一元一次方程 概述.docx

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一元一次方程概述

一元一次方程概述

教学内容

本章主要内容包括：

一元一次方程及其相关概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析和解决实际问题。

分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示是始终贯穿这些内容的主线，而且始终渗透着“数学建模”和“化归”的思想方法。

通过丰富实例，从算式到方程建立一元一次方程，展开方程是刻划现实生活的有效数学模型；通过观察、归纳引出不等式的两条性质，为进一步讨论较复杂的一元一次方程的解法准备理论依据；从实际问题出发，运用等式的性质解方程，归纳“移项”、“合并”、“去括号”等法则，逐步展现求解方程的一般步骤；运用方程解决实际问题，通过探究活动，加强数学建模思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。

本教案对列方程解决实际问题的内容作了较集中的归类讨论。

教学目标

〔知识与技能〕

1、理解一元一次方程及有关概念和等式的基本性质；

2、熟练掌握一元一次方程的解法（数字系数）并学会运用一元一次方程解决简单的实际问题。

〔过程与方法〕

经历解一元一次方程和列一元一次方程解决实际问题的过程，明确解一元一次方程和列一元一次方程的基本步骤，初步树立数学建模思想和体会化归思想的运用。

〔情感、态度与价值观〕

在解决实际问题中，体会数学的应用价值，激发学习数学的欲望，提高分析问题和解决问题的能力。

重点难点

一元一次方程的解法和运用是重点，列一元一次方程解决实际问题是难点。

课时分配

3.1从算式到方程…………………………………………2课时

3.2解一元一次方程的讨论

（一）…………………………3课时

3.3解一元一次方程的讨论

（一）…………………………4课时

3.4实际问题与一元一次方程…………………………3课时

本章小结…………………………………………2课时

3．1．1一元一次方程

[教学目标]理解一元一次方程的概念，会识别一元一次方程；了解方程的解，会验证方程的解；知道怎样列方程解决实际问题，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义。

[重点难点]一元一次方程和方程的解的概念是重点；怎样列方程解决实际问题是难点。

〔教学方法〕指导探究，合作交流

〔教学资源〕小黑板

[教学过程]

一、问题导入

含有未知数的等式叫做方程。

方程把问题中的未知数与已知数的联系用等式的形式表示出来。

研究问题时，要分析数量关系，用字母表示未知数，列出方程，然后求出未知数。

怎样根据问题中的数量关系列出方程？

怎样解方程？

二、怎样列方程

问题汽车匀速行驶途径王家庄、青山、秀水三地的时间如表所示，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米。

王家庄到翠湖的路程有多远？

地名

时间

王家庄

10：

00

青山

13：

00

秀水

15：

00

1、汽车从王家庄行驶到青山用了多少时间？

从青山到秀水用了多少时间？

2、请你用算术方法解决这个问题。

3、如果设王家庄到翠湖的路程为x千米，那么王家庄距青山多少千米？

王家庄距秀水多少千米？

4、由于汽车是匀速行驶，可知各段路程的车速相等。

你能据此列出方程吗？

列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含未知数的等式——方程。

列方程的过程可以表示如下：

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。

三、一元一次方程的概念

例1根据下列问题，设未知数并列出方程：

（1）用一根长24㎝的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？

（2）一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时？

（3）某校女生占全体学生数的52％，比男生多80人，这个学校有多少学生？

解：

（1）设正方形的边长为x厘米，可列方程4x=24①

（2）设x月后这台计算机的使用时间达到规定的检修时间。

1700+150x=2450②

（3）设这个学校的学生人数为x人，那么女生人数是多少？

男生人数是多少？

女生人数为0.52x人，男生人数为（1-0.52）x人。

0.52x-（1-0.52）x=80③

观察方程①②③，它们有什么共同的特点？

只含有一个未知数；未知数的次数是1。

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。

思考：

下列式子中，哪些是一元一次方程？

①2x+3;②2×6=12;③1/2x-3=2;④1/x+3x=5;⑤y=0.

四、方程的解

列方程是解决实际问题的一种方法，利用方程可以解出未知数。

想一想：

（1）x等于多少时，方程①的左右两边相等？

（2）x=5能使②的左右两边相等吗？

能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

思考：

x=2是方程3x-1=2x+1的解吗？

为什么？

五、课堂练习

课本82面1、2、3题。

六、课堂小结

1、怎样列方程？

怎样解决实际问题？

解决实际问题就是把实际问题抽象成数学问题，通过解决数学问题来解决实际问题.

2、什么叫一元一次方程？

3、什么是方程的解？

你怎样知道某个未知数的值是方程的解？

作业：

课本84面1、2；85面5、6、10

（2）题。

七、板书设计:

一元一次方程

一、提出问题二、一元一次方程的概念三、方程的解四、例题

3.1.2等式的性质

〔教学目标〕1、了解等式的概念；2、利用天平的经验分析得出等式的性质；3、会利用等式的性质解方程。

〔重点难点〕等式的性质和运用是重点；利用天平经验抽象出等式的性质是难点。

〔教学方法〕指导探究，合作交流

〔教学资源〕多媒体设备

〔教学过程〕

一、问题导入

我们知道未知数的某个值是方程的解，但怎样才能知道方程的解是什么呢？

方程是含有未知数的等式，我们先来看看等式有什么性质。

二、等式及其性质

1、等式

用等号表示相等关系的式子叫等式。

如：

m+n=n+m,x+2x=3,3×3+1=5×2,3x+1=5y,等等。

注意：

等式中一定含有等号。

我们可以用a=b来表示一般的等式。

2、等式的性质

观察天平的变化，你能发现了什么？

在平衡天平的两边都加上（或减去）同样的量，天平还保持平衡。

如果把天平看成等式，球和正方体看成数或式，那么你能得到什么结论？

等式性质1等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。

用字母表示为：

如果a=b，那么a±c=b±c

观察天平的变化，你能发现了什么？

把平衡天平的两边都扩大（或缩小）相同的倍数，天平仍保持平衡。

同样地，如果把天平看成等式，球和正方体看成数，那么你能得到什么结论？

等式性质2等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

用字母表示为：

如果a=b，那么ac=bc；如果a=b，那么a／c=b／c（c≠０）。

注意：

①等式两边除以一个数时，这个数必须不为０；②对等式变形必须同时进行，且是同一个数或式。

思考：

回答下列问题：

（１）从a+b=b+c，能否能到a=c，为什么？

（2）从a-b=b-c，能否能到a=c，为什么？

（１）从ab=bc，能否能到a=c，为什么？

（１）从a/b=c/b，能否能到a=c，为什么？

（１）从xy=1，能否能到x=1/y，为什么？

三、例题

例1利用等式的性质解下列方程：

（1）x+7=26;　

（2）-5x=20;　　（3）-1/3x-5=4.

分析：

解方程的结果就是将方程转化为x=a的形式，为此，解方程就要将未知项移到一边，常数项移到另一边。

解：

（１）将常数项移到右边，得

　　　　x=26－7

化为x=a的形式，得　x=１９。

（２）化为x=a的形式，得

x=20／－５　于是x=－４。

（３）将常数项移到右边，得

-1/3x=4＋５即-1/3x=９

化为x=a的形式，得

x=９×（－３）于是x=－２７。

四、课堂练习

课本８４面练习（１）～（４）。

五、课堂小结

１、等式和等式的性质。

２、运用等式的性质解方程。

作业：

课本８５面３、４、７、８。

课外阅读８６面《“方程”史话》

六、板书设计:

等式的性质

一、等式及其性质二、例题三、练习

3．2．1解一元一次方程——合并同类项

[教学目标]1、会利用合并同类项解一元一次方程;2、通过对实例的分析，体会一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。

[重点难点]利用合并同类项解一元一次方程是重点；列一元一次方程解决实际问题是难点。

〔教学方法〕指导探究，合作交流

〔教学资源〕小黑板

[教学过程]

一、问题导入

约公元825年，中亚细亚数学家阿尔一花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程。

这本书的拉丁文译本取名为《时消与还原》。

“对消”与“还原”是什么意思？

我们先讨论下面的问题，然后再回答这个问题。

二、探索合并同类项解一元一次方程

问题某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的两倍，今年购买数量又是去年的2倍。

前年这个学校购买了多少台计算机？

设前年购买计算机x台。

那么去年购买计算机多少台？

今年购买计算机多少台？

去年购买计算机2x台，今年购买计算机4x台。

问题中的相等关系是什么？

前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140台

依题意，可得方程

x＋2x＋4x＝140

这个方程怎么解呢？

我们知道，解方程的最终结果是要化为x=a的形式，为此可以作怎样的变形？

把左边合并同类项。

可得

7x＝140

系数化为1，得　　x＝20

所以前年这个学校购买了20台计算机。

注意：

本题蕴含着一个基本的等量关系，即总量＝各部分量的和。

思考：

上面解方程中“合并同类项”起了什么作用？

它把含未知数的项合并为一项，从而向x=a的形式迈进了一步，起到了化简的作用。

三、例题

例1　解方程7x－2.5x＋3x－1.5x=－15×4－6×3

解：

合并同类项，得

6x=－78

系数化1，得　x=－13

注意：

如果方程中有同类项，一定要合并同类项。

四、课堂练习

课本89面

（1）～（4）；

补充题：

足球表面是由若干黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑白皮块的数目比为3：

5，一个足球的表面一共有32个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少？

五、课堂小结

1、合并同类项解一元一次方程。

通过合并同类项把方程化为ax=b（a≠0，a、b是常数）的形式。

从而简化方程。

2、列一元一次方程解实际问题。

（1）找等量关系是关键，也是难点；

（2）注意抓住基本等量关系：

总量＝各部分量的和。

作业：

93面1；3

（1）、

（2）；4；5。

第三章第一阶段复习3.1－3.2.

（1）

一、双基回顾

1、方程、方程的解和解方程

含有的叫做方程；

使方程相等的的值叫做方程的解。

的过程叫做解方程。

〔1〕x＝－3是不是方程2x=5x+9的解，你是怎么知道的.

2、一元一次方程

只含有未知数，并且未知项的次数的方程叫做一元一次方程。

〔2〕指出下列各式中哪些是一元一次方程？

并说明理由。

（1）2x-y=3;

（2）x=0;（3）x2-2x+1=0;（4）x+3=2x-1.

3、等式的性质

性质1等式两边同一个数（或），结果仍相等。

若a=b,则.

性质2等式两边同一个数，或的数，结果仍相等。

若a=b,则;

若a=b,则.

〔3用适当的数字或式子填空，使所得的结果仍是等式，并说明理由。

（1）如果3x+8=6，那么3x=6[];

（2）如果-5x=25，那么x=[];

（3）如果2x-3=5,那么2x=[];（4）如果x/4=-7,那么x=[]