第六章河道非恒定水流计算.docx
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第六章河道非恒定水流计算
第六章河道非恒定水流计算
天然河道水流常被认为是一维流动的,描述河道水流的基本方程为圣维南方程组,该方程组为双曲线型偏微分方程组,有两类基本的求解方法,一是特征线法,二是有限差分法。
有限差分法随着计算技术的发展和计算机速度的提高,已广泛应用于非恒定流计算中,以下着重介绍应用有限差分法求解圣维南方程组。
6.1Preissmann四点线性隐式差分格式6.1.1基本方程
水体中的一维非恒定水流,可以用圣维南方程组来描述,即
.:
t
式中:
Q为断面流量(m/s3);Z为水位(m);B为水面度(m);q为单宽旁侧
入流量(m2/s);A为过水断面面积(m2);R为水力半径(m);n为糙率;:
•为动
量校正系数,一般情况下取为1;g为重力加速度,等于9.8m/s2;x为沿河长的
距离变量(m);t为时间变量(s)。
式(6-1)为连续方程,式(6-2)为动力方程。
6.1.2求解方法
要求出圣维南方程组式(6-1)和(6-2)的解析解,用目前的数学理论是非常困难的,而只能求其数值解,其中差分法是最为常用的数值解法。
差分格式又可分为显式和隐式两大类,显式格式的优点是计算简便,缺点是为了满足计算稳定性和精度的要求,计算时间步长和距离步长之比必须满足Courant条件。
为此一般
选用隐式格式。
隐式格式虽然是无条件稳定的,但构造出来的方程需要联立求解。
本文选择Preissmann四点线性隐式差分格式来求解上述圣维南方程组。
该法的基本思想是将圣维南方程组中偏导数前的系数项用时段初已知值来估计,阻力项进
行线性化处理。
由于这样构造出来的差分方程为一线性代数方程组,求解时无需
迭代试算。
差分格式的设置如图6-1所示。
采用四点线性隐式差分格式方法对圣维南方程组进行推导,采用的差分格式为
式中:
二为权重系数,0v1;f为水流参数,例如水位、流量、水深、
过水断面面积、水面宽等;为距离步长;■=t为时间步长;下标表示断面位置,上标表示时刻。
根据式(6-3),对连续方程(6-1),有
工Zij;-Ziji•Zij1-Zij
理一2•:
t
B,1/2
2X
将以上关系式代入连续方程式,得到
j1jj1jQi1_QiQ「1-Qij
(Zi+一乙十+Zi一乙小(-7X—
(6-4)
简写为
Qij;-Qij1G乙打GZij1=Di(6-5)
根据式(6-3),对动量方程,有
gQji1—Qji•Qij1—Qij
:
:
t一2.:
t
:
Z「(Z
X
7j1j1
T1Zi).(1
■■■:
Xi
旳乙'1-ZiJ
2
冬(加
(:
uQ)=
:
x
71[(二u){1Q/1-
Cu)jQij1](1一"[(:
u)ij.1Qij1—(:
u)ijQij]
4
22\2
gnQ|Q|gn(|u)jQj+丄gn(|u)jQ计
g473(473)iQi(43丿ilQil
AR2R2R
将以上各式代入动力方程式,得到
EiQij*+GiQ;+RZij;—Fi4j+=*i(6-6)
用NT个断面可将计算河段长L划分成N个子河段,每个子河段的长度为
Xi(i=1,2,,N),取时间步长为--t,则应用Preissmann四点隐式差分格式,并令时段初的水力要素作为时段平均水力要素,就可将式(6-1)和(6-2)离散成差分方程。
对第i(i=1,2,,…,N)子河段,为了简写起见,省略上标,该差分方程可写为
(6-7)
—Qi*Qi卅*GZi*G乙出=Di
UQi+GjQd—FiZi+Fj
其中
由式(6-8)可知,式(6-7)中的差分系数G、E、Gj、<仅与河槽几何参数、糙率和初始条件有关,所以它是一个线性代数方程组。
对于一条起始断面序号为Li、终止断面序号为L2的河段来说(图6-2),该河段具有L^Li1个断面、L2-Li个子河段,则L2-Li个子河段就可列出包含2(L^Li1)个未知变量的2(L2-Li)个方程式,如再加上河道两端的边界条件,就可构成一个闭合的代数方程组。
即
Qli=fi(ZLi)上边界条件
-QL^I_QL^^+CLiZL^1'CLiZL^#=DLi
EliQl^*"GliQli+—FliZli+FLiZLi+= _Ql^^+Ql^^+Cl1+Zl1++Cl1+Zl^^=Dl^I Eli^Qli*+GLi卑QLid2—FLi*ZLi卅*Fli*ZLi4i=°Li*(厂小 -Ql2」+Ql2+Cl24ZL2」*Cl2_JZL2=Dl2_j El24QL2」+GL2」QL2-Fl24ZL2」+Fl24ZL2=%2」 Ql^f2(ZL2)下边界条件 该闭合代数方程组的系数矩阵是一个四对角稀疏矩阵,因此,可用追赶法进行求解,从而求得各断面的水位和流量过程Qi、Zi(i=1,2,3,…NT)。 Li Li- 卜1 l2 -1 图6-2计算河段示意图 对于该方程组,根据不同的边界条件,可设不同的递推关系,用追赶法直接求解。 对于河道的边界条件,一般有以下三种情况: (1)水位已知Z-订-⑴ (2)流量已知Qj=QL,t) ⑶水位流量关系Ql^f(ZLi) 1、水位边界条件的计算 对于水位已知的边界条件,可设如下的追赶方程 所以PL^ZLi(t),Vli=0 将式(6-10)中的Zij1表达式代入差分方程(6-7)中,得到 』一Qi+G(R—ViQi)+Qi卅++CiZi41=Di (1) : EiQi—R(P—ViQJ+GiQ^+FZi卅 (2) 式 (1)Fi- (2)Ci,消去乙1,得到式(6-10)中的追赶系数为 GY? -FY FiY3GY4 GGi-Fi (6-11) FY3GY4 R* Y1Y3S1 Ci 其中: 丫1B-GP 丫2二iFiP 丫3=1GV 丫4二EiFiVi 由此递推关系可得: Zl2=Pl2-Vl2Ql2,与下边界条件Ql2=f(ZL2)联立求 解,可得到QL2,回代可求得Qi、Zi(i=L2,L2-1,…,L1) 2.流量边界条件的计算 3. 对于流量已知的边界条件,可假设如下的追赶关系 所以P二Q-(t),Vj=0 将式(6-12)中的Qij1表达式代入差分方程式(6-7)中,得到 \(R—VZi)+GZi+Q“+GZr=Di (1) 匸(R-VjZJ-FiZi+GiQr+FjZi出⑵ 式 (1)Gi-⑵,消去Qj1,得到 GiY3-丫4 YG丫2 (6-13) GjCj-Fi YG丫2 P审=丫3—YiS卅 Vi卅=Ci-YiTi卅 其中: 丫2=FiEVi 丫3二DiPi 丫4二i-可 由此递推关系可得: QL2=PL2-V^Zl,与下边界条件QL2=f(ZL)联立求解,可得到Zl2,回代可求得Qi、Zi(i二L2,L2-1,…,LJ。 4.水位流量关系边界条件 对于水位流量关系的边界条件Ql^f(Z^),可线性化处理成 Ql^P_^Vl1Zl1,即可同流量边界条件一样处理 dQL1二f(ZL1)dZL1 Ql1-f(Z01)=「(Z: )(ZL1-Z: ) Ql1=f(Z: 1)+f1Z: )(Zl1—z[)=f(Z: 1)-f(z: 1)z01+f[zL1)ZL1 二Pl1-VlZl1 所以 图6-3集中入流示意图 象流量边界条件一样,利用(6-13)求出追赶系数,回代得到水位和流量过程 6.2内边界的处理 在河道水流计算中,除了外部边界条件外,还可能遇到内部边界条件。 所 谓内部边界条件是指河道的几何形状的不连续或水力特性的不连续点。 例如,集 中入流、过水断面突然放大、堰闸过流等。 在这些内部边界处,圣维南方程组不再适用,必须根据其水力特性作特殊处理。 内部边界条件通常包含两个相容条件, 即流量的连续性条件和能量守恒条件。 现以Preismann线性隐式差分格式为例, 介绍常见的内边界条件的处理和计算方法。 6.2.1集中旁侧入流 对于集中旁侧入流,可设一个虚拟河段丄为,这是基本的连续方程为 (6-15) 由式(6-15)替代差分方程式(6-7),同样得到递推关系式当上边界为水位边界条件时,可设如下的追赶方程: 所以Zi1二Zi二P-ViQi二P-Vi(Qi! -Qf)二PViQf-HQ" —Qf5 Z十P+2-VQi十 则递推系数为 Si书=—Qf (6-17) 可同正常河道一样递推求 Ji+=-1 Pi+—Pi+ViQf W=Vi 用式(6-17)代替式(6-11)计算虚拟河段的追赶系数,解。 当上边界为流量边界条件时,可设如下的追赶方程 Qi二P-VZi 所以Qj4=QjQf二R-ViZiQf=PiQf-VjZid即 (6-18) ;乙=Z* Qr=R+Qf—U乙卅 则递推系数为 S卑=o (6-19) Ti1=-1 RRQf Vi1=Vi 用式(6-19)代替式(6-13)计算虚拟河段的追赶系数,可同正常河道一样递推求解。 6.2.2河道与储水池汇合 考虑一条河流中间某处有一储水池(小型湖泊)与之汇合,如图6-4。 对于第i个河段,假设河段水位与储水池水位相等,可列出如下方程 Zi=Zi1=Zs 由连续方程 Qi1=Qi—Qs 图6-4河道与储水池汇合 式中: Qs为河道流向储水池的流量,由储水池的连续方程 As竖=Qs dt AsZ-Z0=Qs △t Z-Z0乙丄一z. 所以Qi—Qi—As乂△二Qi-As~J LtLt 即 (6-20) Zi=乙1 Qi十Qi一As乩7 LAt 当上边界为水位边界条件时: 乙二R-ViQi 由式(6-20)可求得: A, (R-Zi0)Qi1 As ■: t Vi Ri .ViAs ■: t Z0-ViQi1 (6-21) Vi 则递推系数为 At (R-Zi0) Tii R1 Vi Vi+ 当上边界是流量边界条件时: R-ViZi 由式(6-20)可求得 (6-23) 乙二乙i Qii=RAZi0-(VAs)Zii IAtAt 则递推系数为 S卅=0 T“=-1 (6-24) Rt=R-A-Zi0 iAti S— 6.2.3过水断面突然放大的情况 如图6-5所示,过水断面突然放大的情况,其相容性条件为 图6-5断面突然放大 Qi=Qii 2g (6-25) 222乙旦二Zi「u_! •(Ui—UiJ.i2gi2g 式中: •为局部阻力系数,令 222 △h=u“_Ui+^(Ui—Ue) 2g2g2g Qi=Qi+iZi^=Zi—^h 当上边界为水位边界条件时: 乙二P-ViQi (6-27) Q=Qr 乙卑=R—^h—ViQr 得出递推系数为 0书=0 =-1 Pi二R-: h Vi1二Vi 当上边界卫流量边界条件时: (6-28) Qi=R-ViZi 所以QiH1=R—VjZj=R—Vj(Z“+Ah)=R—V^h—"Z片 ZMh+Z“ Q“=R—VQh—ViZi* (6-29) 得出递推系数为 Sj卅= 丁i=-1 Pi二R-Vi-h Vii二Vi (6-30) 6.2.4堰闸过流的情况 在实际工程中,为了控制水量或水位,常常在一条河流中设立闸门进行控制运行。 过闸水流有三种情况,关闸。 自由出流和淹没出流。 里艮一I 图6-6过闸示意图 对于关闸的情况,Qi二Q"=0。 因此闸上、闸下可以作为两条单一河道来 处理,对于上游河道来说,Qi已知,为下边界流量已知条件,可单独求解;对 于下游河道,Qii已知,可按流量已知边界条件单独求解。 对于自由出流情况 Q=mbh.2gh°(6-31) 式中: ho=Zj—Zd,为上游水深,Zd为闸底高程;b为闸孔径宽;h为计算过流水深;m为综合流量系数。 由式(6-31)可知,Qj=f(ZJ,且Qid-Qi。 可同关闸情况类似计算。 所不 同的是,关闸以Qj=0作为上游河道的下边界,而这里以Qj=f(Zj)作为上游河 道的下边界而已。 下游河道类似于关闸情况。 对于淹没出流 Q=bh2g(Zi=Zj.i) 式中: 「为淹没出流系数。 考虑连续性有: Qi=Qi1=Q=C(乙-Zji) 对式(6-33)进行线性化处理,得到 Qj=Qji二〉■-(乙-乙i) 当上游边界为水位边界条件时 乙二R-VjQj 与式(6-34)联立求解可得到 Qji二Qj <口1 Zj1…R-(V=)Qji 所以,递推系数为 S十=0 T*-1 a P十p+R 1 Vj1=Vj 当上游边界条件为流量边界条件时 (6-32) (6-33) (6-34) (6-35) Qj二R-VjZj 与式(6-34)联立求解可得到 Z.+—0 「VZVi Q-: Vi: Pi '1_V- (6-37) 所以得到递推系数为 S* T片 R* Vii Pi7- Vi■ p Vi aVj十Bp Vi 7\ Vi- (6-38) 可见利用式(6-36)或(6-38)计算过闸的追赶系数,可同正常河道一样递推求解。 值得注意的是,上游边界为水位边界条件,过闸后仍然以水位边界计算,用式(6-36)计算该特殊河道的追赶系数,有时会引起较大的误差。 特别是当接近关闸时,Q订亡(Zi-Zi! )0,有----0,计算无法进行。 最好的办法是把 下游河道计算改成流量边界条件,可连续进行求解。 上游河道最后一个断面的水位可以写成 乙=P—VQi 下游改成流量边界条件,有Qi*=P^-VwZi卅,由式(6-34)得到 Qii「Zi-Zi.J「「(R-ViQi-Zi" 由于Qii=Qi,故此 Q: 「P-Z1 Qi1=1: Vi /sZp Qi1 得到递推系数为 ra+阳 P^1= 啪1+PVi 彳n'(6-40) V1=—-— 1「V' 这样必须在上游河道与下游河道分别用不同的关系求解。 先以水位边界条件计算上游河道的追赶系数,由式(6-40)计算下游河道'・1处的边界条件,以流量边界条件计算下游河道的追赶系数。 综上所述,可以看出,对于内边界条件的处理可以归结为特殊河段的追赶系数计算。 计算依据的是特殊河段的相容性方程(水量守恒与动量守恒),这些方程与非恒定流的基本方程无关),对于相容方程进行必要的处理,单独计算特殊河段的追赶系数,可用正常河段一样进行求解。 6.3计算实例 某河床式水电站装有三台机组,每台引用流量为50m3/s。 其下游河道长 9km,平均底坡为0.000182,流入面积极为广阔的湖泊。 湖泊水位保持在216.5m,可以认为是恒定的。 设该电站经常按以下程序运行: 起始时一台机组运行,流域 为50m3/s。 负荷增加时投入第二、第三台机组,并在2000s内使电站引用流量 按等变率增加到150m3/s,见图6-7a。 已经测得下游河道四个断面的尺寸,见图6-7b。 以及初始流量为50m3/s时的水位。 要求计算下游河道各个断面的水位 以及流量过程。 图6-7流量变化及断面示意图 6.3.1步长选择、构造网格 全河道长为9000m,有四个断面资料,见表6-1所示 表6-1河道断面及其初始条件 里程 (m) 断 面 河 段 长度 初 始水位 初 始流量 糟率 系数 0 1 (1) 2400 21 7.08 50 0.027 5 2400 2 (2) 3600 21 6.83 50 0.030 6000 3 (3) 3000 21 6.57 50 0.030 9000 4 21 6.50 50 根据资料情况,该河段分为3个子河段,距离步长.-: Xi分别取子河段长度,时间步长取: t=1O0s。 6.3.2定解条件、断面计算 初始流量和水位见表6-1。 上边界条件为已知的流量过程 Q=500.05t(6-41) 下边界条件为水位保持恒定 ^2165(6-42) 各个断面的过水断面面积A、水面宽B、湿周P以及水力半径R分别为 A=(bmh)h P=b2..(m21)h 按照Preissmann四点隐式差分格式求出各个断面的水位和流量过程
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