全等三角形常用辅助线做法doc.docx

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全等三角形常用辅助线做法doc

五种辅助线助你证全等

姚全刚

在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点.下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考.

一、截长补短

一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：

或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等.

例1.如图1,在左ABC44,ZABC=60°,AD、CE分别平分匕BAC、ZACB.求证:

AC=AE+CD.

分析：

要证AC=AE+CD,AE、CD不在同一宜线上.故在AC上截取AF=AE,则只要证明CF=CD.

证明：

在AC上截取AF=AE,连接OF.

•「AD、CE分别平分ZBAC>ZACB,ZABC=60°

.•.Zl+Z2=60°,AZ4=Z6=Z1+Z2=6O°.

显然，AAEO^AAFO,.,.Z5=Z4=60°,.L匕7=180°—（Z4+Z5）=60°

在△DOC与ZiFOC中，Z6=Z7=60°,Z2=Z3,OC=OC

・・・ADOC^AFOC,CF=CD

・・・AC=AF+CF=AE+CD.

截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例2：

如图甲，AD//BG点/在线段48上，/AD片-CDE,ADC^AECB.求证：

CD-AD^Ba

思路分析：

1）题意分析：

本题考查全等三角形常见辅助线的知识：

截长法或补短法。

2）解题思路：

结论是依/辨此；可考虑用“截氏补短法”中的“截氏”，即在⑦上截取介仿，只要再证DF^DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。

解答过程：

证明：

在心上截取彷此；如图乙

CF=CB

CE=CE

：

.4FC叵4BCE（SAS）,

AZ2=Zlo

又•:

AD//BC,

・・.匕/〃0•匕砌=180。

，

:

MDCE+ZCD片9甘,

...匕2+匕3=90°,Z1+Z4-900,

AZ3=Z4o

在△破与庞中，

WFDE=ZADE

Z3=Z4

.・.△仞性△疝（妁），

:

.DRDA,

•:

CAD切CF,

:

.CD^AIABa

解题后的思考：

遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：

截长：

在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

补短：

将一条短线段延长，延氏部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三伯形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。

2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。

二、中线倍长

三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路.

例3.已知三角形的两边长分别为7和5,那么第三边上中线长x的取值范围是（）.

分析：

要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个巳知边转移到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系才能进行分析和判断.

解：

如图2所示，设AB=7,AC=5,BC±中线AD=x.延长AD至E,使DE=AD=x.

LAD是BC边上的中线，・.・BD=CD

ZADC=ZEDB（对顶角）AAADC^AEDB

・.・BE=AC=5

VftAABEAB-BE

即7-5V2xV7+5.・.1VxV6

例4：

已知在AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD±一点，且

BE=AC,延长BE交AC于F,求证：

AF=EF

提示：

倍长AD至G,连接BG,证明△BDG^ACDA三角形BEG是等腰三角形

例5：

已知：

如图，在\ABC中，AB^AC,D、E在BC上，且DE=EC,过D作OF//B4

交AE于点F,DF=AC.

求证：

AE平分ABAC

提示：

方法1:

倍长AE至G,连结DG

方法2：

倍长FE至H,连结CH

例6：

已知CD=AB,ZBDA=ZBAD,AE是Z\ABD的中线，求证：

ZC=ZBAE

提示：

倍长AE至F,连结DF证明△ABE丝AFDE（SAS）进而证明AADF^AADC（SAS）

5、如图5,AD为的中线，求证：

AB+AC>2ADo

队如图6所不，AD^AABC&O中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF求证：

AC=BFo

图6

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5、分析：

要证AB+AO2AD,由图想到：

AB+BD>AD,AC+CD>AD,所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD,左边比要证结论多BD+CD,故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去

b—rT/'c

、I/

\;/

\■/

\，/

、s

图5-2

证明：

延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CE

LAD为^ABC的中线（已知）

・.・BD=CD（中线定义）

在D和中

'BD=CD（己证）

AD=ED（辅助线作法）

AAACD^AEBD（SAS）

「.BE二CA（全等三角形对应边相等）

・.•在AABE中有：

AB+BE>AE（三角形两边之和大于第三边）

AAB+AC>2ADo

6、分析：

欲证AC二BF,只需证AC、BF所在两个三角形全等，显然图中没有含有AC、BF的两个全等三角形，而根据题目条件去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不容易。

这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线段，所对的角相等即可。

思路一、以三角形ADC为基础三角形，转移线段AC,使AC、BF在三角形BFH中

方法一：

延长AD到H,使得DH二AD,连结BH,证明ZiADC和ZiHDB全等，得AC=BHo

通过证明ZII=ZBFII,得到BF=BIIo

A

证明：

延长AD到H,使得DH=AD,连接BH

D为BC中点

・.・BD=DC

在△ADC和△HDB中

'AD=DH

BD=CD

・・・AADC^AHDB（SAS）

・.・AC=BII,ZII=ZIIAC

•.・EA=EF

・.・ZHAE^ZAFE

又..・ZBFH=ZAFE

・•・BH=BF

・・・BF=AC

方法二：

过B点作BH平行AC,与AD的延长线相交于点H,证明HDB全等即可。

小结：

对于含有中点的问题，通过“倍K中线”可以得到两个全等三角形。

而过一点作己知直线的平行线，可以起到转移角的作用，也起到了构造全等三角形的作用。

思路二、以三角形BFD为基础三角形。

转移线段BF,使AC、BF在两个全等三角形中

方法三：

延长FD至H,使得DH=FD,连接HC。

证明△CDII和ABDF全等即可。

三、作平行线

当三角形问题中有相等的角或等腰等条件时，可通过作平行线将相等的角转换到某一个三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，从而为证明全等提供条件.

例7.如图3,在等腰AABC中，AB=AC,在AB上截取BD,在AC延长线上截取CE,且使CE=BD.连接DE交BC于F.求证：

DF=EF・

分析：

要证DF=EF,必须借助三角形全等.而现有图形中没有全等三角形.由等腰三角形条件，可知匕B=NACB,作DH〃AE,可-得/DHB=/ACB.则左DBH为等腰三角形.

证明：

作DH〃AE交BC于H.

.*.ZDHB=ZACB,

VAB=AC,/.ZB=ZACB

AZDHB=ZB,DH=BD

・.・CE=BDZ.DH=CE

乂DH〃AE,ZHDF=ZE

ZDFH=ZEFC（对顶角）

・..△DFH^AEFC（AAS）/.DF=EF

四、补全图形

在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决.

例8.如图4,在Z\ABC中，AC=BC,ZC=90°,BD为ZABC的平分线.若A点到直线BD的距离AD为a,求BE的长.

E

分析：

题设中只有一条己知线段AD,旦为直角边，而要求的BE为斜边.要找到它们之间的关系，需设法构造其他的全等三角形.

证明：

延长AD、BC相交于F.

由BD为ZABC的平分线，BD1AF.

易证△ADB^AFDBFD=AD=aAF=2aZF=ZBAD

又ZBAD+ZABD=90°,ZF+ZFAC=90°

.*.ZABD=ZFAC

BD为ZABC的平分线IZABD=ZCBE

AZFAC=ZCBE,[ftZECB=ZACF=90°,AC=BC

AAACF^ABCE（ASA）.\BE=AF=2a

五、利用角的平分线对称构造全等

角的平分线是角的对称轴，在证明全等过程中不仅提供了两个相等的角，还有一条公共边，利用角的平分线在角的两边上截取相等的线段，或向两边作垂线，对称构造出全等三角形是常用的证明方法.

例5.如图5,在四边形ABCD中,已知BD平分ZABC,ZA+ZC=180°.证明:

AD=CD.

D

分析：

由角的平分线条件，在BC上截取BE=BA,可构造△ABD^AEBD,从而AD=DE.则只要证明DE=CD.

证明：

在BC上截取BE=BA,连接DE.

由BD平分ZABC,易证△ABD^AEBD

AAD=DEZA=ZBED

又ZA+ZC=180°,ZBED+ZDEC=180°

.\ZDEC=ZC,..・DE=CD

・.・AD=CD

2、已知，如图2,Z1=Z2,P^i&V上一点，且/汐J_座'于点D,AB+BS2BD。

求证：

匕34月匕时=180°o

证明：

过点/，作PE垂直BA的延长线于点反如图2-2

图2-2

VZ1=Z2,且PDA.BC,

:

-PE=PD,

在肉△时K与肉△贤刀中，

'PE=PD

・•・凡△所g凡△所它耽），

・・・BE=g

'.'AB+BC=2BD,

\AB+BIXDC=BEh-BE,.\AB+DC=B^DC=BE-AB=AEO在Rt^APE^"CPD中，

〃PE=PD

AE=DC

全等三角形问题中常见的辅助线的作法

常见辅助线的作法有以下几种：

1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”.

2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.

3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.

4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.

特殊方法：

在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.