概率论基本公式.docx
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概率论基本公式
概率论与数理统计基本公式
第一部分概率论基本公式
1、AB
ABA
AB;A
BA(BA)
例:
证明:
(AB)B
AAB
ABAB.
证明:
由(A
B)B,知B不发生,
A发生,则
AB不发生,从而
(AB)B
AAB成立,也即
AB成立,也即A
B成立。
得证。
2、对偶率:
AB
AB;AB
AB.
3、概率性率:
(1)
有限可加:
A1、A2为不相容事件,则
P(A1
A2)
P(A1)
P(A2)
(2)
P(AB)
P(A)
P(AB),特别,B
A时有:
P(AB)
P(A)
P(B);P(A)P(B)
(3)对任意两个事件有:
P(A
B)P(A)
P(B)
P(AB)
例:
已知:
P(A)
0.5,P(AB)
0.2,P(B)
0.4.求:
(1)P(AB);P(A
B);P(A
B);P(AB)
解:
ABAB
B,且B、AB是不相容事件,
P(AB)
P(AB)
P(B)
即P(AB)
0.2.,又
P(A)
0.5,
P(AB)
P(A)
P(AB)
0.3
P(AB)
P(A)
P(B)
P(AB)
0.7,P(AB)
PAB
1P(A
B)0.3.
4、古典概型
例:
n双鞋总共2n只,分为
n堆,每堆为
2只,事件
A每堆自成一双鞋的概率
2n
解:
分堆法:
C2
(2n)!
自成一双为:
n!
,则P(A)n!
C
2n
(2n-2)!
2!
2
5、条件概率
P(B|A)
P(AB)
P(A)
称为在事件
A条件下,事件
B的条件概率,
P(B)称为无条件概率。
乘法公式:
P(AB)
P(A)P(B
|A)
P(AB)
P(B)P(A
|B)
全概率公式:
P(B)
P(Ai)P(B|
i
Ai)
贝叶斯公式:
P(Ai
|B)
P(AiB)
P(B)
P(Ai)P(B|Ai)
P(Aj)P(B|Aj)
j
例:
有三个罐子,1号装有2红1黑共3个球,2号装有3红1黑4个球,3号装有2红2
黑4个球,某人随机从其中一罐,再从该罐中任取一个球,
(1)求取得红球的概率;
(2)如果取得是红球,那么是从第一个罐中取出的概率为多少?
解:
(1)设Bi
{球取自
i号罐},i
1,2,3。
A
{取得是红球
},由题知
B1、B2、B3是一个完备事件
由全概率公式
P(B)
P(Ai
i
)P(B|Ai
),依题意,有:
P(A|B1)
2;P(A|B)
2
3
3;P(A|B)1.
3
42
P(B1)
P(B2)
P(B3)
1,P(A)
3
0.639.
(2)由贝叶斯公式:
P(B1|A)
P(A|B1)P(B1)P(A)
0.348.
6、独立事件
(1)P(AB)=P(A)P(B),则称A、B独立。
(2)伯努利概型
如果随机试验只有两种可能结果:
事件A发生或事件A不发生,则称为伯努利试验,即:
P(A)=p,
P(A)1p
q(0
相同条件独立重复n次,称之为n重伯努利试验,简称伯努利概型。
伯努利定理:
b(k;n,p)
Ckpk(1
p)nk
(k=0,1,2)
n
事件A首次发生概率为:
p(1
p)k1
例:
设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,
(1)进行5次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率;
(2)进行了7次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率。
解:
(1)设B
5
5
“5次独立试验发出指示信
号”,则由题意有:
P(B)
Ckpk(1
i3
p)5
k,代入数据得:
P(B)
0.163
(2))设C
“7次独立试验发出指示信
号”,则由题意有:
P(C)
7
C
7
kpk(1
i3
p)7k
2
7
1Ckpk(1
i0
p)n
k,代入数据,得:
P(C)
0.353
第二章
7、常用离散型分布
(1)两点分布:
若一个随机变量X只有两个可能的取值,且其分布为:
P{X
x1}
p;P{X
x2}
1p(0
x1、x2处参数为p的两点分
布。
特别地,若X服从x1
1,x2
0处参数为p的两点分布,即:
X01
piqp
则称X服从参数为0—1分布。
其中期望E(X)=p,D(X)=p(1-p)
(2)二项分布:
若一个随机变量X的概率分布由
P{X
k}Ckpk(1-
p)nk
n
(k=0,1,2)给出,则称X服从参数为n,p的二项分布,记为:
X~b(n,p)(或B(n,p)
n
其中P{X
k0
k}1,当n=1时变为:
P{Xk}
pk(1
p)1k
(k=0,1),此时为0
—1分布。
其期望E(X)=np,方差D(X)=n(1-p)
(3)泊松分布:
若一个随机变量X概率分布为:
P{X
k
k}e,k!
0,k
0,1,2
则称X服从参数为的泊松分布,记为:
X~P(
)(或X~
(),其中
k
P{X
0
k}1,
称为泊松流强度。
泊松定理:
在n重伯努利试验中,事件A在每次试验中发生的概率为
Pn,如果n时,
C
n
n
nPn
(0的常数),则对任意给定的k,
n
有lim
n
b(k;n,p)
lim
kpk(1
n
k
pn)
k
e,这表明,当n很大时,p接近0或1
k!
C
n
时,有
kpk(1
n
k
pn)
k
e(np)。
k!
n
其期望方差相等,即:
E(X)=D(X)=。
8、常用连续型分布
f(x)
1/(b
a),axb
(1))均匀分布:
若连续随机变量X的概率密度为
(a,b)上服从均匀分布,记为X~U(a,b)。
其中-
f(x)dx
0,其他则称X在区间
1,分布函数为:
F(x)
0,x
(xa)/(b1,x
aa),a
b.
xb.
其期望E(X)=
ab
,方差D(X)=
2
(ba)2
。
12
ex,x0
(2))指数分布:
若随机变量的概率为
f(x)
,
0,其他
0,则称X服从参数
为的指数分布,简记为X~e().其分布函数:
F(x)
1ex,x0
,0
其期望E(X)=
11
方差D(X)=2.
0,其他,
(3)正态分布:
若随机变量X的概率密度为
f(x)
(x)2
1e22,x
2
,则称X
服从参数为μ和2的正态分布,记为X~N(μ,2),其中μ和(>0)都是常数。
分布函
数为:
F(x)
(t
1xe2
2
)2
2
dt,x
x2
.。
当
0,1时,称为标准正态分布,
t2
概率密度函数为:
(x)
1e2
2
分布函数为:
(x)
1xe2
2
dt.
定理:
设
X~N(,
2),则YX
~N(0,1)
其期望E(X)=μ,D(X)=2。
9、随机变量函数的分布
(1)离散型随机变量函数分布一般方法:
先根据自变量X的所有
可能取值确定因变量Y的所有可能值,然后通过Y的每一个可能的取值
yi(i=1,2,)来确
定Y的概率分布。
(2)连续型随机变量函数分布方法:
设已知X的分布函数
FX(x)或者概率密度
fX(x),则
随机变量Y=g(X)的分布函数
FY(y)
P{Y
y}P{g(X)y}
P{X
CY}
其中
Cy{x|g(x)
y},
FY(y)
P{X
CY}
fX(x)dx,进而可通过Y的分
Cy
布函数
FY(y),求出Y的密度函数。
1|x|,1x1
例:
设随机变量X的密度函数为
fX(x)
0,其他
,求随机变量
YX2
1的分布函数和密度函。
数
解:
设
FY(y)和fY(y)分别是随机变量
Y的分布函数和概率密度
函数,则由
1x1得:
1y2,那么当y
1时FY(y)
P{Y
y}P{X21y}
P()
0,当1y
2时,得:
Y(y)
P{Y
y}P{X21y}P{
y1xy1
y1
(1|x|)dx
0(1
x)dx
y1
(1x)dx
2y1
(y1),当y
2时,F
(y)
P{Y
y1
y}P{X21y}
y1
1
0dx
0
1
(1|x|)dx
0dx
1,所以,
FY(y)
Y
2y1
0,y
(y
-
1
1),1y2,
11
11,1y2
1,y2
fX(x)
FY(y)'
y1
0,其他
10、设随机变量X~N(
2)
Y=aX
b也服从正态分布.即
YaX
b~N(a
b,(a
)2)。
11、联合概率分布
(1)离散型联合分布:
Pij1
ij
XYy1yj
P{X=
xi}
x1xi
P{Y=
yj}
p11
Pi1
i
p1j
Pij
Pi1
i
Pij
P1j
j
Pij
j
1
(2)连续型随机变量函数的分布:
例:
设随机变量(X,Y)的密度函数
1(xy),0
f(x,y)8
0,其他
x2,0y2
求f(x),
f(y),E(X),E(Y),cov(
X,Y),XY,D(X+Y).
解:
①当0≤x≤2时由
fX(x)
x
[1/8(x
0
y)dy
,得:
fX(x)
2
1/8x
1/4x
,当x<0
或x>2时,由
fX(x)
0
0dy
0dy
2
0,所以,
f(x)
1/8x2
1/4x,0x2
X0,其他
同理可求得:
fY(y)
1/8y21/4y,0y2
0,其他;
②E(X)=
2
X
xf(x)dx
0
7/6,由对称性同理可求得,E(Y)=7/6。
2
③因为E(XY)=
0
2
xyf
0
(x,y)dxdy
22
1/8xy(x
00
y)dxdy
4/3.
所以,cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=4/3-(7/6)2=-1/36。
④D(X)
E(X2)
[E(X)]2
22x2
00
f(x,y)dxdy
(7)211
636
同理得D(Y)=
11
所以,XY=
36
cov(X,Y)1
D(X)D(Y)11
5
⑤D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=
9
12、条件分布:
若
F(x|A)
P{X
x|A}
P{X
P{
x,A}A}
称F(x|
A)为在A发生条件下,
X的条件分布函数
13、随机变量的独立性:
由条件分布设A={Y≤y},且P{Y≤y}>0,则:
F(x|Yy}
P{X
P{Y
x,Yy}y}
F(x,y)
,设随机变量(X,Y)的联合分布概率为F(x,y),
FY(y)
边缘分布概率为
FX(x)、FY(y),若对于任意x、y有:
P{X
x,Y
y}P{X
x}P{Y
y},即:
F(x,y)
FX(x)FY(y),则称X和Y独立。
14、连续型随机变量的条件密度函数:
设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,
y),
边缘概率密度函数为
fX(x)、fY(y),则对于一切使
fX(x)>0的x,定义在X=x的条件下Y
的条件密度函数为:
fY|X(y|x)
f(x,y)
,同理得到定义在Y=y条件下X的条件概率密
fX(x)
度函数为:
fX|Y(x|y)
f(x,y)
,若
fY(y)
f(x,y)=
fX(x)
fY(y)几乎处处成立,则称X,Y相互
独立。
例:
设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为:
ce(2x
y),x
0,y0
f(x,y)
0,其它
,求
(1)确定常数c;
(2)X,Y的边缘概率密
度函数;(3)联合分布函数F(x,y);(4)P{Y≤X};
(5)条件概率密度函数
fX|Y(x|
y);(6)P{X<2|Y<1}
解:
(1)由
00
f(x,y)dxdy
ce(2x
00
y)dxdyc
0
e2xdx
1c1,c2
2
(2)由c
2得到:
f(x,y)
2e(2x
y),x
0,y
0
,则:
当x
0时,f
(x)
2e(2x
y)dy
2e2x
fX(x)
2e,x
0
,当y
0,其它
0时,fY(y)
2x
2e(2x
y)dx
ey,
X
fY(y)
0
y
e,y0
.
0,其它00,其它
(3)当x
0,y
0时,F(x,y)
xy2e(2x
y)dxdy
x
(2e2x
2e(2x
y)dx
(1e
2x)(1
ey)
000
xy
(1e
2x)(1
ey),x
0,y0
当x0,y
0时,F(x,y)
0dxdy0,
00
F(x,y)
.
0,其它
(4)P{YX}
x2e(2x
00
y)dxdy
(2e2x
0
2e3xdx1;
,
2x
3
(5)当x
0,y
0时,fX|Y(x|y)
f(x,y)2e
fX|Y(x|y)
2e2x,x
0,y0.
(6)(6)
FY(y)
eydy
y
0
1ey
fY(y)
0,其它
P{X
2|Y1}
P{X2,Y1}F(2,1)
1e4.
P{Y1}FY
(1)
15、数学期望:
(1)离散型:
E(X)
xipi
i1
(2)连续型:
E(X)
xf(x)dx,因为并不是每一个函数都能积分,所以并非所有随机
变量都有数学期望。
数学期望的性质:
①E(CX)=CE(X)①E(X1
X2)
E(X1)
E(X2)
③设X,Y独立,
则E(XY)=E(X)E(Y).
例:
10个人随机进入15个房间,每个房间容纳的人数不限,设X表示有人的房间数,求
E(X)(设每个人进入房间是等可能的,且各人是否进入房间相互独立)
附:
二项分布b(n,p)和两点分布b(1,p)的另一个关系,仍设一个实验只有两个结果:
A和A,
且P(A)=p,现在将试验独立进行n次,记为n次试验中结果A出现的次数,则X
~b(n,
p),
若记Xi为第i次试验中结果
A出现的次数,即:
Xi
1,第i次试验A出现
0,第i次试验A不出现
其中:
XX1X2Xi
解:
引入随机变量xi
1,第i号房间有人;
i
1,2,3,
15.
易知XX1X2
0,第i号房间没人;
X15
由题意,任意房间没有
人的概率为
14,则10个人都不在第
15
i号房间的概率为:
(
14)10,
15
那么在第
i号房间有人的概率为
1(-
14)10,即:
15
P{xi
0}(14)10,P{x
i
15
1}1(-
14)10,i
15
1,2,3,
,15
E(xi)
1(-
14)10,i
15
1,2,3,
,15.
E(X)
E(X1X2
X15)
E(X1)
E(X)
E(X15)
15[1(-
14)10]
15
7.48
16、方差:
(1)
D(X)
E[X
E(X)]2
E(X2)
[E(X)]2
(2)方差性质:
①D(CX)=C2D(X);②若X.Y相互独立,则:
D(XY)
D(X)
D(Y)
17、协方差:
(1)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),特别,X,Y独立时,有:
cov(X,Y)=0.
(2)协方差性质:
①cov(X,X)=D(X);②cov(aX,bY)=abcov(X,Y);③cov(C,Y)=0;④
cov(
X1X2
Y)=
cov(X1,Y)
cov(X2,Y)
⑤随机变量和的方差与协方差的关系
D(XY)
D(X)
D(Y)
2cov(X,Y).
(3)相关系数
cov(X,Y)
XY,性质:
①
D(X)D(Y)
|XY|
1;②若X和Y相互独立,则XY=0,
即X和Y不相关。
③若D(X)>0,D(Y)>0,则当且仅当存在常数a,b(a0),使:
P{Y
aXb}
1时,|
XY|
1,而且a
0时,XY
1;当a
0时,XY1.
附注:
XY0时,只能说明Y与X之间不是线性关系,但
可能有其他函数关系,
从而不能推注Y与X独立。
④设e=E[Y-(aX
b)]2,称为用aX
b来近似Y的均方差,则:
设D(X)>0,D(Y)>0,有:
cov(X,Y)
a0
D(X)
b0
E(Y)
a0E(X),使均方误差达到最小。
2
18、切比雪夫不等式:
设随机变量X的期望E(X)=μ,方差D(X)=,则对于给定任意正数,
有:
P{|X
2
|}2
,或者为:
P{|X
2
|}12.
19、大数定理:
设随机变量X1,X2,Xn相互独立,且具有相同的期望和方差:
n
21
E(Xi)
D(Xi)
,i=1,2,3,记YnXi
,则对于任意>0,有:
n
lim
n
P{|Yn
|}1,推论lim
P{|nA
n
n
p|}
i1
1(其中n
A为n重伯努利中
20、中
A发生的次数,p为概率。
心极限定理;
(1)设随机变量X1,X2,Xn相互独立,服从同一分布,且
E(Xi)
D(Xi)
2
,i=1,2,3,则:
n
Xin
n
i1
limP{n
x}x1
2
et/2dt.一个结论:
n
Xi
i1~
/n
2
N(0,1)
(2)棣莫佛—拉普拉斯定理:
设随机变量X1,X2,Xn相互独立,并且都服从参数为p
的两点分布,则对任意实数x,有:
n
Xinp
i1
limP{x}
x1et2/2dt
(x)
nnp(1p)2
第二部分数理统计
21、由于样本方差(或样本标准差)很好的反应总体方差(或标准差)的信息,因此,当
2
方差未知时,常用
S2去估计,而总体标准差则常用样本标准差S去估计。
22、常用统计分布
(1)分位数:
设随机变量X的分布函数F(x),对给定的实数
(01),若实数F
满足P{XF}
则称F
为随机变量
X分布的
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