新高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系学案.docx
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新高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系学案
新高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系学案
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 命题的概念
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
考点2 四种命题及其关系
考点3 充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q
p
p是q的必要不充分条件
p
q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p
q且q
p
[必会结论]
1.两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.
2.两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
3.若A={x|p(x)},B={x|q(x)},则
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;
(2)若A⊇B,则p是q的必要条件;
(3)若A=B,则p是q的充要条件;
(4)若AB,则p是q的充分不必要条件;
(5)若AB,则p是q的必要不充分条件;
(6)若AB且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.
[考点自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“x2+2x-8<0”是命题.( )
(2)四种形式的命题中,真命题的个数为0或2或4.( )
(3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”.( )
(4)“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的必要不充分条件.( )
(5)给定两个命题p,q.若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件.( )
答案
(1)×
(2)√ (3)× (4)× (5)√
2.[课本改编]“(2x-1)x=0”是“x=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若(2x-1)x=0,则x=或x=0,即不一定是x=0;若x=0,则一定能推出(2x-1)x=0.
故“(2x-1)x=0”是“x=0”的必要不充分条件.
3.[2018·安徽模拟]设p:
1 2x>1,则p是q成立的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 ∵(1,2)(0,+∞),∴p是q的充分不必要条件. 4.原命题p: “设a,b,c∈R,若a>b,则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( ) A.0B.1 C.2D.4 答案 C 解析 当c=0时,ac2=bc2,所以原命题是错误的;由于原命题与逆否命题的真假一致,所以逆否命题也是错误的;逆命题为“设a,b,c∈R,若ac2>bc2,则a>b”,它是真命题;由于否命题与逆命题的真假一致,所以逆命题与否命题都为真命题.综上所述,真命题有2个. 5.“a<0,b<0”的一个必要条件为( ) A.a+b<0B.a-b>0 C.>1D.<-1 答案 A 解析 若a<0,b<0,则一定有a+b<0.故选A. 6.[2018·烟台诊断]若条件p: |x|≤2,条件q: x≤a,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是( ) A.[2,+∞)B.(-∞,2] C.[-2,+∞)D.(-∞,-2] 答案 A 解析 p: |x|≤2等价于-2≤x≤2.因为p是q的充分不必要条件,所以有[-2,2](-∞,a],即a≥2. 板块二 典例探究·考向突破 考向 四种命题及其相互关系 例 1 [2018·唐山检测]给出下列四个命题: ①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题; ②“四边相等的四边形是正方形”的否命题; ③“若a>b,则a2>b2”的逆否命题; ④“若x≤-3,则x2-x-6>0”的否命题; 其中真命题是________.(写出所有真命题的序号) 答案 ①② 解析 ①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题;②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”,是真命题;③“若a2≤b2,则a≤b”,取a=0,b=-1,a2≤b2,但a>b,故是假命题;④“若x>-3,则x2-x-6≤0”,解不等式x2-x-6≤0可得-2≤x≤3,而x=4>-3不是不等式的解,故是假命题. 触类旁通 四种命题真假判断的方法 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键; (2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假; (3)判断一个命题为假命题可举反例. 【变式训练1】 [2017·郑州模拟]给出以下四个命题: ①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题; ④若ab是正整数,则a,b都是正整数. 其中真命题是________.(写出所有真命题的序号) 答案 ①③ 解析 ①命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然①为真命题;②不全等的三角形的面积也可能相等,故②为假命题;③原命题正确,所以它的逆否命题也正确,故③为真命题;④若ab是正整数,但a,b不一定都是正整数,例如a=-1,b=-3,故④为假命题. 考向 充分必要条件的判定 命题角度1 定义法判断充分、必要条件 例 2 [2016·四川高考]设p: 实数x,y满足x>1且y>1,q: 实数x,y满足x+y>2,则p是q的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若x>1且y>1,则有x+y>2成立,所以p⇒q;反之由x+y>2不能得到x>1且y>1.所以p是q的充分不必要条件. 命题角度2 等价转化法判断充分、必要条件 例 3 给定两个命题p,q.若綈p是q的必要而不充分条件,则p是綈q的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 因为綈p是q的必要不充分条件,则q⇒綈p但綈pq,其逆否命题为p⇒綈q但綈qp,所以p是綈q的充分不必要条件. 触类旁通 充分条件、必要条件的判定方法 (1)定义法: 根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题. (2)等价转化法: 根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题. 考向 充分必要条件的应用 例 4 [2018·辽宁模拟]已知命题p: |x-4|≤6,命题q: 1-m≤x≤1+m,m>0,若綈p是綈q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围. 解 p: x∈[-2,10],q: x∈[1-m,1+m],m>0. ∵綈p是綈q的必要而不充分条件,即p⇒q且qp. ∴[-2,10][1-m,1+m], 即解得m≥9, ∴实数m的取值范围是[9,+∞). 触类旁通 根据充要条件求参数的取值范围 解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系,然后列出有关参数的不等式(组)求解;涉及参数问题,直接解决较为困难时,可用等价转化思想,将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决,如将綈p,綈q之间的关系转化成p,q之间的关系来求解. 【变式训练2】 已知条件p: x2+2x-3>0;条件q: x>a,且綈q的一个充分不必要条件是綈p,则a的取值范围是( ) A.[1,+∞)B.(-∞,1] C.[-1,+∞)D.(-∞,-3] 答案 A 解析 由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,由綈q的一个充分不必要条件是綈p,可知綈p是綈q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.∴{x|x>a}{x|x<-3或x>1},∴a≥1. 核心规律 判断p是q的什么条件,需要从两方面分析: 一是由条件p能否推得条件q;二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题. 满分策略 1.当一个命题有大前提时,要写出其他三种命题,必须保留大前提,也就是大前提不动. 2.判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p,则q”的形式. 3.判断条件之间的关系,要注意条件之间的推出方向,正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言. 板块三 启智培优·破译高考 题型技法系列1——充分必要条件的探求技巧 [2018·广东六校联考]“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A.m>B.0 C.m>0D.m>1 解题视点 有关探求充要条件的选择题,破题关键是: 首先,判断是选项“推”题干,还是题干“推”选项;其次,利用以小推大的技巧,即可得结论. 解析 不等式x2-x+m>0在R上恒成立,则Δ=1-4m<0,∴m>.∴“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是m>0. 答案 C 答题启示 注意区分以下两种不同的说法,1A是B的充分不必要条件,是指A⇒B但BA; 2A的充分不必要条件是B,是指B⇒A但AB.,以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆,在解题中一定要注意问题的设问方式,弄清它们的区别,以免出现错误判断. 跟踪训练 下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( ) A.a>b+1B.a>b-1 C.a2>b2D.a3>b3 答案 A 解析 a>b+1⇒a>b; 反之,例如a=2,b=1满足a>b,但a=b+1,即a>b推不出a>b+1,故a>b+1是a>b成立的充分而不必要的条件.故选A. 板块四 模拟演练·提能增分 [A级 基础达标] 1.[2018·江西模拟]若集合A={2,4},B={1,m2},则“A∩B={4}”是“m=2”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 当m=2时,有A∩B={4};若A∩B={4},则m2=4,解得m=±2,不能推出m=2.故选B. 2.下列命题是真命题的为( ) A.若=,则x=yB.若x2=1,则x=1 C.若x=y,则=D.若x 答案 A 解析 取x=y=-1,排除B,C;取x=-2,y=-1,排除D.故选A. 3.[2018·天津模拟]设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 |x-2|<1⇔-1 4.下列结论错误的是( ) A.命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题为“若x≠4,则x2-3x-4≠0” B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分条件 C.命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题 D.命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0” 答案 C 解析 C项命题的逆命题为“若方程x2+x-m=0有实根,则m>0”.若方程有实根,则Δ=1+4m≥0,即m≥-,不能推出m>0,所以不是真命题. 5.[2018·长春模拟]设a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“a A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若“(a-b)a2<0”,则“a 6.[2018·安徽模拟]设条件p: a2+a≠0,条件q: a≠0,那么p是q的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 条件p: a2+a≠0,即a≠0且a≠-1.故条件p: a2+a≠0是条件q: a≠0的充分不必要条件.也可利用逆否命题的等价性解决. 7.设a,b∈R,若p: a <<0,则p是q的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 若p: -1<1,则pq;若q: <<0,则a 8.若“x2-2x-8>0”是“x 答案 -2 解析 不等式解集为(-∞,-2)∪(4,+∞),题目等价于(-∞,m)是(-∞,-2)∪(4,+∞)的真子集,故有m≤-2,即m的最大值为-2. 9.[2018·贵阳模拟]下列不等式: ①x<1;②0 其中可以作为“x2<1”的一个充分条件的所有序号为________. 答案 ②③④ 解析 由于x2<1即-1 10.已知不等式|x-m|<1成立的充分不必要条件是 答案 解析 由|x-m|<1得m-1 又因为|x-m|<1的充分不必要条件是 [B级 知能提升] 1.命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( ) A.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数 B.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数 C.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数 D.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数 答案 D 解析 “都是”的否定是“不都是”,选D项. 2.[2018·株洲模拟]设a,b∈R,那么“e)>e”是“a>b>0”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由e)>e,得>1,解得a>b>0或ae”是“a>b>0”的必要不充分条件. 3.[2018·湖北模拟]设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C,使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 因为B⊆∁UC,所以B∩C=∅.又因为A⊆C,所以A∩B=∅. 反之,若A∩B=∅,则存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC. 4.[2017·天津大港模拟]已知集合A=y=x2-x+1,x∈,B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围. 解 y=x2-x+1=2+, 因为x∈,所以≤y≤2, 所以A=. 由x+m2≥1,得x≥1-m2,所以B={x|x≥1-m2}. 因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A⊆B, 所以1-m2≤,解得m≥或m≤-, 故实数m的取值范围是∪. 5.[2018·保定模拟]已知p: x2≤5x-4,q: x2-(a+2)x+2a≤0. (1)若p是真命题,求对应x的取值范围; (2)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围. 解 (1)因为x2≤5x-4, 所以x2-5x+4≤0, 即(x-1)(x-4)≤0,所以1≤x≤4, 即对应x的取值范围为[1,4]. (2)设p对应的集合为A={x|1≤x≤4}. 由x2-(a+2)x+2a≤0, 得(x-2)(x-a)≤0. 当a=2时,不等式的解为x=2,对应的解集为B={2}; 当a>2时,不等式的解为2≤x≤a,对应的解集为B={x|2≤x≤a}; 当a<2时,不等式的解为a≤x≤2,对应的解集为B={x|a≤x≤2}. 若p是q的必要不充分条件,则BA, 当a=2时,满足条件; 当a>2时,因为A={x|1≤x≤4}, B={x|2≤x≤a}, 要使BA,则满足2 当a<2时,因为A={x|1≤x≤4},B={x|a≤x≤2},要使BA,则满足1≤a<2. 综上,a的取值范围为[1,4].
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- 新高 数学 一轮 复习 集合 常用 逻辑 用语 命题 及其 关系学