方法归纳构造三角形全等.docx
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方法归纳构造三角形全等
方法归纳构造三角形全等
方法一:
与角平分线有关的“截长补短”法
运用截长补短法构造三解形全等有两个标志:
一是有“角平分线”;二是出现“一条线段等于两条线段的和或者差”,截长或者补短都是在角平分线的角的两边进行的,目的是借助角平分线的性质构造全等三角形。
1、如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,试判断AB、AC、CD三者之间的数量关系,并说明关系理由。
(想一想,你会几种方法)
变式练习1
在五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°
求证:
DA平分∠CDE.
变式练习2如图,在△ABC中,∠A=60°BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD,CE交于点O,试判断BE,CD,BC的数量关系,并加以证明。
方法二与角平分线有关的作垂线的方法
【例2】如图,AD∥BC,DC⊥AD,AE平分∠BAD,E是DC的中点,问:
AD、BC和AB之间有何关系?
并说明理由.
变式练习3
方法三“中线倍长”法
涉及三角形中线问题时,常采用延长中线一倍的办法,它可以将分居中线两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中,以利于问题的获解。
【例3】求证:
三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
变式练习4已知△ABC中,AB=4cm,BC=6cm,BD是AC边上的中线,求BD的取值范围。
变式练习5已知:
如图,AD,AE分别是△ABC和△ABD的中线,且BA=BD,求证:
AE=
AC
1、已知:
如图,OA平分∠BAC,∠1=∠2,求证:
△ABC是等腰三角形。
2、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,过B点的一条直线BE平分∠ABC,交AC于E点,ED⊥AB.写出一个你认为适当的条件,并利用此条件说明D为AB的中点.
3、如图,已知点B,C,D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形,
BE交AC于F,AD交CE于H.
(1)求证:
△BCE≌△ACD;
(2)求证:
CF=CH
(3)判断△CFH的形状并说明理由。
方法归纳数学思想在等腰三角形中的运用
方法一:
分类思想
【方法总结】分类讨论思想是对数学对象进行分类寻找解题答案的一种思维方法,正确把握此思想必须遵循两条规则:
(每一次分类要按照统一标准进行,
(2)分类要做到不重不漏。
1、已知等腰△ABC上腰上的高与另一腰的夹角为50°,求△ABC的三个内角度数。
2、一个等腰三角形的一个外角等于110°,则这个三角形的三个角为多少度?
3、已知等腰△ABC中AD⊥BC于点D,且AD=
BC,则△ABC底角的度数多少度?
4、在△ABC中AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50°,求∠B的度数。
5、已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分,求这个三角形的三边长。
方法二:
方程思想
【方法总结】运用方程思想解决等腰三角形的问题时,等腰三角形的性质与内外角之间的选题关系是列代数的依据,三角形的内角和等于180°是列方程常用的等量关系。
1、如图,在△ABC中,AB=AC,BC=BD=ED=EA,求∠A的度数。
如图,△ABC中,AB=BC=AC=12cm,现有两点M、N分别从点A、点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时,M、N同时停止运动.
(1)点M、N运动几秒后,M、N两点重合?
(2)点M、N运动几秒后,可得到等边三角形△AMN?
(3)当点M、N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰三角形?
如存在,请求出此时M、N运动的时间.
(1)设t秒后重合.
由题意,可得需使M运动路程+AB=N运动路程.
∴2t=t+12
解得t=12.
∴点M、N运动12秒后,M、N两点重合(于C).
(2)成等边三角形时AM=AN=MN,即△AMN与△ABC相似.
设t秒后成等边三角形.
N经过A之前:
当△AMN∽△ACB时:
由AM/AC=AN/AB
得t/12=(12-2t)/12
解得t=4.
N经过A之后:
M、N在AC上时,∠MAN=0°,不满足△AMN与△ABC相似的条件.
M、N两点重合于C后,再运动直至停止,由于M、N距离总小于CB长,∠MAN总小于60°,不满足△AMN与△ABC相似的条件.
综上,点M、N运动4秒后,可得到等边三角形△AMN.
.
(3)存在.
设t秒后成等腰三角形.
由点M、N在BC边上运动,
则以MN为底边的等腰三角形只能为△AMN,不存在△BMN、△CMN.
∵以MN为底边
∴AM=AN.
由M比N运动的慢,可得存在时:
∵∠B=∠C,AB=AC,AM=AN
∴△ACM≌△ABN
∴CM=BN
由12s后M、N重合于C可得:
1*(t-12)=12-2*(t-12)
解得t=16.
∴当点M、N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的等腰三角形.此时M、N运动的时间为16秒.
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