对换阵⎛InO;⎫
⎝m⎭
⎛PO⎫⎛ImO⎫
(2)分块初等倍乘阵ç0I⎪,ç⎪;
⎝n⎭
(3)分块初等倍加阵⎛ImR1⎫
OI
⎝0Q⎭
,⎛ImO⎫;
SI
⎝n⎭⎝n⎭
1
其中P,Q分别是m阶和n阶可逆方阵,且R∈Rm⨯n,S∈Rn⨯m为非零阵.
2.2矩阵的运算性质
矩阵的运算包括加法、乘法、数乘,这里主要讨论矩阵的运算性质:
定义2.2.1[4]矩阵加法:
设A=(a),B=(b)是两个同型矩阵,
ijsnijsn
则矩阵C=(cij)
=(aij+bij)
称为A和B的和,记为C=A+B.元素全为零
的矩阵称为零矩阵,记为Osn,可简单记为O,对于矩阵A、B,有:
(1)A+O=A
(2)A+(-A)=0
(3)A-B=A+(-B)
(4)(A+B)+C=A+(B+C)
(5)A+B=
定义2.2.2[4]
B+A
矩阵乘法:
设A=(a),B=(b)是两个不同型矩阵,
iksnkjnm
那么矩阵C=AB=(cij),称为矩阵A与B的乘积,其中:
sm
cij=ai1b1j+ai2b2j+ainbnj
=∑aikbkj
n
k=1
在乘积的定义中,我们要求第二个矩阵行数和第一个矩阵列数相等.特别地,矩阵的乘法和加法满足以下性质:
(1)A(B+C)=AB+AC
(2)(B+C)A=BA+CA
(3)(AB)D=A(BD)
⎛ka11ka1ka1⎫
定义2.2.3[4]矩阵数乘:
çka21ka
ka2n⎪⎪
A=(a)与数
ç22⎪称为矩阵
çç⎪⎪
ijsn
kakaka
⎝s1s2sn⎭
k的数量乘积,记为kA,有以下性质:
(1)1*A=A;
(2)k(lA)=(kl)A;
(3)k(A+B)=kA+kB;
(4)(k+l)A=kA+lA;
(5)k(A+B)=kA+kB.
2.3分块矩阵的初等变换性质
我们对于分块矩阵,也有其运算性质:
设A、B是m⨯n矩阵,若对它们有相同的划分,也就有:
11
⎛A11+B
ç
A1t
+B1t⎫
⎪
加法:
A+B=ç⎪.
ç⎪
çA+BA+B⎪
⎝s1s1stst⎭
乘法:
C=AB,其中:
Cij=Ai1B1j+Ai2B2j++AinBnj
⎛kA11kA1⎫
ç⎪
n
∑
=AikBkj.
k=1
数乘:
kA=ç⎪.
⎪
çkAkA
⎝s1st⎭
总结了矩阵的运算性质,我们主要看看分块矩阵初等变换性质:
定义2.3.1[2]由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.
初等矩阵都是方阵,包括以下三种变换:
(1)互换矩阵E的i行与j行的位置;
(2)用数域P中的非零数c乘E的i行;
(3)把矩阵E的j行的k倍加到i行.
定义2.3.2[5]将单位矩阵分块,并施行如下三种变换中的一种变换而得到的方阵称为分块初等矩阵:
(1)对调两块同阶的块所在的行或列;
(2)某一块乘以同阶的满秩方阵;
(3)某一块乘以一个矩阵后加到另一行上(假定这种运算可以进行).
ç⎪
如:
我们对分块矩阵⎛AB⎫进行相应变换,只要应用矩阵的计算性质,左乘对
⎝CD⎭
应分块矩阵:
⎛OEm⎫⎛AB⎫
ç⎪ç⎪
⎛CD⎫
=
ç⎪
⎝EnO⎭⎝CD⎭⎝AB⎭
⎛PO⎫⎛AB⎫⎛PA=PB⎫
çOE⎪ç
CD
⎪ç⎪
⎝n⎭⎝⎭⎝CD⎭
⎛EmO⎫⎛AB⎫⎛=
AB⎫
çPE⎪ç
CD
⎪ç⎪
C+PAD+PB
⎝n⎭⎝⎭⎝⎭
2.4矩阵的分块技巧
对矩阵的分块不是唯一的,我们往往根据问题的不同进行不同的分块,分块的合适与否,都对问题的解决至关重要,最常见的有四种分块方法[6]:
(1)列向量分法,即A=(1,
1
⎛⎫
ç⎪
n),其中j为A的列向量.
(2)行向量分法,即A=ç⎪,其中j为A的行向量.
ç⎪
⎝m⎭
(3)分两块,即A=(A1,A2),其中A1,A2分别为A的各若干列作成.或
1
A=⎛B⎫,其中B,B分别为A的若干行作成.
çB⎪12
⎝2⎭
⎛C1C2⎫
(4)分四块,即A=çCC⎪.
⎝34⎭
我们在进行分块时,希望分割的矩阵块尽可能是我们所熟悉的简单矩阵,于是,我们有必要熟悉一些常见的矩阵.
2.5常见的矩阵块
我们把高等代数中学习过的一些常见矩阵总结如下:
(1)单位矩阵:
对角线元素都为1,其余元素为0的n阶方阵.
(2)对角矩阵:
对角线之外的元素都为0的n阶方阵.
(3)三角矩阵:
对角线以上(或以下)元素全为0的n阶方阵.
(4)对称矩阵:
满足矩阵A的转置和A相等.
(5)若尔丹(Jordan)块:
形如
⎛0
ç1
00⎫
0⎪
J(,t)
ç⎪
=ç⎪
ç⎪
ç00⎪
0001
⎝⎭
(6)若尔丹形矩阵:
由若干个若尔丹块组成的准对角矩阵,其一般形状形如:
⎛A1⎫
ç⎪
çA2⎪
ç⎪
ç⎪
çA⎪
⎝n⎭
在复杂矩阵中,找到这些矩阵块,会使计算简化.
3.1行列式计算的应用
3分块矩阵及其应用
定理3.1.1[2]拉普拉斯(Laplace)定理:
设在行列式D中任意取定了k个
行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.
事实上,行列式计算中的拉普拉斯定理就包括了矩阵分块的思想,它通过取k级子式的方法,提取出矩阵内的矩阵块.然而,在行列式计算中,行列式
按行或列的展开更为常用.这里,我们最常用到的是取列向量分块和行向量分块.
例3.1.1[7]:
(爪形行列式)计算行列式:
a0111
1a100
10a20,其中ai≠0(i=1,2,,n).
100an
解:
设Q=AD,其中A=(a)
CB
a1
B=
0
,C=(1,1,,1)T,D=(1,1,,1).
an
因为ai≠0(i=1,2,,n),所以B是可逆矩阵.
-1⎛n1⎫
又易知:
A-DBC=ça0-∑⎪.
⎝i=1i⎭
根据分块矩阵乘法:
⎛E0⎫⎛AD⎫
ç--1⎪ç⎪=
⎛AD⎫
⎪
ç-1
⎝CAE⎭⎝CB⎭⎝0B-CAD⎭
AD-1-1⎛n1⎫
则:
=
AB-CAD=
BA-DBC=aaaça
-∑a⎪
CB
⎛n1⎫
12
n0
⎝i=1i⎭
故:
原行列式=a1a2ança0-∑⎪.
⎝i=1i⎭
例3.1.2[7]:
(对角行列式)计算行列式:
ad
H2n
=ad.
cb
cb
解:
令
A=ç⎛a
⎫⎪,B=ç⎛b
⎫⎪,C=ç⎛
c⎫⎛
⎪ç
,D=
d⎫⎪
ç⎪ç⎪ç⎪ç⎪
ça⎪çb⎪çc⎪çd⎪
⎝⎭
为n阶方阵.由于a≠
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
0,故A为可逆方阵.
⎛çb-ca-1d⎫⎪
又易知:
B-CA-1D=ç
ç
⎝
b-ca-1d
⎪
b--1⎪
cad⎭
故H2n
=AD=CB
AB-CA-1D=an(b-ca-1d)n
=(ab-cd)n.
例3.1.3[8]:
设A、B、C、D都是n阶矩阵,证明当AC=CA时,A可
逆时,有AD=AB-CD
CB
⎛AD⎫⎛E-A1D-⎛A0
⎪⎫,
证明:
若A可逆,ç⎪ç⎪=ç-1
⎝CB⎭⎝OE⎭⎝CB-CAD⎭
AD
故:
=
CB
AB-CA-1D=AB-ACA-1D=AB-CD.
注意到,这里计算分块矩阵行列式和计算一般数字矩阵行列式有所区别,
不是简单的
ad
cb
=ab-cd,其矩阵块限制条件有所加强.所以本例告诉我们,
在矩阵分块以后,并非所有一般矩阵性质都可以应用到分块矩阵中.
3.2线性方程组的应用
对于线性方程组,我们有以下四种表述:
(1)标准型:
⎧a11x1
+a12x2
+
+ax=b
⎪1nn1
⎨ax
+
ax
++ax=b;
⎪a21x1+222
++
2nn
ax=b
⎩m11m22mnnm
(2)矩阵型:
令A=⎣aij⎦m⨯n,x=(x1,x2,,xn)',B=(b1,b2,bm)'
方程组可以表述为:
Ax=B;
(3)列向量型:
令
⎡a11⎤
⎢a21⎥
⎡a12⎤⎥
⎢a⎥
22
⎡a1n⎤
⎢⎥
=,
1⎢⎥2
=,,
⎢⎥
=⎢a2n⎥
n⎢⎥
⎢⎥
⎣am1⎦
⎢⎥
⎣am2⎦
⎢⎥
⎣amn⎦
则方程组又可以表述为:
x11+x22++xnn=B;
(4)行向量型:
x'+x'++x'=B'.
1122nn
可见,矩阵分块为我们解方程组提供了新的思路.事实上,在求齐次线性方程组系数矩阵的秩时,在判断非齐次线性方程组是否有解时,行列向量组的合理应用,使得问题解决更加便捷、明了.
例3.2.1:
(齐次线性方程组)求解方程组:
⎪
⎧x1+2x2
2x⎪+x
+2x3
-2x
+x4=0
-2x=0
⎨1x-2x-4x3-3x4=0
⎩1234
解:
对系数矩阵施行行变换,并将结果用分块矩阵表示:
ç
⎛10-2
5⎫
-3⎪
ç⎛1221⎪⎫⎛ç1221⎪⎫ç
4⎪
⎛EC⎫
A=21-2-2
0-3-6-4
012⎪=ç2⎪⎪
ç1-1-4-3⎪ç
0-3-6-4⎪
ç3
ç⎪
12⎭
⎝⎭⎝⎭ç0000⎪
ç⎪
⎝⎭
R(A)=2,基础解系含4-2=2个.
而方程又满足:
相应的可以取:
⎛E2C⎫⎛1⎫=⎛ç0⎫⎪,
ç⎪ç⎪
⎝O1O2⎭⎝2⎭⎝0⎭
⎛5⎫
ç23⎪
⎛-C⎫ç⎪
-
ç⎝E2⎭⎪
=ç-2
ç
4⎪
3⎪
ç10⎪
⎝01⎭
⎛2⎫
⎛5⎫
ç3⎪
有通解:
=k+k,其中
=ç-2⎪
1
,=ç-
⎪
4⎪.
1122
ç1⎪2ç⎪
ç⎪
⎝0⎭ç⎪
ç1⎪
⎝⎭
例3.2.2[9]:
(非齐次线性方程组)求解方程组:
⎧⎪x1+2x2-3x4+2x5=1
x-x-3x+x-3x=2
⎪⎨12345
2x-3x+4x-5x+2x=7
1
-9
x+
2
6x
-16
3
x
4
+2x
5
2
3
4
5
⎪
9x
⎩1
=25
解:
我们分别对于方程组的系数矩阵和增广矩阵求秩:
r(A)=3,而r(A)=4,故r(A)≠r(A).从而方程组无解.
⎛Λ45-b⎫
事实上,我们可以利用分块矩阵叙述:
经对分块矩阵ç⎝E
变换,都不能把最后一列变成0,所以该方程组无解.例3.2.3:
证明:
n阶方阵A的秩为n-1,则rank(A*)=1首先证明此例需要利用的一个引理:
4进行行列
0
引理:
A=(aij)n⨯n,B=(bij)n⨯n,r(A)=r,AB=0,则
r(B)≤n-r
证明:
对矩阵B进行列向量的分块,B=(B1,B2,Bn),AB=0
则有:
ABi=0,Bi是AX=0的解.而AX=0基础解系有n-r个解.
故:
r(B)≤n-r
再证明本例:
因为r(A)=n-1,则A=0,A至少有一个n-1级子式不为零,
rank(A*)≥1.
而:
A*=AE=0.
利用引理得:
rank(A*)≤1,故rank(A)=*.
得证.
3.3求矩阵逆的应用
我们在求矩阵逆的时候包括很多方法:
利用定义求逆、利用伴随矩阵求逆、
利用初等变换求逆、混合采用初等行列变换求逆等等.这里我们统一用矩阵分块的思路来求矩阵的逆.
例3.3.1[6]:
设A、B是n阶方阵,若A+B与A-B可逆,试证明:
⎛AB⎫可逆,并求其逆矩阵.
⎝
çBA⎭⎪
解:
令D=⎛AB⎫,由假设知A+B≠
0,A-B≠0
çBA⎪
.那么:
D=AB
⎝⎭
A+BB=
A+BB
=A+BA-B≠0.
⎪
BA
B+AA
0A-B
即D可逆.再令D-1
⎛D1
=ç
D2⎫,由D-1=E,即:
可得:
DD
⎝34⎭
ç12=
⎛AB⎫⎛DD⎫⎛E0⎫
⎪ç⎪ç⎪
⎝BA⎭⎝D3D4⎭⎝0E⎭
⎪⎧AD1+BD3=E
BD+AD=0
⎪12
⎨
⎪⎪
AD+BD=0
BD2+AD4=E
⎩24
将第一行和第二行相加、相减,得:
⎪D+D=(A+B)-1
⎨13
⎩D1-D3=(A-B)-1
解之得:
D=1⎡(A+B)-1
+(A-B)-1
D=1⎡(A+B)-1
-(A-B)-1
12⎣
⎦22⎣⎦
类似地:
D2所以:
=D3,D4=D1.
⎛AB⎫-11⎛(A+B)-1+(A-B)-1(A+B)-1-(A-B)-1⎫
ç⎪=2ç-1-1-1-1⎪.
⎝BA⎭⎝(A+B)-(A-B)(A+B)+(A-B)⎭
例3.3.2[6]:
已知分块形矩阵M=⎛AB⎫可逆,其中B为p⨯p块,C为
çC0⎪
⎝⎭
q⨯q块,求证:
B与C都可逆,并求M-1.
解:
由0≠
M=(-1)pqBC,则:
B≠
0,C≠0,即证B、C都可逆.
这里用分块矩阵的广义初等变换来求逆:
⎛ABEp0⎫→⎛çABE0⎫→⎛0ç
BE-AC-1⎫⎪
ç⎪-1⎪
-1
⎝C00Eq⎭⎝E00C⎭⎝E00E⎭
→⎛0EB-1-B-1AC-1⎫→⎛E00C-1⎫
⎝⎭⎝
çE00C-1⎪ç0EB-1-B-1AC-1⎪⎭
-1⎛0C-1⎫
故:
M=ç
B-1-B-1AC-1⎪.
⎝⎭
备注:
本例和上例属于同一个类型的问题,但我们利用分块矩阵,可以有两种不同的方法来解决,待定系数法和广义初等变换都是求逆的有效方法.值得注意的是,在题目没有直接给出分块矩阵的情况时,我们要学会自己构造:
⎛101⎫
-⎪32-5
例3.3.3[10]:
求矩阵A=çç210⎪的逆矩阵.
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