高考理科数学全国2卷含答案.docx
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高考理科数学全国2卷含答案
、选择题:
本题共
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(全国2卷)
12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
1.3i()
1i
A.12i
B.
12i
C
2.设集合
1,2,4,
x
x24x
要求的。
A.1,3B.1,0
.2i
D
.2i
m0.若
I1
,则
()
C.
1,3
D
.1,5
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:
请问尖头几盏灯?
”意思是:
一座倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏
4.如图,网格纸上小正方形的边长为
7层塔共挂了
“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,
381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2
C
1,粗实线画出的是某几何体的三视图,
该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A.90
B.63
42
.36
2x
5.设x,
y满足约束条件
2x
3y
3y
0
0,
z2x
y的最小值是()
A.15
6.安排3名志愿者完成4项工作,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:
你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:
我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩
8.执行右面的程序框图,如果输入的
A.2B.3
.1
每人至少完成
D
1项,
C.24种
.9
每项工作由1人完成,
D.36种
.丁可以知道四人的成绩
.乙、丁可以知道自己的成绩1,则输出的S()D
.5
2
9.若双曲线C:
x2
a2
2
y21(a0,b
0)
的一条渐近线被圆
x2
截得的弦长为2,
C的离心率为()
A.2
.3
23
3
10.已知直三棱柱
C11C1中,
o
120o,
2,
CC1
22y
异面直线
1与C1所成角的余弦值为()
A.
15
5
10
5
11.若x
2是函数f(x)(x2ax1)ex1`的极值点,则f(x)的极小值为()
A.1B.
2e3C.
5e3
D.1
uuuruuur
P为平面ABC内一点,则PA(PB
uuur
PC)的最小值是()
A.2
B.
3
C.
2
4
3
D
二、填空题:
本题共
4小题,每小题5分,共20分。
12.已知
ABC是边长为2的等边三角形,
13.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取
等品件数,则D
100次,表示抽到的二
14.函数fxsin2x3cosx3(x0,)的最大值是.
42
16.已知F是抛物线C:
y28x的焦点,
是C上一点,F的延长线交y轴于点.若为F的中
点,则F
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
第17~21题为必做题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
B
17.(12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(AC)8sin2B.
2
(1)求cosB
(2)若ac6,ABC面积为2,求b.
18.(12分)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网
箱,测量各箱水产品的产量(单位:
kg)其频率分布直方图如下:
1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法
的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;
2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)
P()
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
2n(adbc)2K
(ab)(cd)(ac)(bd)
19.(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD,
1oABBCAD,BADABC90o,E是PD的中点.
2
(1)证明:
直线CE//平面PAB
上,
2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45o,面角M-AB-D的余弦值
2
20.(12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:
xy21
2
uuuruuuur
过M做x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP2NM.
(1)求点P的轨迹方程;uuuruuur
(2)设点Q在直线x=-3上,且OPPQ1.证明:
过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
2
21.(12分)已知函数f(x)axaxxlnx,且f(x)0.
(1)求a;
2
(2)证明:
f(x)存在唯一的极大值点x0,且e2f(x0)2
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为
cos4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM||OP|16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
2)设点A的极坐标为(2,),点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.3
23.[选修4-5:
不等式选讲](10分)
33
已知a0,b0,a3b32,证明:
55
(1)(ab)(a5b5)4;
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(Ⅱ)试题答案
、选择题
1.D
2.C
3.B
4.B
5.A
6.D
7.D
8.B
9.A
10.C
11.A
12.B
二、填空题
13.1.9614.1
15.
2n
n1
三、解答题
16.6
17.解:
1)由题设及ABC得sinB8sin2,故
2sinB(41-cosB)
上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0
解得cosB=1(舍去),cosB=15
17
158
(2)由cosB=得sinB,故SABC
1717ABC
17
又SABC=2,则ac
2
由余弦定理及ac6得
b2a2c22accosB
a+c)2
2ac(1cosB)
1715
362
(1)
217
4
所以b=2
18.
解:
旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为
0.0400.0340.0240.0140.012)5=0.62故PB的估计值为0.62新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为
0.0680.0460.0100.008)5=0.66
故PC的估计值为0.66
因此,事件A的概率估计值为0.620.660.4092
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
2
220062663438K215.705
10010096104
由于15.7056.635
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50kg的直方图面积为
0.0040.0200.04450.340.5,
箱产量低于55kg的直方图面积为
0.0040.0200.044+0.06850.680.5
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
0.5-0.3450+≈52.3(5kg).
0.068
19.解:
1)取PA中点F,连结EF,BF.
11因为E为PD的中点,所以EFPAD,EF=AD,由BADABC90得BC∥AD,又BCAD
22
所以EF∥BC.四边形BCEF为平行四边形,CE∥BF.
又BF平面PAB,CE平面PAB,故CE∥平面PAB
2)
由已知得BAAD,以A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向,AB为单位长,建立如图所示的空间
直角坐标系A-xyz,则
则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,
uuur
PC
uuuur
BM
uuur
(1,0,3),AB(1,0,0)则
uuuur
由①,②得
(x1,y,z),PM(x,y1,z3)
2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则
uuur
OQ3,t
uuur
PF
1
m,n
uuuruuur
OQgPF33mtn,
uuur
uuur
OPm,n
PQ
3
m,t
n,
uuuruuur
由OPgPQ
1得-3m
2m
tn
n21,又由
(1)知m2+n2=2,故
3+3m-tn=0
uuuruuur
uuur
uuur
所以OQgPF
0,即
OQ
PF
又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C
的左焦点F.
21.解:
22.
(1)fx的定义域为0,+
综上,a=1
因为x=x0是f(x)在(0,1)的最大值点,
由e10,1
0得
fx0>fe
所以e2 23. 1>0,由题设知 解: (1)设P的极坐标为,>0,M的极坐标为1, 4 OP=,OM=1=cos 由OMgOP=16得C2的极坐标方程=4cos>0 22 因此C2的直角坐标方程为x2y24x0 (2)设点B的极坐标为B,B>0,由题设知 sin 12时,S取得最大值2+3 24.解: 25. 1) 2)因为 3ab a33a2b 3ab2b3 2 3aba+b 2 3 3 a+b 3a+b 2+ a+b 2 4 4 3 所以a+b8,因此a+b≤2.
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