统计学课后答案第七八章.docx
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统计学课后答案第七八章
6.1调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为盎司,通过观察这台装瓶机对每个
瓶子的灌装量服从标准差1.0盎司的正态分布。
随机抽取由这台机器灌装的9个瓶子形
成一个样本,并测定每个瓶子的灌装量。
试确定样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概
率。
解:
总体方差知道的情况下,均值的抽样分布服从n,2n的正态分布,由正态分布,
标准化得到标准正态分布:
x
z=〜N0,1,因此,样本均值不超过总体均值的概率P
.n
为:
0迟=p_0-3—_0-3
.n1.9「n1x9
=P0.9z0.9=20.9-1,查标准正态分布表得0.9=0.8159
因此,Px0.3=0.6318
的偏差在0.3盎司之内的概率达到
6.2在练习题6.1中,我们希望样本均值与总体均值
0.95,应当抽取多大的样本?
解:
PX
0.3=P
x__=/vn/vn
0.3
0.3
1、n
0.3
1\n
=2(0.3'匸)10.95
(0.3匸)0.975
0.3、n1.96n42.68288n43
6.3乙,Z2,……,Z6表示从标准正态总体中随机抽取的容量,
n=6
的一个样本,试
确定常数b,使得
6
2
PZib0.95
i1
解:
由于卡方分布是由标准正态分布的平方和构成的:
设Z1,Z2,……,zn是来自总体N(0,1)的样本,则统计量
2222
Z1Z2LZn
服从自由度为n的x2分布,记为X〜X2(n)
因此,令2
Zi2,则2
1
6
Zi2:
26,那么由概率
i1
2
Zib0.95,可知:
1
b=10.95
,查概率表得:
b=12.59
6.4在习题
6.1
中,假定装瓶机对瓶子的灌装量服从方差
1的标准正态分布。
假定
我们计划随机抽取10个瓶子组成样本,观测每个瓶子的灌装量,
得到
10个观测值,用这
10个观测值我们可以求出样本方差S2(S2
(YiY)2),确定一个合适的范围使得有
较大的概率保证S2落入其中是有用的,试求
b1,b2.
使得
p(DS2b2)0.90
解:
更加样本方差的抽样分布知识可知,样本统计量:
(n谪251)
此处,n=10,
21,所以统计量
(n1)s2
2
(101)s2
1
9s2
2(n1)
根据卡方分布的可知:
Pb1S2b,P9b1
9S2
0.90
又因为:
因此:
P9b9S29b2P
9S2
0.90
则:
P9b19S29b2
P2.9599S2
2
0.05
19S2
0.90
9bl0.959,9b20.059bl
2
0.05
查概率表:
22
0.959=3.325,0.059=19.919,则
2
0.95
9
b2
2
0.959
2
0.059
bi
=0.369,b2
=1.88
7.1从一个标准差为5的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本容量为40的样本,样本均
值为25。
(1)样本均值的抽样标准差等于多少
0.79
(2)在95%的置信水平下,估计误差是多少?
Z/2x
Zo.025
1.960.791.5495
7.2某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额。
在为期3周的时间里选取49名顾客
组成了一个简单随机样本。
(1)假定总体标准差为15元,求样本均值的抽样标准误差。
15
-==2.143
49
⑵在95%的置信水平下,求边际误差。
x,由于是大样本抽样,
因此样本均值服从正态分布,
因此概率度t=z2
因此,xtx
Z2
xZ0.025
x=1.96X2.143=4.2
⑶如果样本均值为120
元,
求总体均值
的95%的置信区间。
置信区间为:
xx,xx=
120
4.2,120
4.2=(115.8,124.2)
x
7.4从总体中抽取一个
n=100的简单随机样本,得到x=81,s=12。
要求:
大样本,样本均值服从正态分布:
x:
N
2
一或x:
N
置信区间为:
ss=12
、、n'_n、100
(1)X25
3.5n60195%
(1)构建的90%的置信区间。
z,'2=Z0.05=1.645,置信区间为:
81
1.6451.2,81
1.6451.2
=(79.03,82.97)
(2)构建的95%的置信区间。
z2=Z0.025=1.96,置信区间为:
81
1.961.2,81
1.961.2=
(78.65,83.35)
(3)构建的99%的置信区间。
z;2=z0.005=2.576,置信区间为:
81
2.5761.2,81
2.5761.2
=(77.91,84.09)
7.5利用下面信息,构造总体均值的置信区间。
25
250.8856
3.5
Z0.025
V60
(1)总体服从正态分布,且已知X8900
500n15195%
xz/2—8900
500
Z0.025-
V15
8900253.03
(2)总体不服从正态分布,且已知X8900
500n35195%
xz/2—8900
500
Z0.025-
V35
8900165.6472
(2)
X
119.6
s23.89
n75
1
98%
Xz
s
n119・6
23.89
-7
119.6
6.4174
/2
0.01
J75
(3)
X
3.419
s0.974
n32
1
90%
Xz
sn3・419
0.974
3.419
0.2832
/2
0.05
732
7.6禾U用下面的信息,构建总体均值的置信区间。
(3)总体不服从正态分布,c未知,
X8900s500n351
90%
Z/2.n
8900
500
%.05
V35
8900139.0155
(4)总体服从正态分布,c未知,X8900
500n35199%
Z/2./n
8900
500
20.005—
35
8900217.6973
7.7某大学为了解学生每天上网的时间,在全校7500名学生中采取重复抽样方法随机抽
取36人,调查他们每天上网的时间,得到下面的数据(单位:
小时):
3.3
3.1
6.2
5.8
2.3
4.1
5.4
4.5
3.2
4.4
2.0
5.4
2.6
6.4
1.8
3.5
5.7
2.3
2.1
1.9
1.2
5.1
4.3
4.2
3.6
0.8
1.5
4.7
1.4
1.2
2.9
3.5
2.4
0.5
3.6
2.5
求该校大学生平均上网时间的置信区间,置信水平分别为90%,95%和99%。
解:
(1)样本均值X=3.32,样本标准差s=1.61;
(2)抽样平均误差:
重复抽样:
s
x=~=-==1.61/6=0.268
JnUn
不重复抽样:
NnsNn1.61750036
X一n:
N1、A'N1一,36:
75001
=0.268x■.0.995=0.268X0.998=0.267
(3)置信水平下的概率度:
1=0.9,t=z.-2=Z0.05=1.645
1=0.95,t=z=z°025=1.96
1=0.99,t=z;2=Zo.005=2.576(4)边际误差(极限误差)
z0.05x
重复抽样:
x=z0.05
天=1.645X0.268=0.441
不重复抽样:
x=z0.05
x=1.645X0.267=0.439
=0.95,
z2x=Z0.025x
重复抽样:
x=Z0025x=1.96X0.268=0.525
不重复抽样:
x=z0.025x=1.96X0.267=0.523
=0.99,
z2x=z0.005x
=0.9,
重复抽样:
不重复抽样:
x=Z0005x=2.576X0.268=0.69
x=z0.005*=2.576X0.267=0.688
(5)置信区间:
Xx,X
1=0.9,
重复抽样:
x
xx-=
xx
3.320.441,3.320.441=
(2.88,3.76)
不重复抽样:
x
x,xx
=3.320.439,3.320.439
=(2.88,3.76)
1=0.95,
重复抽样:
x
x,x-x=
3.320.525,3.320.525=
(2.79,3.85)
不重复抽样:
x
x,xx
=3.320.441,3.320.441
=(2.80,3.84)
1=0.99,
重复抽样:
x
x,Xx=
3.320.69,3.320.69=(2.63,4.01)
不重复抽样:
x
x,xx
3.320.688,3.320.688=(2.63,4.01)
7.8
15,
从一个正态分布总体中随机抽取样本容量为8的样本,各样本值分别为:
10,8,12,
解:
2
x10,s12,s3.4641
6,13,5,11。
求总体均值的95%的置信区间。
t.2n110t002573.4641102.8961
VnV8
7.9
某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离,抽取了由
16个人组成的一个随机样
本,他们到单位的距离(单位:
km)分别是:
103148691211751015916
132
假定总体服从正态分布,求职工上班从家里到单位平均距离的
95%的置信区间。
解:
小样本,总体方差未知,用
t统计量
均值=9.375
,样本标准差
s=4.11
置信区间:
=0.95,
n=16,t
=t°.02515
=2.13
彳s一
1「n,x
9.3752.13,9.375
V16
2.134.11
=(7.18,
11.57)
149.5,标准差为1.93
7.10从一批零件中随机抽取36个,测得其平均长度为
(1)试确定该种零件平均长度的95%的置信区间
Xt2
n12149.5t002535149.50.6530
Vn.V36
或者X
z2厶149.5z0025149.50.630455
VnV36
7.11
某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装,每袋标准重量为l00g。
现从某天生
产的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查,测得每包重量(单位:
g)如下:
每包重量(g)
包数
96~98
2
98~100
3
100~102
34
102~104
7
104~106
4
合计
50
已知食品包重量服从正态分布,要求:
(1)确定该种食品平均重量的95%的置信区间。
解:
大样本,总体方差未知,用z统计量
x
z:
N0,1
s—
n
样本均值=101.4,样本标准差s=1.829
置信区间:
-S_s
Xz2—,Xz2—
寸n'寸n
1=0.95,Z2=Zo.o25=1・96
s_s
xz2
"Xz2Tn
101.4
1.961^29,101.41.96琴29=(100.89,101.91)V50V50
(2)如果规定食品重量低于lOOg属于不合格,确定该批食品合格率的95%的置信区间。
解:
总体比率的估计
大样本,总体方差未知,用Z统计量
上:
N0,1
P1P
样本比率=(50-5)/50=0.9
置信区间:
P1P
n,PZ2
=0.95,Z2=z0.025=1.96
P1P
n,PZ2
P1
P
n
P1
P
0.91.96
0.910.90.910.9
「96
50
(0.8168,0.9832)
7.13一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间,为此随机抽取了
18个员工。
得到他们每周加班的时间数据如下(单位:
小时):
6
21
17
20
7
0
8
16
29
3
8
12
11
9
21
25
15
16
假定员工每周加班的时间服从正态分布。
估计网络公司员工平均每周加班时间的90%
的置信区间。
解:
小样本,总体方差未知,用t统计量
均值=13.56,样本标准差s=7.801
置信区间:
彳s—
1n,X
=0.90,n=18,t2n
1=to.0517=1.7369
n,X
13.561.73697.801,13.56
1.7369
7.801
.18
(10.36,16.75)
7.15在一项家电市场调查中.随机抽取了200个居民户,调查他们是否拥有某一品牌的
电视机。
其中拥有该品牌电视机的家庭占23%。
求总体比例的置信区间,置信水平分
别为90%和95%。
解:
总体比率的估计
大样本,总体方差未知,用z统计量
N0,1
样本比率=0.23置信区间:
P1P,P
1=0.90,z.:
2=Z0.025=1.645
P1P
n,P22
0.231.645
0".23,0.231.645O.23®
200
200
(0.1811,0.2789)
1=0.95,z;2=z0.025=1.96
P1P
n,P22
0.231.96
°231。
23,0.231.96
200
0.2310.23
200
(0.1717,
0.2883)
7.16一位银行管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额,他假设所有顾客存款额
的标准差为1000
元,要求估计误差在200元一位,置信水平为99%,则应选取多大的样
本?
解:
2
2
n乙/2
210002
20.005矿165.87
7.17
计算下列条件下所需要的样本量
(1)E0.02
0.41
96%
(2)E0.04
(3)E0.05
20.40.6
20.02E02厂
2530.731
未知1
20.50.5
Z0.025
0.042
0.551
95%
600.2279
90%
nz:
/2;)
z2050.450.55267.8488
0.052
而等待时间的长短与许多因素有关,
7.20顾客到银行办理业务时往往需要等待一段时间,比如,银行业务员办理业务的速度,顾客等待排队的方式等。
为此,某银行准备采取两
种排队方式进行试验,第一种排队方式是:
所有顾客都进入一个等待队列;第二种排队
方式是:
顾客在三个业务窗口处列队三排等待。
为比较哪种排队方式使顾客等待的时间
更短,银行各随机抽取10名顾客,他们在办理业务时所等待的时间(单位:
分钟)如下:
方式1
6.5
6.6
6.7
6.8
7.1
7.3
7.4
7.7
7.7
7.7
方式2
4.2
5.4
5.8
6.2
6.7
7.7
7.7
8.5
9.3
10
要求:
(1)构建第一种排队方式等待时间标准差的
95%的置信区间。
解:
估计统计量
n12S~n1
经计算得样本标准差
2
S2=3.318
置信区间:
n1S2
n1S2
2
12n'
=0.95
n=10
22n1
2
0.0259=19.02,
爲59
=2.7
1s2
n
22n1
1s2
0.227290.2272
19.02
2.7
(0.1075,0.7574)
因此,标准差的置信区间为(
0.3279,0.8703)
(2)构建第二种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。
解:
估计统计量
n12S2~2n1
置信区间:
n1S2
n1S2
2
12n
=0.95
n=10
2
0.0259=19.02,
爲59
=2.7
1S2
n
22n1
1S2
n
122n1
3.318
19.02
93.318
2.7
(1.57,11.06)
因此,标准差的置信区间为(
1.25,3.33)
⑶根据
(1)和⑵的结果,你认为哪种排队方式更好
第一种方式好,标准差小!
7.22从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本,他们的均值和标准差如下表所示:
来自总体1的样本
来自总体2的样本
样本均值为25
样本均值为23
样本方差为16
样本方差为20
(1)设n1n2100,求1-2的95%的置信区间
(X;x2)Z/2g/辻鱼21.960.621.176
\mn2
(2)设n1n210,
12,求1-2的95%的置信区间
g1)S2(门21)S;(m1)(n21)
(X1X2)
22.10093.623.9862
(3)设n1n210,
1I,求1-2的95%的置信区间
设ni
(4)
24.00309
2
1
10,n220
S2S;\2
f,求1-2的95%的置信区间
sp
1)S2(n21)s;
1)(n21)
131
=18.71429
7
(Xi
X2)t
/2(28)
22.04842.807123.4320
n1
n2
(5)
设ni
10,n2
20,
I,求1-2的95%的置信区间
巨笙)2
n1n2n/
^n2)2
2.62
1.62
10
n1
(X1
X2)
/2
石22.°915
20
2.07392^23.3440
7.23下表是由4对观察值组成的随机样本。
配对号
来自总体A的样本
来自总体B的样本
1
2
3
4
2
5
10
8
0
7
6
5
(1)计算A与B各对观察值之差,再利用得出的差值计算d和sd。
d=1.75,Sd=2.62996
⑵设1和2分别为总体A和总体B的均值,构造d1
2的95%的置信区间。
解:
小样本,配对样本,总体方差未知,用
t统计量
td
dd
Sd
/需
均值=1.75,
样本标准差
s=2.62996
置信区间:
Sd
n
=0.95,
n=4,t2
n1=to.0253
=3.182
Sd
1、n
1.753.1822.62996,1.75
V4
3.182
2.62996
「4
(-2.43,5.93)
7.24一家人才测评机构对随机抽取的10
名小企业的经理人用两种方法进行自信心测试,
得到的自信心测试分数如下:
人贝编号
方法1
方法2
1
78
71
2
63
44
3
72
61
4
89
84
5
91
74
6
49
51
7
68
55
8
76
60
9
85
77
10
55
39
构建两种方法平均自信心的分之差的
95%的置信区间
解:
d=11,Sd=6.531973
丄Sd_
、6.531973一
d
t2n1—=11t0.025
(9)g11
V10
4.672692
7.25从两个总体中各抽取一个nin2=250的独立随机样本,来自总体1的样本比例为
Pi=40%,来自总体2的样本比例为P2=30%。
要求:
⑴构造i2的90%的置信区间。
(2)构造12的95%的置信区间。
解:
总体比率差的估计
大样本,总体方差未知,用z统计量
PiP212
P21P2
N0,1
样本比率p1=0.4,p2=0.3
置信区间:
P1P2Z,2^~^,P1
P2
P11P1
P21P2
n2
0.1
1.645
PlP2
Pl1Pl彳ni
P21P2
n2
PiP2
P21P2
0.410.40.310.3
寸0.11.645
250
0.410.4
250
0.310.3
250
(3.02%,16.98%)
=0.95,z.2=z°.025=1.96
P1
P2Z2
…P21P2,P1
n2
P2Z2
P11P1P21P2
n2
0.11.96,041°4°31°.3,0.1
V250250
1.96
0.410.4
250
0.310.3
250
=(1.68%,18.32%)
7.26生产工序的方差是工序质量的一个重要度量。
当方差较大时,需要对序进行改进以减
小方差。
下面是两部机器生产的袋茶重量(单位:
g)的数据:
机器1
机器2
3.45
3.22
3.9
3.22
3.28
3.35
3.2
2.98
3.7
3.38
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- 统计学 课后 答案 第七