《核按钮》高考数学一轮复习考点突破配套训练第九章 平面解析几何 Word版含答案.docx

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《核按钮》高考数学一轮复习考点突破配套训练第九章平面解析几何Word版含答案

第九章平面解析几何

考纲链接

1.平面解析几何初步

（1）直线与方程

①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．

②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．

③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．

④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系．

⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．

⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．

（2）圆与方程

①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．

②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．

③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．

④初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

2．圆锥曲线与方程

（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．

（2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）．

（3）了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．

（4）理解数形结合的思想．

（5）了解圆锥曲线的简单应用．

§9.1　直线与方程

1．平面直角坐标系中的基本公式

（1）数轴上A，B两点的距离：

数轴上点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则A，B两点间的距离|AB|＝____________．

（2）平面直角坐标系中的基本公式：

①两点间的距离公式：

在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的距离公式为

d（A，B）＝|AB|＝_______________________．

②线段的中点坐标公式：

若点P1，P2的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段P1P2的中点M的坐标为（x，y），则

2．直线的倾斜角与斜率

（1）直线的倾斜角：

当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴____________与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________．

（2）斜率：

一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，即k＝______（α≠______）．当直线平行于x轴或者与x轴重合时，k______0；当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．

（3）经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为k＝．

3．直线方程的几种形式

（1）截距：

直线l与x轴交点（a，0）的____________叫做直线l在x轴上的截距，直线l与y轴交点（0，b）的____________叫做直线l在y轴上的截距．

注：

截距____________距离（填“是”或“不是”）．

（2）直线方程的五种形式：

名称

方程

适用范围

点斜式

①

k存在

斜截式

②

k存在

两点式

③

④

截距式

⑤

a≠0且b≠0

一般式

⑥

平面直角坐标系内的所有直线

注：

斜截式是________的特例；截距式是________的特例．

（3）过点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线方程

①若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为____________；

②若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为____________；

③若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为____________；

④若x1≠x2，且y1＝y2＝0，直线即为x轴，方程为____________．

自查自纠：

1．

（1）|x2－x1|　

（2）①

②　

2．

（1）正向　平行　重合　0°≤α<180°

（2）正切值　tanα　90°　＝　>　<　90°　（3）

3．

（1）横坐标a　纵坐标b　不是

（2）①y－y0＝k（x－x0）　②y＝kx＋b

③＝　④x1≠x2且y1≠y2

⑤＋＝1　⑥Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）点斜式　两点式

（3）①x＝x1　②y＝y1　③x＝0　④y＝0

过点M（－1，m），N（m＋1，4）的直线的斜率等于1，则m的值为（　　）

A．1B.C．2D.

解：

由＝1，得m＝1.故选A.

直线3x－y＋1＝0的倾斜角是（　　）

A．30°B．60°C．120°D．135°

解：

直线方程可变形为y＝x＋，tanα＝，∵倾斜角α∈[0°，180°），∴α＝60°.故选B.

过点（5，2），且在y轴上的截距是在x轴上截距2倍的直线方程是（　　）

A．2x＋y－12＝0

B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0

C．x－2y－1＝0

D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0

解：

当直线过原点时所求方程为2x－5y＝0；当直线不过原点时，可设其截距式为＋＝1，由该直线过点（5，2）即可解得a＝6，对应方程为＋＝1，即2x＋y－12＝0.故选B.

已知直线l过点（0，2），且其倾斜角的余弦值为，则直线l的方程为____________．

解：

∵cosα＝，α∈[0，π），∴sinα＝，k＝tanα＝.∴直线l的方程为y－2＝x，即3x－4y＋8＝0.

故填3x－4y＋8＝0.

下列四个命题中真命题有______个．

①经过定点P（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k（x－x0）表示；

②经过任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）表示；

③不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示；

④经过定点（0，b）的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．

解：

①当k不存在时，直线方程为x＝x0，不正确；②正确；③当直线与坐标轴垂直时不能用该方程表示，不正确；④k可能不存在，不正确．故填1.

类型一　直线的倾斜角和斜率

（1）经过P（0，－1）作直线l，若直线l与连接A（1，－2），B（2，1）的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为____________，____________．

解：

如图所示，

为使l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0时，倾斜角α为钝角；k＝0时，α＝0；k>0时，α为锐角．

又kPA＝＝－1，

kPB＝＝1，∴－1≤k≤1.

又当0≤k≤1时，0≤α≤；

当－1≤k<0时，≤α<π.

故倾斜角α的取值范围为α∈∪.

故填[－1，1]；∪.

（2）如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，则直线l1的斜率k1＝________，直线l2的斜率k2＝________．

解：

由图可知，α2＝α1＋90°＝120°，则直线l1的斜率k1＝tanα1＝tan30°＝，直线l2的斜率k2＝tanα2＝tan120°＝－，故填；－.

点拨：

①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量．倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式k＝tanα联系．②在使用过两点的直线的斜率公式k＝时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为x＝x1.③在已知两点坐标，求倾斜角α的值或取值范围时，用tanα＝k＝转化，其中倾斜角α∈[0，π），此时依然要注意斜率不存在的情形，同时注意运用数形结合思想解题．

（1）直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是（　　）

A.B．（0，π）

C.D.∪

解：

直线xsinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα，

∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1，

当0≤k≤1时，倾斜角的范围是；

当－1≤k<0时，倾斜角的范围是.故选D.

（2）已知线段PQ两端点的坐标分别为P（－1，1）和Q（2，2），若直线l：

x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是____________．

解：

如图所示，直线l：

x＋my＋m＝0过定点A（0，－1），当m≠0时，kQA＝，kPA＝－2，kl＝－，

∴－≤－2或－≥，

解得0＜m≤或－≤m＜0；

当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点．

∴实数m的取值范围为.故填.

类型二　求直线方程

　根据所给条件求直线的方程．

（1）直线过点（－4，0），倾斜角的正弦值为；

（2）直线过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距相等；

（3）直线过点（5，10），且到原点的距离为5.

解：

（1）由题意知，直线的斜率存在，

设倾斜角为α，则sinα＝（α∈[0，π）），

从而cosα＝±，则k＝tanα＝±.

故所求直线的方程为y＝±（x＋4），即x±3y＋4＝0.

（2）若截距不为0，设直线的方程为＋＝1，

∵直线过点（－3，4），∴＋＝1，解得a＝1.

此时直线方程为x＋y－1＝0.

若截距为0，设直线方程为y＝kx，代入点（－3，4），

有4＝－3k，解得k＝－，此时直线方程为4x＋3y＝0.

综上，所求直线方程为x＋y－1＝0或4x＋3y＝0.

（3）由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x－5＝0.

当直线斜率存在时，设其方程为y－10＝k（x－5），

即kx－y＋（10－5k）＝0.

由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.

此时直线方程为3x－4y＋25＝0.

综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.

点拨：

本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程，难度虽不大，但每小题都有陷阱．

（1）给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范围；

（2）截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；（3）应用点斜式求直线方程时，注意点斜式的局限性，它不能表示平面内所有直线．

　求满足下列条件的所有直线方程：

（1）经过点P（4，1），且在两坐标轴上的截距相等；

（2）经过点A（－1，－3），倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．

解：

（1）根据题意，设直线l在x，y轴上的截距均为a，

若a＝0，即l过点（0，0）和（4，1），

∴l的方程为y＝x，即x－4y＝0.

若a≠0，则设l的方程为＋＝1，

∵l过点（4，1），∴＋＝1，

得a＝5.∴l的方程为x＋y－5＝0.

综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.

（2）由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.

∵tanα＝3，∴tan2α＝＝－.

又直线经过点（－1，－3），

因此所求直线方程为y＋3＝－（x＋1），

即3x＋4y＋15＝0.

类型三　直线方程的应用

（1）已知点A（4，－1），B（8，2）和直线l：

x－y－1＝0，动点P（x，y）在直线l上，则＋的最小值为__________．

解：

设点A1（x1，y1）与A（4，－1）关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点，∴＝，＝.∴＋＝＋≥＝＋＝＋.

当P点运动到P0点时，＋取到最小值.

∵点A，A1关于直线l对称，∴由对称的充要条件知，

解得即A1（0，3）．

∴（＋）min＝＝＝.故填.

点拨：

平面内，两点间连线中直线段最短，这一最基本的公理是解决此类问题的理论基础．求A关于l的对称点是关键一步，而点关于直线对称的充要条件又是求对称点的依据．

（2）直线l过点P（1，4），且分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点．

①当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程；

②若|PA|·|PB|最小，求l的方程．

解：

①依题意，l的斜率存在，且斜率为负，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－4＝k（x－1）（k<0）．

令y＝0，可得A；

令x＝0，可得B（0，4－k）．

|OA|＋|OB|＝＋（4－k）＝5－

＝5＋≥5＋4＝9.

∴当且仅当－k＝且k<0，

即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．

这时l的方程为2x＋y－6＝0.

②|PA|·|PB|＝·

＝4≥8（k<0），

当且仅当＝－k且k<0，

即k＝－1时，|PA|·|PB|取最小值．

这时l的方程为x＋y－5＝0.

点拨：

直线方程综合问题的两大类型及解法：

（1）与函数相结合的问题，解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x（或y）的函数，借助函数的性质解决；

（2）与方程、不等式相结合的问题，一般是利用方程、不等式的有关知识（如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等）来解决．

　已知直线l：

kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．

（1）证明：

直线l过定点；

（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程．

解：

（1）证明：

将直线l的方程变形得k（x＋2）＋（1－y）＝0，令解得

∴无论k取何值，直线l过定点（－2，1）．

（2）当直线l的倾斜角θ∈[0°，90°]时，直线l不经过第四象限，∴k≥0.

（3）由l的方程，得A，B（0，1＋2k）．

依题意得解得k>0.

∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|

＝·＝

≥×（2×2＋4）＝4，

当且仅当4k＝且k>0，即k＝时等号成立，

∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.

1．直线的倾斜角和斜率的关系，可借助k＝tanα的图象（如图）来解决．这里，α∈[0，π），k的范围是两个不连续的区间．这说明，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率，故在求直线方程时，若不能确定直线的斜率是否存在，则应对斜率存在或不存在进行分类讨论．

2．直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标，它不是距离，它可正、可负、可为0，在用截距式求直线方程时，不可忽视截距为0的情况．

3．在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积、周长等问题时，应用截距式方程比较简单．

4．对于直线方程来说，要注意的是，除“一般式”外，每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的，具体可参看本节“考点梳理”栏目．在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条件，在求解时要细心处理，否则容易产生增解或漏解的情形．如利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般式解题时，要注意防止忽视隐含条件A2＋B2≠0而出现增解．

1．若A－B＋C＝0，则直线Ax＋By＋C＝0必经过点（　　）

A．（0，1）B．（1，0）

C．（1，－1）D．（－1，－1）

解：

将点（1，－1）代入Ax＋By＋C＝0，得A－B＋C＝0，

∴直线Ax＋By＋C＝0必过点（1，－1）．故选C.

2．下列命题中，正确的是（　　）

A．直线的斜率为tanα，则直线的倾斜角是α

B．直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα

C．直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大

D．直线的倾斜角α∈∪时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增

解：

因为直线的斜率k＝tanθ，且θ∈[0，π）时，θ才是直线的倾斜角，所以A不对；因为任一直线的倾斜角α∈[0，π），而当α＝时，直线的斜率不存在，所以B不对；当α∈时，斜率大于0；当α∈时，斜率小于0，C不对．故选D.

3．已知直线的倾斜角为120°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为（　　）

A．y＝x＋2B．y＝－x＋2

C．y＝－x－2D．y＝x－2

解：

∵k＝tan120°＝－，且直线在y轴上的截距为－2，

∴由斜截式得y＝－x－2.故选C.

4．已知直线l：

ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（　　）

A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1

解：

显然a≠0，由题意得a＋2＝，解得a＝－2或1.故选D.

5．将直线l沿y轴的负方向平移a（a>0）个单位，再沿x轴正方向平移a＋1个单位得直线l′，此时直线l′与l重合，则直线l′的斜率为（　　）

A.B．－

C.D．－

解：

设直线l的倾斜角为θ，则根据题意，有tan（π－θ）＝－tanθ＝，∴k＝tanθ＝－.故选B.

6．（）已知点A（－1，0），B（cosα，sinα），且＝，则直线AB的方程为（　　）

A．y＝x＋或y＝－x－

B．y＝x＋或y＝－x－

C．y＝x＋1或y＝－x－1

D．y＝x＋或y＝－x－

解：

∵＝＝＝，

∴cosα＝，sinα＝±.

当点B的坐标为时，直线AB的方程为y＝x＋；当点B的坐标为时，直线AB的方程为y＝－x－.故选B.

7．直线l：

xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是____________．

解：

由题意得直线l的斜率k＝－＝tan30°＝，∴直线l的斜率为.故填.

8．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈∪，则k的取值范围是____________．

解：

∵k＝tanα，α∈∪，

∴－≤k<0或≤k≤1.故填[－，0）∪.

9．已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l的方程．

解：

设所求直线l的方程为＋＝1.

∵k＝，∴－＝，得a＝－6b.

又S＝|a|·|b|＝3，∴|ab|＝6.

联立得或

∴所求直线方程为：

＋＝1或＋＝1，

即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.

10．已知△ABC的三个顶点分别为A（－3，0），B（2，1），C（－2，3），求：

（1）BC边所在直线的方程；

（2）BC边上中线AD所在直线的方程；

（3）BC边的垂直平分线DE的方程．

解：

（1）∵直线BC经过B（2，1）和C（－2，3）两点，∴由两点式得BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0.

（2）易得BC边的中点D的坐标为（0，2），

∵BC边的中线AD过点A（－3，0），D（0，2）两点，∴由截距式得AD所在直线方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0.

（3）由

（1）知，直线BC的斜率k1＝－，

则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.

由

（2）知，点D的坐标为（0，2）．

由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2（x－0），

即2x－y＋2＝0.

11．已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．

解法一：

设直线l的方程为＋＝1（a>0，b>0），将点P（3，2）代入得＋＝1≥2，得ab≥24，从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.

解法二：

依题意知，直线l的斜率k存在且k<0，

可设直线l的方程为y－2＝k（x－3）（k<0），

则A，B（0，2－3k），

S△ABO＝（2－3k）

＝

≥

＝×（12＋12）＝12，当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立．

∴△ABO的面积的最小值为12，所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.

已知△ABC中，顶点A（4，5），点B在直线l：

2x－y＋2＝0上，点C在x轴上，求△ABC周长的最小值．

解：

设点A关于直线l：

2x－y＋2＝0的对称点为A1（x1，y1），点A关于x轴的对称点为A2（x2，y2），连接A1A2交l于点B，交x轴于点C，则此时△ABC的周长取最小值，且最小值为.

∵A1与A关于直线l：

2x－y＋2＝0对称，

∴

解得∴A1（0，7）．易求得A2（4，－5），

∴△ABC周长的最小值为＝＝4.

§9.2　两条直线的位置关系

1．两条直线的位置关系

（1）平行：

对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔____________，特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为____________．

（2）垂直：

如果两条直线l1，l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则有l1⊥l2⇔____________，特别地，若直线l1：

x＝a，直线l2：

y＝b，则l1与l2的关系为____________．

2．两条直线的交点坐标

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有惟一解，则两条直线__________，此解就是__________；若方程组无解，则两条直线____________，此时两条直线____________．

3．距离公式

（1）点到直线的距离：

点P0（x0，y0）到直线l：

Ax＋By＋C＝0的距离d＝．

（2）两条平行直线间的距离：

两条平行直线l1：

Ax＋By＋C1＝0与l2：

Ax＋By＋C2＝0（C1≠C2）间的距离

d＝____________________．

4．过两直线交点的直线系方程

若已知直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0与l2：

A2x＋B2y＋C2＝0相交，则方程A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（其中λ∈R，这条直线可以是l1，但不能是l2）表示过l1和l2交点的直线系方程．

自查自纠：

1．

（1）k1＝k2　l1∥l2　

（2）k1k2＝－1　l1⊥l2

2．相交　交点的坐标　无公共点　平行

3．

（1）　

（2）

直线l过点（－1，2）且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是（　　）

A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0

C．2x－3y＋5＝0D．2x－3y＋8＝0

解：

由题意知直线l的斜率是－，因此直线l的方程为y－2＝－（x＋1），即3x＋2y－1＝0.故选A.

（）已知直线l1：

x＋2y－1＝0与直线l2：

mx－y＝0平行，则实数m的值为（　　）

A．－B.C．2D．－2

解：

∵直线l1：

x＋2y－1＝0与直线l2：

mx－y＝0平行，∴＝≠0，解得m＝－.故选A.

（）已知直线l1：

x＋（a－2）y－2＝0，l2：

（a－2）x＋ay－1＝0，则“a＝－1”是“l1⊥l2”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解：

若a＝－1，则l1：

x－3y－2＝0，l2：

－3x－y－1＝0，显然两条直线垂直；若l1⊥l2，则（a－2）＋a（a－2）＝0，解得a＝－1或a＝2，因此，“a＝－1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选A.

（）直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是____________．

解：

设直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线为l2，则l2的斜率为－，且过直线x－2y＋1＝0与x＝1的交点（1，1），则l2的方程为y－1＝－（x－1），即x＋2y－3＝0.故填x＋2y－3＝0.

已知直线l1与l2：

x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为____________．

解：

设l1的方程为x＋y＋c＝