高中数学中的中国传统文化.docx
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高中数学中的中国传统文化
数学中的中国传统文化
教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优
秀传统文化的考核内容,积极培育和践行社会主义核心价值观,充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用•比如,在数学中增加数学文化的内容•”因此,我们特别策划了此专题,将数学文化与数学知识相结合,选取典型样题深度解读,希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导.
—、算法问题
1.用更相减损术求294和84的最大公约数时,需要做减法的次数为()
A.2B.3
C.4D.5
答案C
解析(84,294)f(84,210)f(84,126)f(84,42)f(42,42),—共做了4次减法.
2•如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术
执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输岀的a为()
A.4B.2
C.0D.14
答案B
解析由题意输岀的a是18,14的最大公约数2,故选B.
3.用辗转相除法求459和357的最大公约数,需要做除法的次数是()
A.1B.2
C.3D.4
答案C
解析•/459-357=1…102,
357-02=3…51,
102-51=2,
•••459和357的最大公约数是51,需要做除法的次数是3.
4.
n次多
n
秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法,对于求一个
项式函数fn(x)=anxn+an-1+…+ay+a。
的具体函数值,运用常规方法计算岀结果最多需要次加法和nn;1次乘法,而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要
n次加法和n次乘法•对于计算机来说,做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多,所以此算法极大地缩短了CPU运算时间,因此即使在今天该算法仍具有重要意义•运用秦
九韶算法计算f(x)=0.5x6+4x5—x4+3x3—5x当x=3时的值时,最先计算的是()
A•—5X3=—15
B•0.5X3+4=5.5
3
C.3X3—5X3=66
D.0.5X36+4X35=1336.6
答案B
解析f(x)=0.5x6+4x5—x4+3x3—5x=(((((0.5x+4)x—1)x+3)x+0)x—5)x,
然后由内向外计算,最先计算的是0.5X3+4=5.5.
5•若用秦九韶算法求多项式f(x)=4x5—x2+2当x=3时的值,则需要做乘法运算和加减法运算
的次数分别为()
A•4,2B•5,3
C.5,2D•6,2
答案C
解析■/f(x)=((((4x)x)x—1)x)x+2,•••乘法要运算5次,加减法要运算2次.
6•已知函数f(x)=6x6+5,当x=X。
时,用秦九韶算法求f(x°)的值,需要进行乘方、乘法、加法
的次数分别为()
A•21,6,2B•7,1,2
C•0,1,2D•0,6,1
答案D
解析Tf(x)=6x6+5,
多项式的最高次项的次数是6,
•要进行乘法运算的次数是6.
要进行加法运算的次数是1,
运算过程中不需要乘方运算•
7•中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图•执行该程序框图,
若输入的a依次为2,2,5,x,n均为2,则输岀的s等于()
2ZIZ"
/输Axfi/
*I
IAI
/夠z/
I
肛如1
/输出£/
(结
A•7B•12
C.17D•34
答案C
解析第一次运算,a=2,s=2,n=2,k=1,不满足k>n;
第二次运算,a=2,s=2x2+2=6,k=2,不满足k>n;
第三次运算,a=5,s=6x2+5=17,k=3,满足k>n,
输出s=17,故选C.
8•用秦九韶算法求多项式f(x)=x3—3x2+2x-11的值时,应把f(x)变形为()
A•x3—(3x+2)x—11B•(x—3)x2+(2x—11)
C.(x—1)(x—2)x—11D•((x—3)x+2)x—11
答案D
解析f(x)=x3—3x2+2x—11=((x—3)x+2)x—11
9•用秦九韶算法求函数f(x)=3x5—2x4+2x3—4x2—7当x=2的值时,V3的结果是()
A•4B•10
C•16D•33
答案C
解析函数f(x)=3x5—2x4+2x3—4x2—7=((((3x—2)x+2)x—4)x)x—7,
当x=2时,V0=3,V1=3X2—2=4,V2=4X2+2=10,V3=10X2—4=16.
10•用秦九韶算法求多项式f(x)=x6—5x5+6x4+x2+0.3x+2的值,当x=—2时,v.的值为
()
A•1B•7
C•—7D•—5
答案C
解析•••f(x)=x6—5x5+6x4+X2+0.3x+2=(((((x—5)x+6)x+0)x+1)x+0.3)x+2,二Vo=a6=1,vi=Vox+a5=1x(—2)—5=—7.
11•利用秦九韶算法求多项式f(x)=—6x4+5x3+2x+6的值,当x=3时,V3的值为()
A•—486B•—351
C•—115D•—339
答案C
解析f(x)=—6x4+5x3+2x+6=(((—6x+5)x+0)x+2)x+6,
二Vo=a4=—6,
V1=vox+a3=—6x3+5=—13,
V2=V1X+a2=—13x3+0=—39,
V3=V2X+a1=—39x3+2=—115.
12•秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提
出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法•如图所示的程序框图给出了利用秦
九韶算法求某多项式值的一个实例•若输入n,x的值分别为4,3,则输岀v的值为()
A•20B•61
C.183D•548
答案C
解析由程序框图知,初始值:
n=4,x=3,v=1,i=3,第一次循环:
v=6,i=2;第二次循
环:
v=20,i=1;第三次循环:
v=61,i=0;第四次循环:
v=183,i=1.结束循环,输岀当
前v的值183.
13
•原始社会时期,人们通过在绳子上打结来计算数量,即“结绳计数”,当时有位父亲,为了准确记录孩子的成长天数,在粗细不同的绳子上打结,由细到粗,满七进一,那么孩子已经岀生多少天?
()
答案
32
化为十进制数为1x7+3X7+2X7+6=510.
•加法运算次数为
答案55解析Jf(x)=((((5x+4)x+3)x+2)x+1)x+1,
•••乘法要运算5次,加法要运算5次
答案6
解析f(x)=x4+3x3+x+1=(((x+3)x)x+1)x+1,
用秦九韶算法计算f(n时,乘法运算与加法运算的次数和等于6.
16•我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其
理论依据是:
设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为a和a(a,b,c,d€N*),则字是x
次用“调日法”后可得n的近似分数为答案22
17•我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:
“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不
可割,则与圆周合体而无所失矣•”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在
18
x.这可以通过方程〔2+x=x确定x
2,2\2…中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值
1
舍),
=
1~=1+一1+…
19•用辗转相除法求840与1764的最大公约数.
答案1764=840X2+84,840=84X10+0,
•••840与1764的最大公约数是84.
20•用更相减损术求440与556的最大公约数.
答案556-440=116,440—116=324,324—116=208,208—116=92,116—92=24,92—24=68,
68—24=44,44—24=20,24—20=4,20—4=16,
16—4=12,12—4=8,8—4=4,
•440与556的最大公约数4.
21•用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值.
答案f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x
V0=7,
v1=7X3+6=27,
V2=27X3+5=86,
V3=86X3+4=262,
V4=262X3+3=789,
v5=789X3+2=2369,
V6=2369X3+1=7108,
V7=7108X3+0=21324,
•f(3)=21324,
即当x=3时,函数值是21324.
22.
(1)用辗转相除法求840与1785的最大公约数;
⑵用秦九韶算法计算函数f(x)=2x4+3x3+5x—4在x=2时的函数值.
答案
(1)1785=840X2+105,840=105X8+0,
•••840与1785的最大公约数是105.
⑵秦九韶算法如下:
f(x)=2x4+3x3+5x—4=x(2x3+3x2+5)-4=x[x(2x2+3x)+5]—4=x{x[x(2x+3)]+5}—4,故当x=2时,f(x)=2X{2X[2X(2X^3)]+5}—4=62.
22.
(1)用辗转相除法求779与247的最大公约数;
⑵利用秦九韶算法求多项式f(x)=2x5+4x4—2x3+8x2+7x+4当x=3时的值.
答案
(1)779=247X3+38,
247=38X6+19,
38=19X2.
故779与247的最大公约数是19;
(2)把多项式改成如下形式:
5432
f(x)=2x5+4x4—2x3+8x2+7x+4=((((2x+4)x—2)x+8)x+7)x+4.
按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=3时的值:
V0=2,
V1=v°x+4=2X3+4=10,
V2=v1X—2=10X3—2=28,
V3=V2X+8=28X3+8=92,
V4=V3X+7=92X3+7=283,
V5=V4X+4=283X3+4=853.
所以当x=3时,多项式f(x)的值是853.
23.
(1)用辗转相除法求228与1995的最大公约数;
⑵用秦九韶算法求多项式f(x)=3x5+2x3—8x+5在x=2时的值.
答案
(1)1995=228X8+171,
228=171X1+57,
171=57X3,
因此57是1995与228的最大公约数.
53
(2)f(x)=3x+2x—8x+5=((((3x+0)x+2)x+0)x—8)x+5
当x=2时,
V0=3,
v1=3X2=6,
v2=6X2+2=14,
V3=14X2=28,
V4=28X2—8=48,
v5=48X2+5=101,
所以当x=2时,多项式的值是101.
24.
(1)用“更相减损术”求72和168的最大公约数;
⑵用“辗转相除法”求98和280的最大公约数.
答案
(1)•/168—72=96,96—72=24,72—24=48,
48—24=24,
⑵•/280=2X98+84,98=1X84+14,
84=6X14,
25.用秦九韶算法求函数f(x)=x5+X3+x2+x+1当x=3时的函数值.
答案f(x)=x5+x3+x2+x+1=((((x+0)x+1)x+1)x+1)x+1,当x=3时,
V0=1,
V1=v°X3+0=3;
V3=V2X3+1=31;
V4=V3X3+1=94;
283.
V5=V4X3+1=283,即x=3时的函数值为
二、数列问题
1•《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:
“今有五人分五钱,令上二人所得
与下三人等•问各得几何•”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所
得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列•问五人各得多少
钱?
”
(“钱”是古代的一种重量单位)•这个问题中,甲所得为()
A.5钱
4
B.l钱
C.2钱
D.|钱
答案
B
解析
依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a—2d,
a—d,
a,a+d,a+2d,
则由题意可知,a—2d+a—d=a+a+d+a+2d,即a=—6d,
又a—2d+a—d+a+a+d+a+2d=5a=5,--a=1,
a44
则a—2d=a—2x(—6)=3日=3.
2
人,宫赐金以
上三人,得金四斤,持岀;下四人后入得三斤,持岀;中间三人未到
•南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题:
“今有十等人,每等等次差(即等差)降之,
答案B
则数列{an}构成等差数列,设公差为d,则每一等人比下一等人多得d斤金,
•••每一等人比下一等人多得778斤金.
3•《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作,书中卷上第二十三问:
“今有
女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈•问日益几何?
”其意思为“有个女子织
布,每天比前一天多织相同量的布,第一天织五尺,一个月(按30天计)共织390尺•问:
每天
多织多少布?
”已知i匹=4丈,i丈=i0尺,估算岀每天多织的布约有()
B•0.53尺
D•0.5尺
A•0.55尺
C.0.52尺
答案A解析设每天多织d尺,由题意ai=5,{an}是等差数列,公差为d,
解得d~0.55.
4•《张丘建算经》有这样一个问题:
今有女子善织,日增等尺,七日织二十一尺,第二日,第五日,第八日所织之和为十五尺,问第九日所织尺数为
C.11
D.13
答案
解得a1=—3,d=2,
2
A3
答案C
计算可得a1=31,所以a3=31X22=穿
6•在《张邱建算经》中有一道题:
“今有女子不善织布,逐日所织的布比同数递减,初日织五
尺,末一日织一尺,计织三十日”,由此推断,该女子到第10日时,大约已经完成三十日织布
总量的()
A•33%B•49%
C.62%D•88%
答案B
解析由题意可得:
每日的织布量形成等差数列{an},
且a1=5,a30=1,
30X5+1
S30==90.
7•《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:
“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十织迄,问织几何•”其意思为:
有个女子不善于织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织五尺,最后一天织一尺,三十天织完,问三十
天共织布()
B•90尺
A•30尺
C.150尺
D.180尺
答案B
解析由题意可得,每日的织布量形成等差数列{an},
8•在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:
今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢•问:
几日相逢?
()
A•9日B•8日
C.16日D•12日
答案A
解析由题意知,良马每日行的距离成等差数列,记为{an},其中a1=103,d=13;
驽马每日行的距离成等差数列,
记为{bn},其中b1=97,d=—0.5;
设第m天相逢,则a1+&+•••+am+b1+b2+…+bm
mm—1X13
=103m+
+97m+
m(m—1X(—0.5)
解得m=9(负值舍去).
9•《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书收集了246个问题及其解法,其中一个问题
为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面
三节的容积之和为4升,求中间两节的容积各为多少?
"该问题中第
2节,第3节,第8节竹子
的容积之和为()
A.17升B.7升C晋升
6266
答案A
D.
109
33
解析自上而下依次设各节容积为ai,a2,…a9,
ai+a2+a3+a4=3由题意得
[a7+a8+a9=4
f2a2+a3=3,即
|3a8=4
,得
3417
所以a2+a3+a8=?
+3=&(升).
10•中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:
“三百七十八里关,初行健步不为难,
次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:
有一个
人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到
达目的地,请问第二天走了()
A.24
里B.48里C.96里
D.192里
答案
C
解析
由题意可知此人每天走的步数构成以
1
2为公比的等比数列,
由题意和等比数列的求和公式可得
16
ai[1—2]
=378,解得a1=
192,
•••第二天此人走了
192X1=96里.
2
11•中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:
“三百七十八里关,初步健步不为难,
次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:
“有一
个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后
到达目的地.”则该人最后一天走的路程为()
A.24里B.12里
C.6里D.3里
答案C
解析记每天走的路程里数为{an},可知{an}是公比q=2的等比数列,
1
叫1—歹)1
由S=378,得S6==378,解得ai=192,/•a6=192X戸=6.
1—_
12
12•我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:
“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?
”意思是:
“现有一根金箠,一头粗,一头细,在粗的一段截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤•问依次每一尺各重几斤?
”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为()
A•6斤B•9斤
C.10斤D•12斤
答案B
解析此问题构成一个等差数列{an},
a〔+a52+4
设首项为2,则a5=4,二中间3尺的重量为3a3=—X3二一厂X3=9(斤),故选B.
13•我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:
“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?
”意思是:
“现有一根金箠,长五尺,一头粗,一头
细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少
斤?
”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,问第二尺与第四尺的重量之和为
()
A•6斤B•9斤
C.9.5斤D•12斤
答案A
解析依题意,金箠由粗到细各尺构成一个等差数列,
设首项a1=4,则a5=2,由等差数列性质得a2+a4=a1+a5=6,
所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤.
14.《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书,书中有如下问题:
“远望巍巍塔七层,红灯
向下倍加增,共灯三百八十一,请问塔顶几盏灯?
”其意思为“一座塔共七层,从塔顶至塔
底,每层灯的数目都是上一层的2倍,已知这座塔共有381盏灯,请问塔顶有几盏灯?
”()
A•3B•4
C.5D•6
答案A
解析由题意设塔顶有a盏灯,由题意由上往下数第n层就有2n-1a盏灯,•••共有(1+2+4+8+16+32+64)a=381盏灯,
381.
1-2解得a=3.
15•我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:
“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?
”上述问题中,两鼠在第几天相逢.()
A•3B•4
C.5D•6
答案B
解析由题意可知,大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列,
1-2n
——=2n
1
—2
n1
二2-1+2—百=10,解得n€(3,4),取n=4.
2―
即两
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