学年北师大版八年级下册第六章《平行四边形》常考综合题专练四.docx

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学年北师大版八年级下册第六章《平行四边形》常考综合题专练四

北师大版八年级下册

第六章《平行四边形》

常考综合题专练（四）

1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．

（1）用含t的代数式表示：

AP＝　　；DP＝　　；BQ＝　　；CQ＝　　．

（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？

（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？

2．【概念学习】

在平面中，我们把大于180°且小于360°的角称为优角．如果两个角相加等于360°，那么称这两个角互为组角，简称互组．

（1）若∠1、∠2互为组角，且∠1＝135°，则∠2＝　　°

【理解应用】

习惯上，我们把有一个内角大于180°的四边形俗称为镖形．

（2）如图①，在镖形ABCD中，优角∠BCD与钝角∠BCD

互为组角，试探索内角∠A、∠B、∠D与钝角∠BCD之间的数量关系，并说明理由．

【拓展延伸】

（3）如图②，已知四边形ABCD中，延长AD、BC交于点Q，延长AB、DC交于P，∠APD、∠AQB的平分线交于点M，∠A+∠QCP＝180°．

①写出图中一对互组的角　　（两个平角除外）；

②直接运用

（2）中的结论，试说明：

PM⊥QM．

3．

（1）如图1，直线DE经过点A，且DE∥BC，求证：

∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°；

（2）如图2，在已知四边形ABCD，求∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA的度数；

（3）如图3，AB⊥BC，点P为∠ABC内一点，点D为BC边上一点，连接PA、PD，且AQ、DQ分别平分∠PAB、∠PDC，判断∠P，∠Q的数量关系，并说明理由．

4．如图，四边形OABC中，点O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（16，0）、（16，6）、（8，6）．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，点P沿OA以每秒1个单位向终点A运动，点Q沿OC、CB以每秒2个单位向终点B运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒．

（1）请用t（t＞5）表示点Q的坐标为　　；

（2）是否存在某个时间t，使得P、Q两点和四边形OABC中的任意两个顶点为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

5．如图，△ABC中AB＝AC，E是边AB上一点，过点E作ED∥AC，EF∥BC，在FE延长线上取点G使得BE＝BG，∠C＝30°，BD＝2．

（1）求证：

四边形BDEG为平行四边形；

（2）求D，G两点间的距离．

6．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE＝DF．

（1）求证：

AE＝CF；

（2）连接AF、CE，判断四边形AECF的形状，并证明．

7．四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．

（1）如图①所示，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；

（2）如图②所示，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．

8．在活动课上我们曾经探究过三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，五边形内角和等于540°

，…，请同学们仔细读题，看图，解决下面的问题：

（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，则∠AOB+∠COD＝　　（直接写出结果）．

（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线．

①如图②，如果∠AOB＝110°，那么∠COD的度数为　　（直接写出结果）．

②如图③，若∠AOD＝∠BOC，AB与CD平行吗？

请写出理由．

9．如图，四边形DEBF是平行四边形，A、C在直线EF上且AE＝CF．

（1）求证：

四边形ABCD是平行四边形；

（2）在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图中所有与△DFC面积相等的三角形．

10．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，把△ADE沿DE折叠，使点A落在四边形BCED所在的平面上，点A的对应点为A'，已知∠B＝80°，∠C＝70°．

（1）求∠A的度数；

（2）在图①，图②，图③中，写出∠1，∠2的数量关系，并选择一种情况说明理由．

参考答案

1．解：

（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t

（2）根据题意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t．

∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．

∴t＝15﹣2t，解得t＝5．

∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；

（3）由AP＝tcm，CQ＝2tcm，

∵AD＝12cm，BC＝15cm，

∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，

如图1，∵AD∥BC，∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．

即：

12﹣t＝2t，

解得t＝4s，

∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．

2．解：

（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1＝135°，

∴∠2＝360°﹣∠1＝225°；

（2）钝角∠BCD＝∠A+∠B+∠D．理由如下：

如图①，∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+优角∠BCD+∠D＝360°，

又∵优角∠BCD+钝角∠BCD＝360°´，

∴钝角∠BCD＝∠A+∠B+∠D；

（3）①优角∠PCQ与钝角∠PCQ；

②∵∠APD、∠AQB的平分线交于点M，

∴∠AQM＝∠BQM，∠APM＝∠DPM．

令∠AQM＝∠BQM＝α，∠APM＝∠DPM＝β．

∵在镖形APMQ中，有∠A+α+β＝∠PMQ，

在镖形APCQ中，有∠A+2α+2β＝∠QCP，

∴∠QCP+∠A＝2∠PMQ，

∵∠A+∠QCP＝180°，

∴∠PMQ＝90°．

∴PM⊥QM．

故答案为225；优角∠PCQ与钝角∠PCQ．

3．

（1）证明：

如图1，∵DE∥BC，

∴∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，

又∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，

∴∠BAC+∠B+∠C＝180°；

（2）解，如图2，连接AC，

由

（1）知：

三角形的内角和为180°，

∴∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，∠D+∠CAD+∠ACD＝180°，

∴∠B+∠D+∠BAC+∠ACB+∠CAD+∠ACD＝360°，

即∠BAD+∠B+∠BCD+∠D＝360°；

（3）解：

2∠Q﹣∠P＝90°，理由是：

如图3，设∠QAB＝x，∠PDQ＝y，

∵QA、QD分别平分∠PAB、∠PDC，

∴∠PAB＝2x，∠PDC＝2y，

在四边形PABD中，由

（2）得：

∠P+∠PAB+∠B+∠PDB＝360°，

∵AB⊥BC，

∴∠B

＝90°，

∴∠P+2x+90°+180°﹣2y＝360°，

∴x﹣y＝45°﹣

∠P，

同理得：

∠Q+x+90°+180°﹣y＝360°，

∴x﹣y＝90°﹣∠Q，

∴45°﹣

∠P＝90°﹣∠Q，

∴2∠Q﹣∠P＝90°．

4．解：

（1）过C作CD⊥OA于D，如图所示：

∵A、B、C的坐标分别为（16，0）、（16，6）、（8，6），

∴OA＝16，OD＝8，CD＝6，BC＝AD＝OA﹣OD＝8，OA∥BC，

∴OC＝

＝10，

∴OC+BC＝18，

由题意得：

总时间t＝18÷2＝9（s），

当t＞5时，2t＞10，此时点Q在CB上，

则CQ＝2t﹣10，

∴Q（2t﹣2，6），

故答案为：

（2t﹣2，6）；

（2）分三种情况：

①P、Q与O、C为顶点的四边形为平行四边形时，则OP＝CQ，

∵OP＝t，CQ＝2t﹣10，

∴t＝2t﹣10，

解得t＝10，与t≤9矛盾（舍去），

②P、Q与A、B为顶点的四边形为平行四边形时，则PA＝QB，

∵PA＝16﹣t，QB＝18﹣2t，

∴16﹣t＝18﹣2t，

解得t＝2，此时Q在OC上，矛盾；

③P、Q与O、B为顶点的四边形为平行四边形时，则OP＝QB，

∵OP＝t，QB＝18﹣2t，

∴t＝18﹣2t，

解得t＝6，符合题意；

④P、Q与C、A为顶点的四边形为平行四边形时，则PA＝CQ，

∵PA＝16﹣t，CQ＝2t﹣10，

∴16﹣t＝2t﹣10，

解得

，符合题意；

综上所述，t的值为6或

．

5．

（1）证明：

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C，

∵EF∥BC，ED∥AC，

∴∠G+∠GBD＝180°，∠BEG＝∠ABC，∠EDB＝∠C，

∴∠BEG＝∠EDB＝∠ABC，

又∵BE＝BG，

∴∠G＝∠BEG，

∴∠G＝∠EDB，

∴∠EDB+∠GBD＝180°，

∴BG∥DE，

又∵EF∥BC，

∴四边形BDEG为平行四边形；

（2）解：

过E作EM⊥BC于M，过G作GH⊥BC于H，连接DG，如图所示：

由

（1）得：

∠EDB＝∠ABC＝∠C＝30°，

∴BE＝DE，

∵EM⊥BC，

∴BM＝DM＝

BD＝1，EM＝

BM＝

，BE＝2EM＝

，

∵BG＝BE，

∴BG＝

，

∵BG∥DE，

∴∠GBH＝∠EDB＝30°，

∵GH⊥BC，

∴GH＝

BG＝

，BH＝

GH＝1，

∴DH＝BD+BH＝3，

∴DG＝

＝

＝

，

即D，G两点间的距离为

．

6．证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥DC，

∴∠ABE＝∠CDF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS），

∴AE＝CF；

（2）四边形AECF是平行四边形，

理由如下：

∵△ABE≌△CDF，

∴∠AEB＝∠CFD，

∴∠AEF＝∠CFE，

∴AE∥CF，

又∵AE＝CF，

∴四边形AECF是平行四边形．

7．解：

（1）∵BE∥AD，

∴∠BEC＝∠D＝80°，

∠ABE＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°．

又∵BE平分∠ABC，

∴∠EBC＝∠ABE＝40°，

∴∠C＝180°﹣∠EBC﹣∠BEC＝180°﹣40°﹣80°＝60°．

（2））∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D＝360°，

∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D＝360°﹣140°﹣80°＝140°．

∵∠EBC＝

∠ABC，∠BCE＝

∠BCD，

∴∠E＝180﹣∠EBC﹣∠BCE＝180°﹣

（∠ABC+∠BCD）＝180°﹣

×140°＝110°．

8．解：

（1）∵∠AOB+∠COD+∠A+∠B+∠C+∠D＝180°×2＝360°，∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，

∴∠AOB+∠COD＝360°﹣180°＝180°．

故答案为180°；

（2）①∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，

∴∠OAB＝

DAB，

CBA，∠OCD＝

BCD，∠ODC＝

ADC，

∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝

×360°＝180°，

在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，

在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，

∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，

∴∠AOB+∠COD＝180°；

∵∠AOB＝110°，

∴∠COD＝180°﹣110°＝70°．

故答案为：

70°；

②AB∥CD，理由如下：

∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，

∴

，

CBA，

，

，

∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝

×360°＝180°，

在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，

在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，

∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，

∴∠AOB+∠COD＝180°；

∴∠ADO+∠BOD＝360°﹣（∠AOB+∠COD）＝360°﹣180°＝180°，

∵∠AOD＝∠BOC，

∴∠AOD＝∠BOC＝90°．

在∠AOD中，∠DAO＝∠ADO＝180°﹣∠AOD＝180°﹣90°＝90°，

∵

，

∴

＝90°，

∴∠DAB+∠ADC＝180°，

∴AB∥CD．

9．

（1）证明：

连接BD交AC于O，如图1所示：

∵四边形DEBF是平行四边形，

∴OE＝OF，OB＝OD，

∵AE＝CF，

∴OA＝OC，

∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）解：

图中所有与△DFC面积相等的三角形为△ADE、△BEA，△CBF，理由如下：

∵AE＝CF，

∴△ADE的面积＝△DFC的面积，△ABE的面积＝△CBF的面积，

由

（1）得：

四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CB，AD＝CB，

∴∠DAE＝∠BCF，

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（SAS），

∴△ADE的面积＝△CBF的面积，

∴△ADE的面积＝△DFC的面积＝△ABE的面积＝△CBF的面积．

10．解：

（1）∵∠B＝80°，∠C＝70°，

∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣（80°+70°）＝30°；

（2）如图①，∵把△ADE沿DE折叠，使点A落在四边形BCED所在的平面上，点A的对应点为A'，

∴∠A′＝∠A＝30°，

∴∠3＝180°﹣∠A′﹣∠2＝150°﹣∠2，

∵∠1+∠3+∠B+∠C＝360°，

∴∠1+150°﹣∠2+80°+70°＝360°，

∴∠1﹣∠2＝60°；

如图②，∵把△ADE沿DE折叠，使点A落在四边形BCED所在的平面上，点A的对应点为A'，

∴∠A′＝∠A＝30°，

∴∠AEA′+∠ADA′＝360°﹣∠A﹣∠A′＝300°，

∴∠1+∠2＝360°﹣∠AEA′﹣∠ADA′＝60°；

如图③，方法同①，∠2﹣∠1＝60°．