全国2卷文科数学试题及答案精析.docx
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全国2卷文科数学试题及答案精析
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷共5页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:
1•答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3•请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4•作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的•
1.已知集合A二{x|x1},B{x|x2},则AnB=
3
B.-
5
1D.
4.生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只兔子中随机取出3
只,则恰有2只测量过该指标的概率为
2
A.-
3
2
C.
5•在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:
我的成绩比乙高.
乙:
丙的成绩比我和甲的都高.
丙:
我的成绩比乙高.
序为
a内有无数条直线与a内有两条相交直线与
a,B平行于同一条直线a,B垂直于同一平面
>0)两个相邻的极值点,则
xi=—,X2=——是函数f(x)=sinx(
44
3
2
1
2
A•
1
B•
J
5
5
C.
亠
D•
2、5
3
5
X2V2
12•设
F为双曲线C:
221(a>0,b>0)的右焦
ab
[点,0为坐标原点,以
OF为直径的
圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点•若|PQ|=|OF|,贝yC的离心率为
10个车次的正
B.3
C.2
D•、5
二、填空题:
本题共4小题,每小题
5分,
共
20分。
2x
3y
6
0,
13•若变量
x,y满足约束条件x
y3
0,
则z=3x-y的取大值是
y
20,
14•我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有
点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站
高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为
15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,贝UB=
16•中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一•印信的形状多为长方体、正方体
是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体•半正多面体体现了数学的对称美•图2
是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方
体的棱长为1.则该半正多面体共有个面,其棱长为.(本题第
空2分,第二空3分•)
每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
如图,长方体ABCD-\iBiCiDi的底面ABCD是正方形,点E在棱AAi上,BE丄
(1)证明:
BE丄平面EB1C1;
18.
(12分)
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bnlog2an,求数列{bn}的前n项和.
19.(12分)
某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些
企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
y的分
组
[0.20,0)
[0,0.20)
[0.20,0.40)
[0.40,0.60)
[0.60,0.80)
企业数
2
24
53
14
7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间
的中点值为代表).(精确到0.01)
附:
748.602.
20.(12分)
X2y2一
已知F“F2是椭圆C:
一221(ab0)的两个焦点,P为C上一点,0为坐标原
ab
占
八、、♦
(1若△pof2为等边三角形,求C的离心率;
(2)如果存在点P,使得PF1PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
21.(12分)
已知函数f(x)(x1)lnxx1.证明:
(1)f(x)存在唯一的极值点;
(2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.
(二)选考题:
共10分•请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第
一题计分.
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
在极坐标系中,O为极点,点M(°,o)(o0)在曲线C:
4sin上,直线|过点
A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.
(1)当0二一时,求0及I的极坐标方程;
3
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.
23.[选修4-5:
不等式选讲](10分)
已知f(x)|xa|x|x2|(xa).
(1)当a1时,求不等式f(x)0的解集;
(2)若x(,1)时,f(x)0,求a的取值范围.
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学•参考答案
1.
C
2.D
3.
A
4.
B
5.A
6.D
7.
B
8.A
9.
D
10.
C
11.B
12.A
13.
9
14.0.98
15.
3n16.
26;
2
1
4
17.
解:
(1)
由已知得B
1C1丄
平面
ABB1A1,
BE
平面
ABB1A1,
故
B1C1
BE.
又
BE
EC1,所以
BE丄
平面
EB1C1.
AEBi45,
(2)由
(1)知/BEBi=90。
•由题设知Rt△ABEBRt△A1B1E,所以AEB
故ae=AB=3,AA12AE6.
作EFBB1,垂足为F,则EF丄平面BBQC,且EFAB3.
1
所以,四棱锥EBB1C1C的体积V丄36318.
3
18.解:
(1)设an的公比为q,由题设得
22
2q4q16,即q2q80.
解得q2(舍去)或q=4.
因此an的通项公式为an24n122n1.
(2)由
(1)得bn(2n1)log222n1,因此数列0的前n项和为
2
13L2n1n.
19.解:
(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%
产值负增长的企业比例为2%.
21s
100
=0.0296,
s.0.02960.02740.17,
F1PF290,
20.解:
(1)连结PF1,由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,
PF2c,PF1>/3c,于是2aPF1PF2(品1)c,故C的离心率是
1
16,
(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在.当且仅当1|y|2c
2
y
y
22
1Xy
1?
2.2ab
1,
即c|y|16,
①
x
cx
c
2x
2
y
2c,
②
2
x
a
2
y
b2
1,
③
由②③及
2a
.222
bc得y
b4
2?
c
2
又由①知y
162
2c
•,故b
4.
由②③得
2x
2
a
cb,
c
所以
22
cb,从而
2a
b2c2
2b232,故a
当b4,a42时,存在满足条件的点P.
42.
所以b4,a的取值范围为[4.2,).
x11
f(x)Inx1lnx
xx
1
因为yInx单调递增,y单调递减,所以f(x)单调递增,又f
(1)10,
x
1In41
f
(2)In20,故存在唯一xo(1,2),使得fxo0.
22
又当xXo时,f(x)0,f(x)单调递减;当xXo时,f(x)0,f(x)单调递增.
因此,f(x)存在唯一的极值点•
(2)由
(1)知fx0f
(1)2,又fe2e230,所以f(x)0在心
内存在唯一根x.
1
由X。
1得1xq.
1111f()1
又f1In10,故一是f(x)0在0,x0的唯一根.
综上,f(x)0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.
22.解:
(1)因为M0,0在C上,当0时,04sin2、.3.
33
由已知得|OP||OA|cos—2.
3
3|OP|2,
设Q(,)为I上除P的任意一点.在Rt△OPQ中,cos
经检验,点P(2,—)在曲线cos—2上.
33
所以,I的极坐标方程为cos2.
3
4cos
(2)设P(,),在Rt△OAP中,|OP||OA|cos4cos,即
因为P在线段OM上,且APOM,故的取值范围是一,一
42
所以,P点轨迹的极坐标方程为
4cos
23•解:
(1)当a=1时,f(x)=|x1|x+|x2|(x1).
当x1时,f(x)2(x1)20;当x1时,f(x)0.所以,不等式f(x)0的解集为(,1).
(2)因为f(a)=0,所以a1.
1)<0.
当a1,x(,1)时,f(x)=(ax)x+(2x)(xa)=2(ax)(x
所以,a的取值范围是[1,)•
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