全国高考数学卷文科卷1及解析.docx
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全国高考数学卷文科卷1及解析
2015年全国高考数学卷文科卷1
一、选择题
1.已知集合A{xx3n2,nN},B{6,8,10,12,14},则集合AB中的
元素个数为()
(A)5(B)4(C)3(D)2
(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛
2.已知点A(0,1),B(3,2),向量AC(4,3),则向量BC()
7.已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若S84S4,则a10
()
()()()()A(7,4)(7,4)(1,4)(1,4)BCD
3.已知复数z满足(z1)i1i,则z()
(A)
17
2
(B)
19
2
(C)10(D)12
8.函数f(x)cos(x)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为
(A)2i(B)2i(C)2i(D)2i
4.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组
()
勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率
为()
(A)
3
10
(B)
1
5
(C)
1
10
(D)
1
20
5.已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为
1
2
,E的右焦点与抛物线
2
C:
y8x
的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则AB()
(A)
13
(k,k),kZ
44
(A)3(B)6(C)9(D)12
6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:
“今有
(B)
13
(2k,2k),kZ
44
委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:
积及为米几何?
”其意思为:
“在屋内
墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,
(C)
13
(k,k),kZ
44
米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各为多少?
”已知1斛米的体积约为
1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有()
(D)
13
(2k,2k),kZ
44
试卷第1页,总4页
9.执行右面的程序框图,如果输入的t0.01,则输出的n()
二、填空题
13.数列
a中a12,an12an,Sn为an的前n项和,若Sn126,则
n
n.
()()()()ABCD125610
10.已知函数
f(x)
7
5
4
3
4
1
4
(A)
(B)
(C)
(D)
4
11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何
x1x
22,1
log(x1),x1
2
,且f(a)3,则f(6)a()
3
1
14.已知函数
fxaxx1,f12,7的图像在点的处的切线过点,
则a.
15.若x,y满足约束条件
xy20
x2y10
2xy20
则z=3x+y的最大值为.
体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为1620,则
r()
16.已知F是双曲线
2
y
2
C:
x1的右焦点,P是C左支上一点,A0,66,
8
当APF周长最小时,该三角形的面积为.
三、解答题
17.(本小题满分12分)已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边,
2
sinB2sinAsinC.
(Ⅰ)若ab,求cosB;
(A)1(B)2(C)4(D)8
xa
12.设函数yf(x)的图像与y2的图像关于直线yx对称,且
(Ⅱ)若B90,且a2,求ABC的面积.
f
(2)f(4),1则a()
(A)1(B)1(C)2(D)4
试卷第2页,总4页
18.(本小题满分12分)如图四边形ABCD为菱形,G为AC与BD交点,
BE平面ABCD,
xyw
8
2
(xix)
8
8
2
(wiw)(xix)(yiy)
8
(wiw)(yii1i1i1i1
1.6356.36.8289.81.61469108.8
表中
w=
i
x,w=
i
8
1
8
i1
w
i
(Ⅰ)根据散点图判断,yabx与ycdx,哪一个适宜作为年销售量
y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(Ⅰ)证明:
平面AEC平面BED;
(III)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z0.2yx,根据(Ⅱ)的
(Ⅱ)若ABC120,AEEC,三棱锥EACD的体积为
棱锥的侧面积.
6
3
,求该三
(Ⅰ)当年宣传费x90时,年销售量及年利润的预报值时多少?
(Ⅱ)当年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
结果回答下列问题:
附:
对于一组数据
(u,v),(u2,v2),⋯⋯,(un,vn),其回归线vu的斜
11
19.(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了
率和截距的最小二乘估计分别为:
解年宣传费x(单位:
千元)对年销售量y(单位:
t)和年利润z(单位:
千元)
n
的影响,对近8年的宣传费x和年销售量yii1,2,,8数据作了初步处理,
i
得到下面的散点图及一些统计量的值.
=
i1
(uu)(vv)
ii
n
2
(uu)
i
i1
,=vu
试卷第3页,总4页
20.(本小题满分12分)已知过点A1,0且斜率为k的直线l与圆C:
23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
22
x2y31交于M,N两点.
22
在直角坐标系xOy中,直线
C1:
x2,圆
C2:
x1y21,以坐
标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求k的取值范围;
(Ⅰ)求
C1,C2的极坐标方程.
(Ⅱ)OMON12,其中O为坐标原点,求MN.
(Ⅱ)若直线
C的极坐标方程为
3
π
4
R
,设C2,C3的交点为M,N,求
CMN的面积.
2
21.(本小题满分12分)设函数
2xln
fxeax.
(Ⅰ)讨论fx的导函数fx的零点的个数;(Ⅱ)证明:
当a0时
fx2aaln
2
a
.
24.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图AB是直径,AC是切线,BC交与点E.
已知函数fxx12xa,a0.(Ⅰ)当a1时求不等式fx1
的解集;(Ⅱ)若fx图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
(Ⅰ)若D为AC中点,求证:
DE是切线;
(Ⅱ)若OA3CE,求ACB的大小.
试卷第4页,总4页
【解析】
参考答案
∴椭圆E的焦点在x轴上,设方程为
22
xy
221(0)
ab
ab
1.D
,c=2,
试题分析:
由条件知,当n=2时,3n+2=8,当n=4时,3n+2=14,故A∩B={8,14},
故选D.
考点:
集合运算
∵
e
c
a
1
2
,∴a4,∴
22212
bac,∴椭圆E方程为
22
xy
1612
1
,
2.A
将x2代入椭圆E的方程解得A(-2,3),B(-2,-3),∴|AB|=6,故选B.
【解析】考点:
抛物线性质;椭圆标准方程与性质
试题分析:
∵ABOBOA=(3,1),∴BCACAB=(-7,-4),故选A.
6.B
【解析】
考点:
向量运算
3.C
1
试题分析:
设圆锥底面半径为r,则
4
23r8,所以
16
r,所以米堆的
3
【解析】
试题分析:
∴(z1)i1i,∴z=
12i(12i)(i)
2
ii
2i
,故选C.
1116
320
9
2
体积为
3()5
=
433
考点:
圆锥的性质与圆锥的体积公式
,故堆放的米约为
320
9
÷1.62≈22,故选B.
考点:
复数运算7.B
4.C
【解析】
【解析】
试题分析:
从1,2,3,4,51,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法,
其中的勾股数只有3,4,5,故3个数构成一组勾股数的取法只有1种,故所求
11
试题分析:
∵公差d1,
1
解得
a=
1
,∴
2
S84S4,∴8a1874(4a143),
22
119
aa9d9,故选B.
101
22
概率为
1
10
,故选C.
考点:
等差数列通项公式及前n项和公式
8.D
考点:
古典概型【解析】
5.B
【解析】
2
试题分析:
∵抛物线
C:
y8xx2的焦点为(2,0),准线方程为,∴椭
圆E的右焦点为(2,0),
试题分析:
由五点作图知,
1
+
42
53
+
42
,解得=,=
4
,所以
答案第1页,总8页
f(x)cos(x),令2kx2k,kZ,解得
44
1
k<x
4
2
试题分析:
∵f(a)3,∴当a1时,
a1
f(a)223,则
a1
21
,
3
2k,kZ,故单调减区间为(
<
4
考点:
三角函数图像与性质
1
2k,
4
3
2k),kZ,故选D.
4
此等式显然不成立,
当a1时,
log(a1)3,解得a7,
2
9.C
【解析】
∴f(6a)f
(1)=
117
22
4
,故选A.
试题分析:
执行第1次,
考点:
分段函数求值;指数函数与对数函数图像与性质
t=0.01,S=1,n=0,m=
1
2
=0.5,S=S-m=0.5,
m
m=0.25,n=1,S=0.5>t=0.01,
2
11.B
【解析】
是,循环,试题分析:
由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱
执行第2次,S=S-m=0.25,
执行第3次,S=S-m=0.125,
m
m=0.125,n=2,S=0.25>t=0.01,是,循环,
2
m
m=0.0625,n=3,S=0.125>t=0.01,是,循环,
2
的半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为
1
2
22
4rr2rr2r2r=
22
5r4r=16+20,解得r=2,故选
B.
执行第4次,S=S-m=0.0625,
m
m=0.03125,n=4,S=0.0625>t=0.01,是,循
2
考点:
简单几何体的三视图;球的表面积公式;圆柱的测面积公式
12.C
环,【解析】
执行第5次,S=S-m=0.03125,
m
m=0.015625,n=5,S=0.03125>t=0.01,是,
2
试题分析:
设(x,y)是函数yf(x)的图像上任意一点,它关于直线yx对
循环,
执行第6次,S=S-m=0.015625,
是,循环,
m
m=0.0078125,n=6,S=0.015625>t=0.01,
2
xaya
称为(y,x),由已知知(y,x)在函数y2的图像上,∴x2,
解得
ylogx(,a)即f(x)log2(x)a,∴
2
执行第7次,S=S-m=0.0078125,
m
m=0.00390625,n=7,S=0.0078125>
2
f
(2)f(4)log2alog4a1,解得a2,故选C.
22
t=0.01,否,输出n=7,故选C.
考点:
函数对称;对数的定义与运算
考点:
程序框图
13.6
10.A
【解析】
【解析】
试题分析:
∵
a12,an12an,∴数列an是首项为2,公比为2的等比数
答案第2页,总8页
列,【解析】
∴
n
2(12)
n
S126,∴264
n
12
,∴n=6.
F,由双曲线定义知,
|PF|2a|PF|,
试题分析:
设双曲线的左焦点为
1
1
∴△APF的周长为
考点:
等比数列定义与前n项和公式
14.1
|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+
2a|PF|+|AF|=|PA|+|PF1|+|AF|+2a,
1
【解析】
由于2a|AF|是定值,要使△APF的周长最小,则|PA|+
|PF|最小,即P、A、
1
试题分析:
∵
2
f(x)3ax1,∴f
(1)3a1,即切线斜率k3a1,
f
(1)a2a2
12,7
又∵,∴切点为(,),∵切线过(),∴
解得a1.
考点:
利用导数的几何意义求函数的切线;常见函数的导数;
a
27
12
3a1,
F共线,
1
xy
∵A0,66,F1(-3,0),∴直线AF1的方程为1
366
,即
15.4
【解析】
y
x3代入
26
2
y
21
x整理得
8
266960
yy,解得y26或
试题分析:
作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线
l:
3xy0,平移
0
直线
l,当直线l:
z=3x+y过点A时,z取最大值,由
0
xy2=0
x2y1=0
解得A(1,1),
y86(舍),所以P点的纵坐标为26,
∴
SSS=
APFAFFPFF
11
11
666626
22
=126.
∴z=3x+y的最大值为4.
考点:
双曲线的定义;直线与双曲线的位置关系;最值问题
考点:
简单线性规划解法
16.126
17.(Ⅰ)
【解析】
1
4
(Ⅱ)1
答案第3页,总8页
试题分析:
(Ⅰ)先由正弦定理将
2
sinB2sinAsinC化为变得关系,结合
试题解析:
(Ⅰ)因为四边形ABCD为菱形,所以AC^BD,
因为BE^平面ABCD,所以AC^BE,故AC^平面BED.
条件ab,用其中一边把另外两边表示出来,再用余弦定理即可求出角B的又ACì平面AEC,所以平面AEC^平面BED
余弦值;(Ⅱ)由(Ⅰ)知
的面积.
22
b=ac,根据勾股定理和即可求出c,从而求出ABC
3
(Ⅱ)设AB=x,在菱形ABCD中,由DABC=120°,可得AG=GC=
2
x
x,GB=GD=
2
.
试题解析:
(Ⅰ)由题设及正弦定理可得
又a=b,可得b=2c,a=2c,
22
b=ac.
因为AE^EC,所以在RtDAEC中,可得EG=3
2
x.
由余弦定理可得
cosB
2221
a+c-b
==.
2ac4
由BE^平面ABCD,知DEBG为直角三角形,可得BE=
2
2
x.
22
(Ⅱ)由
(1)知
b=ac.
因为B=90°,由勾股定理得
222
a+c=b.
由已知得,三棱锥E-ACD的体积
故x=2
1166
3
VACGDBEx
-=醋?
=.
EACD
32243
故
222
a+c=ac,得c=a=2.
从而可得AE=EC=ED=6.
所以DABC的面积为1.
考点:
正弦定理;余弦定理;运算求解能力
所以DEAC的面积为3,DEAD的面积与DECD的面积均为5.
18.(Ⅰ)见解析(Ⅱ)3+25故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.
【解析】考点:
线面垂直的判定与性质;面面垂直的判定;三棱锥的体积与表面积的计
试题分析:
(Ⅰ)由四边形ABCD为菱形知AC^BD,由BE^平面ABCD知AC^BE,
算;逻辑推理能力;运算求解能力
由线面垂直判定定理知AC^平面BED,由面面垂直的判定定理知平面AEC
平面BED;(Ⅱ)设AB=x,通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x表示
19.(Ⅰ)ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型
出来,在RtDAEC中,用x表示EG,在RtDEBG中,用x表示EB,根据条件三
(Ⅱ)y100.668x(Ⅲ)46.24
棱锥EACD的体积为6
3
求出x,即可求出三棱锥EACD的侧面积.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数;(Ⅱ)
答案第4页,总8页
令wx,先求出建立y关于w的线性回归方程,即可y关于x的回归方程;
∴当x=
1.64
2
=6.8
,即x46.24时,z取得最大值.
(Ⅲ)(ⅰ)利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值,再根据年利
故宣传费用为46.24千元时,年利润的预报值最大.⋯⋯12分
率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值;(ⅱ)根据(Ⅱ)的
考点:
非线性拟合;线性回归方程求法;利用回归方程进行预报预测;应用意
结果知,年利润z的预报值,列出关于x的方程,利用二次函数求最值的方法
识
即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.
试题解析:
(Ⅰ)由散点图可以判断,ycdx适合作为年销售y关于年
20.(Ⅰ)
骣-+
4747
琪
琪
33
桫
(Ⅱ)2
宣传费用x的回归方程类
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