试题君之K三关学年高二理数人教A版选修22第.docx
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试题君之K三关学年高二理数人教A版选修22第.docx
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试题君之K三关学年高二理数人教A版选修22第
1.3导数在研究函数中的应用
1.3.1函数的单调性与导数
1.函数的单调性与其导数的关系
在某个区间内,如果_______,那么函数在这个区间内单调递增;如果_______,那么函数在这个区间内单调递减.
注意:
在某个区间内,()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件,而不是必要条件.函数在内单调递增(减)的充要条件是()在内恒成立,且在的任意子区间内都不恒等于0.
2.函数图象与之间的关系
一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较______,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.
K知识参考答案:
1.
2.大
K—重点
利用导数判断函数的单调性
K—难点
利用导数判断函数的单调性
K—易错
(1)由函数的单调性确定参数的取值范围时,不要忽略的情况;
(2)求函数的单调区间时,一定要在定义域范围内求解
一、利用导数判断函数的单调性
1.利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性,实质上就是判断或证明不等式()在给定区间上恒成立.一般步骤为:
①求导数;②判断的符号;③给出单调性结论.
2.在利用导数求函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解题过程中,只能在定义域内讨论,定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时,除必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.
3.当求得的单调区间不止一个时,单调区间要用“,”或“和”字等隔开,不要用符号“∪”连接.
【例1】求下列函数的单调区间:
(1);
(2).
【解析】
(1)由题意得.
令,解得或.
当时,函数为增函数;当时,函数也为增函数.
令,解得.
当时,函数为减函数.
故函数的单调递增区间为和,单调递减区间为.
(2)函数的定义域为..
令,解得;令,解得.
故函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
【名师点睛】由于在某区间上,个别点使导数为零不影响函数的单调性,故单调区间也可以写为闭区间的形式.
【例2】已知函数,.
(1)若函数过点,求函数的图象在处的切线方程;
(2)判断函数的单调性.
【解析】
(1)因为函数过点,所以,解得,所以,所以,所以,即所求的切线的斜率为3.
又,所以切点为.故所求的切线方程为.
(2)因为,所以.
①当时,因为,所以,单调递增;
②当时,由,得,此时单调递减;由,得,此时单调递增.
综上,当时,函数在上单调递增;
当时,函数在上单调递减,在上单调递增.
【名师点睛】对于含有参数的函数的单调性,要注意分类讨论的标准及函数的定义域.
二、函数与导函数图象之间的关系
判断函数与导数图象间对应关系时,首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象,其次对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
【例3】设函数在定义域内可导,的图象如图所示,则导函数可能为
ABCD
【答案】D
【解析】本题主要考查导数图象的判定.根据题意,已知函数的图象,结合函数的单调性可知,在y轴左侧为增函数,导数恒大于等于零,排除A,C,然后在y轴右侧,函数先增后减再增,导数值先正后负再正,故可知排除B,满足题意的为D.
【名师点睛】常见的函数值变化快慢与导数的关系为:
对于①,函数值增加得越来越快,且越来越大;
对于②,函数值增加得越来越慢,且越来越小;
对于③,函数值减少得越来越快,且越来越小,绝对值越来越大;
对于④,函数值减少得越来越慢,且越来越大,绝对值越来越小.
三、导数在解决单调性问题中的应用
1.已知函数的单调性求参数的值或取值范围问题,是一类非常重要的题型,其基本解法是利用分离参数法,将或的参数分离,转化为求函数的最值问题.
2.利用导数解决函数的零点问题时,一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点,再利用导数判断在所给区间内的单调性,由此求解.
【例4】已知函数,.若函数在其定义域上为增函数,求的取值范围.
【解析】方法一:
函数的定义域为,
,∴.
∵函数在上单调递增,∴,即对都成立,
∴对都成立.
当时,,当且仅当,即时,取等号.
∴,即,∴的取值范围为.
方法二:
函数的定义域为,
,∴.
方程的根的判别式为.
①当,即时,,
此时,对都成立,
故函数在定义域上是增函数.
②当,即或时,要使函数在定义域上为增函数,
只需对都成立.
设,则,得.故.
综合①②得的取值范围为.
【名师点睛】函数在内单调递增(减)的充要条件是()在内恒成立,且在的任意子区间内都不恒等于0.求解时一定要注意.
【例5】(2016新课标高考Ⅰ)已知函数有两个零点.
(1)求a的取值范围;
(2)设x1,x2是的两个零点,证明:
.
【解析】
(1).
(i)设,则,只有一个零点.
(ii)设,则当时,;当时,.所以在单调递减,在单调递增.
又,,取满足且,
则,故存在两个零点.
(iii)设,由得或.
若,则,故当时,,因此在单调递增.又当时,所以不存在两个零点.
若,则,故当时,;当时,.因此在单调递减,在单调递增.又当时,,所以不存在两个零点.
综上,的取值范围为.
(2)不妨设,由
(1)知,,在单调递减,所以等价于,即.
由于,而,所以
.
设,则.
所以当时,,而,故当时,.
从而,故.
【名师点睛】此题综合了导数、零点等知识,这就要求同学们在学习时,要注意与前面的知识综合,做到知识的灵活运用.
四、求函数单调区间时忽略函数的定义域
【例6】函数的单调递增区间为.
【错解】由得,
令,得或,则或.
故函数的单调递增区间为,.
【错因分析】错解中忽略了函数的定义域为.
【正解】由得,且,
令,得,则.
故函数的单调递增区间为.
【名师点睛】讨论函数的单调性或求函数的单调区间时,一定要在函数的定义域范围内求解,即要遵循定义域优先的原则.
1.函数在内是
A.增函数B.减函数
C.先增后减D.先减后增
2.已知函数的图象如图所示,则函数的图象可能是
ABCD
3.定义域为的可导函数的导函数为,且满足,,则不等式的解集为
A.B.C.D.
4.若函数在区间上是减函数,则实数的取值范围是
A.B.C.D.
5.函数,的单调递减区间为.
6.已知定义在上的可导函数满足,若,则实数的取值范围是__________.
7.已知,证明:
.
8.已知函数,试讨论的单调性.
9.已知函数在上不单调,则的取值范围是
A.B.
C.D.
10.已知函数为定义在实数集上的奇函数,且当时,(其中是的导函数),若,,,则
A.B.
C.D.
11.已知函数是上的可导函数,当时,有,则函数的零点个数是______.
12.设函数,曲线过点,且在点处的切线方程为.
(1)求的值;
(2)证明:
当时,;
(3)若当时,恒成立,求实数的取值范围.
13.(2015·陕西)设,则
A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数
C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数
14.(2016·新课标全国Ⅰ)若函数在单调递增,则a的取值范围是
A.B.C.D.
15.(2016·北京理科)设函数,曲线在点处的切线方程为.
(1)求,的值;
(2)求的单调区间.
1.A【解析】因为恒成立,所以函数在内是增函数,故选A.
2.B【解析】由的图象及导数的几何意义可知,当时,;当时,;当时,,故B符合.
3.C【解析】构造函数,则,在上单调递减,又等价于,从而.
4.C【解析】由题意知,即在上恒成立,由二次函数的性质,知在上,,则.故选C.
5.(也可写为)【解析】由题意得,令且,则.
6.【解析】令,则,故函数在上单调递减,又由题设知,则,故,即.
7.【解析】令,则.
∵,∴,∴在上单调递增,∴.
从而,命题得证.
8.【解析】,.
当时,易知在上为减函数,在上为增函数;
当时,在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数;
当时,在上为增函数;
当时,在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数.
9.D【解析】由得.因为函数在上不单调,所以
在上存在零点,而,所以,解得.故选D.
10.A【解析】因为是奇函数,则,则不等式为,即.设,则是偶函数,又,所以是上的减函数,是上的增函数,,,又,所以,即.故选A.
11.1【解析】令,得.设,则,
∵时,有,∴时,有,即当时,,此时函数单调递增,;当时,,此时函数单调递减,,结合函数的图象,可知在区间上函数和的图象有一个交点,即的零点个数是.
12.【解析】
(1)由题意,可得,又,则,解得.
(2)由
(1)知,设,
,令,则,故,即在上单调递增,∴,∴在上单调递增,∴,从而.
(3)设,则,由
(2)可知,即,则.
①当,即时,,则在上单调递增,,即.
②当,即时,,令,则,令,得.
当时,,则在上单调递减,,即,不符合题意.
综上可得,.
13.B【解析】因为,所以是奇函数.又,所以单调递增,故既是奇函数又是增函数.
14.C【解析】对恒成立,故,即恒成立,即对恒成立,构造,开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值,故只需保证,解得.故选C.
15.【解析】
(1)因为,所以.
依题设,即解得.
(2)由
(1)知.
由及知,与同号.
令,则.
所以,当时,,在区间上单调递减;
当时,,在区间上单调递增.
故是在区间上的最小值,从而.
综上可知,,.故的单调递增区间为.
【名师点睛】用导数判断函数的单调性时,首先应确定函数的定义域,然后在函数的定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间.在对函数划分单调区间时,除必须确定使导数等于0的点外,还要注意定义区间内的间断点.
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