初三先修一元二次方程.docx
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初三先修一元二次方程
老师寄语:
什么人每天靠运气赚钱?
认识一元二次方程
一、学习目标:
1.一元二次方程的概念:
强调三个特征:
①它是______方程;②它只含______未知数;③方程中未知数的最高次数是__________.
一元二次方程的一般形式:
__________,在任何一个一元二次方程中,_______是必不可少的项.
2.几种不同的表示形式:
①ax2+bx+c=0(a≠0,b≠0,c≠0)
②___________(a≠0,b≠0,c=0)
③____________(a≠0,b=0,c≠0)
④___________(a≠0,b=0,c=0)
课堂小结:
1
一分钟记忆
1.一元二次方程属于“整式方程”,其次,它只含有一个未知数,并且都可以化为_______________________的形式.其中________是定义的一部分,不可漏掉,否则就不是一元二次方程了。
2.一元二次方程必须化为一般形式___________________________后,才能找它的项及系数。
三、反馈检测:
1、下列叙述正确的是()
A.形如ax2+bx+c=0的方程叫一元二次方程
B.方程4x2+3x=6不含有常数项
C.(2-x)2=0是一元二次方程
D.一元二次方程中,二次项系数一次项系数及常数项均不能为0
2、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
3、关于x的方程(k2-1)x2+2(k-1)x+2k+2=0,当k=______时,是一元二次方程.,当k=_______时,是一元一次方程.
4、当m=_________时,方程
是关于x的一元二次方程。
5、把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1)3x2=5x-1
(2)(x+2)(x-1)=6
(3)4-7x2=0
6、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。
(1)x2-y=1
(2)1/x2-3=2
(3)2x+x2=3(4)3x-1=0
(5)(5x+2)(3x-7)=15x2(k为常数)
(6)ax2+bx+c=0(7)
§2.1.2认识一元二次方程
一:
1、什么叫一元二次方程?
它的一般形式是什么?
2、指出下列方程的二次项系数,一次项系数及常数项。
(1)2x2―x+1=0
(2)―x2+1=0(3)x2―x=0(4)―
x2=0
(5)(8-2x)(5-2x)=18
P46花边问题中方程的一般形式:
________________________你能求出x吗?
(1)x可能小于0吗?
说说你的理由;______________________________
(2)x可能大于4吗?
可能大于2.5吗?
为什么?
1
______________________________________________________________
(3)完成下表
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2―13x+11
(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?
还有其他求解方法吗?
与同伴交流。
自主学习:
通过估算求近似解的方法:
先根据实际问题确定其解的大致范围,再通过具体的列表计算进行两边“夹逼”,逐步求得近似解。
例题1:
P31梯子问题
梯子底端滑动的距离x(m)满足(x+6)2+72=102
一般形式:
______________________
(1)你认为底端也滑动了1米吗?
为什么?
(2)底端滑动的距离可能是2m吗?
可能是3m吗?
(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
x的整数部分是几?
(4)填表计算:
x
1
1.5
2
x2+12x―15
进一步计算
x
x2+12x―15
十分位是几?
照此思路可以估算出x的百分位和千分位
三、1、一元二次方程
有两个解为1和-1,则有
_______,且有
________.
2、若关于x的方程
有一个根为-1,则m=_____________.
用配方法求解一元二次方程
一:
配方:
填上适当的数,使下列等式成立:
(1)x2+12x+_____=(x+6)2
(2)x2―4x+______=(x―____)2
(3)x2+8x+______=(x+_____)2
从上可知:
常数项配上______________________________.
自主学习:
1
1、用直接开平方法解下列方程:
(1)x2=9
(2)(x+2)2=16
(3)(x+1)2-144=0(4)
(2x+1)2=3
阅读书P53-54,
解方程:
x2+12x-15=0(配方法)
解:
移项,得:
________________
配方,得:
__________________.(两边同时加上__________的平方)
即:
_____________________
开平方,得:
_____________________
即:
______________________
所以:
_________________________
注意:
用配方法解一元二次方程的基本思路:
将方程转化为_____________的形式,它的一边是一个_________,另一边是一个常数。
当_________时,两边___________便可求出它的根;当_____________时,原方程无解.
三、反馈检测:
1.一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程,配方后的方程为()
A.(x-1)2=m2+1B.(x-1)2=m-1
C.(x-1)2=1-mD.(x-1)2=m+1
2.用配方法解方程:
3、1)若x2+4=0,则此方程解的情况是____________.
2)若2x2-7=0,则此方程的解的情况是__________.
3)若5x2=0,则方程解为_________
4、由上题总结方程ax2+c=0(a≠0)的解的情况是:
当ac>0时__________________;当ac=0时__________________;
当ac<0时__________________.
5、关于x的方程(x+m)2=n,下列说
法正确的是()
A.有两个解x=±
B.两个解x=±
-m
C.当n≥0时,有两个解x=±
D.当n≤0时,方程无实根
用配方法解一元二次方程的步骤:
(1)把一元二次方程化成________;
(2)两边同除以________________,使___________________化为1;
(3)移项,方程的一边为_____________________,另一边为________
(4)配方:
方程两边同时加上_________________,化为_________的形式;
(5)当_________时,两边开平方便可求出它的根;当__________时,原方程无解
3、用配方法解下列方程:
(1)x2+4x+3=0
(2)x2-4x+12=0
自主学习:
1
例题:
解方程:
3x2+8x―3=0
解:
两边都除以____,得:
移项,得:
配方,得:
(方程两边都加上________________的平方)开平方,得:
所以:
三、反馈检测:
1、用配方法解下列方程时,配方错误的是().
A.
,化为
B.
,化为
C.
,化为
D.
,化为
2、一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:
h=15t―5t2
小球何时能达到10m高?
用公式法求解一元二次方程
用配方法解方程:
(1)2x2+3=7x
(2)3x2+2x+1=0
用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)
自主学习
1、一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是x=
注意:
当b2-4ac<0时,一元二次方程无实数根。
2、公式法:
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
例:
解方程:
2x2+7x=4
(2)x2-
x+2=0(3)2x2-5x+4=0
用公式法解一元二次方程的步骤:
1)化成一般形式;
2)确定a,b,c的数值;
3)求出b2-4ac的数值,并判别其是否是非负数;
4)若b2-4ac≥0,用求根公式求出方程的根,
若b2-4ac<0,直接写出原方程无解,不要代入求根公式。
课堂小结
三、反馈检测:
一分钟记忆:
根的判别式:
______________
1)当b2-4ac____0时,一元二次方程有两个不相等的实数根;
2)当b2-4ac_____0时,一元二次方程有两个相等的实数根;
3)当b2-4ac______0时,一元二次方程无实数根。
1、下列一元二次方程中,有实根的方程是()
(1)x2-x+1=0
(2)x2-2x+3=0
(3)x2+x-1=0(4)x2+4=0
2、用公式法解方程:
(1)2x2+3=7x
(2)x2-7x=18
(3)3x2+2x+1=0(4)9x2+6x+1=0
(5)16x2+8x=3(6)2x2-9x+8=0
用公式法求解一元二次方程
1、求1)x2=n(n>0)的解,2)(x+m)2=n(n>0)的解
2、配方:
(1)x2―3x+_______=(x―____)2
(2)x2―5x+_______=(x―____)2
3、用配方法解一元二次方程的步骤是什么?
4、用配方法解下列一元二次方程:
(1)3x2―1=2x
(2)
自主学习:
例:
小明:
我的设计方案如图所示,其中花园四周小路的宽度相等。
如图所示:
(1)设花园四周小路的宽度均为xm,可列怎样的一元二次方程?
(2)求出一元二次方程的解?
(3)这两个解都合要求吗?
为什么?
2、小亮:
我的设计方案如图所示,其中花园每个角上的扇形都相同。
你能帮小亮求出图中的x吗?
(1)设花园四角的扇形半径均为xm,可列怎样的一元二次方程?
(2)估算一元二次方程的解是什么?
(∏取3)
(3)符合条件的解是多少?
3、你还有其他设计方案吗?
请设计出来与同伴交流。
课堂小结:
1、本节内容的设计方案不只一种,只要符合条件即可。
2、一元二次方程的解一般有两个,要根据实际情况舍去不合题意的解
用因
式分解法求解一元二次方程
1.5x2=4x2.x(x-2)=x-23.x2-4=0,(x+1)2-25=0
总结
(1)在一元二次方程的一边
为0,而另一边易于分解成两个一次因式时,就可用分解因式法来解。
(2)分解因式时
,用公式法提公式因式法。
一元二次方程的根与系数的关系
教学过程:
一、创设情境
1.请说出解一元二次方程的四种解法.
2.解下列方程,将得到的解填入下面的表格中,你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系?
(1)x2-2x=0;
(2)x2+3x-4=0;
(3)x2-5x+6=0.
方程
让学生先解出方程的正确答案,再观察两解的和、积与原方程中的系数的关系,并加以证明.
二、探究归纳
方程
x2-2x=0
0
2
2
0
x2+3x-4=0
1
-4
-3
-4
x2-5x+6=0
2
3
5
6
可以得到;两个解的和等于一次项系数的相反数,两个解的积等于
常数项.
一般地,对于关于x的方程x2+px+q=0(p,q为已知常数,p2-4q
一般地,对于关于x的方程x2+px+q=0(p,q为已知常数,p2-4q≥0),试用求根公式求出
它的两个解x1、x2,算一算x1+x2、x1•x2的值,你能得出什么结果?
与上面发现的现象是否一致.
(此探索过程让学生分组进行交流、协作完成)
探索过程
结论:
两根之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项,这与上面的发现是一致的.
三、实践应用
例1已知关于x的方程x2-px+q=0的两个根是0和-3,求p和 q的值.
解法一:
因为关于x的方程x2-px+q=0的两个根是0和-3,所以有
解法二:
由
,
方程x2-px+q=0的两个根是0和-3,
可得
例2写出下列方程的两根和与两根积:
课堂练习
1.写出下列方程的两根和与两根积:
2.已知关于x的方程x2-6x+p2-2p+5=0的一个根是2,求方程的另一个根和p的值.
3.已知关于x的方程x2-2x+m2+m-2=0的一个根是2,求方程的另一个根和m的值.
4.写出下列
方程的两根和与两根积:
5.已知关于x的方程2x2-mx-m2=0有一个根是1,求m的值.
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- 初三 一元 二次方程