专题08 矩形知识点串讲原卷版.docx
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专题08矩形知识点串讲原卷版
专题08矩形
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重难突破
一.矩形的性质
矩形:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.如图:
矩形ABCD.
矩形除了具有平行四边形的所有性质外,还具有自己特有的性质,如下:
①矩形的四个角都是直角;(∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°)
②矩形的对角线相等;(AC=BD)
③对称性:
矩形是一个轴对称图形,它有两条对称轴.(对称轴是对边中点的连线)
推论:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(在Rt△ADC中,DO为斜边AC的中线,
则DO=
AC)
拓展:
若三角形一边上的中线等于该边的一半,则该三角形为直角三角形.
典例1.(2018春•全椒县期末)如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点E处,且CE与AB交于F,那么S△ACF为( )
A.12B.15C.6D.10
典例2.(2018春•建昌县期末)矩形ABCD中,O为AC的中点,过点O的直线分别与AB,CD交于点E,F,连接BF交AC于点M连接DE,BO.若∠COB=60°,FO=FC,则下列结论:
①△AOE≌△COF;
②△EOB≌△CMB;
③FB⊥OC,OM=CM;
④四边形EBFD是菱形;
⑤MB:
OE=3:
2.
其中正确结论的个数是( )
A.5B.4C.3D.2
典例3.(2018春•滨江区期末)如图,矩形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC于点E,DF平分∠ADC,交EB的延长线于点F,BC=6,CD=3,则
为( )
A.
B.
C.
D.
典例4.(2018春•宝山区期末)如图,点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上,如果△ABE、△ECF、△FDA的面积分别刚好为6、2、5,那么矩形ABCD的面积为_________.
典例5.(2017秋•镇江期末)如图,长方形ABCD中,AB=6,BC=4,在长方形的内部以CD边为斜边任意作Rt△CDE,连接AE,则线段AE长的最小值是______.
典例6.(2018春•青山区期末)如图,矩形ABCD中,点E,F分别在边AB与CD上,点G、H在对角线AC上,AG=CH,BE=DF.
(1)求证:
四边形EGFH是平行四边形;
(2)若EG=EH,AB=8,BC=4.求AE的长.
典例7.(2018春•长丰县期末)如图,矩形ABCD中,AB=9,AD=4.E为CD边上一点,CE=6.点P从点B出发,以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动,连接PE.设点P运动的时间为t秒.
(1)求AE的长;
(2)当t为何值时,△PAE为直角三角形?
典例8.(2018春•繁昌县期末)某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时,将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD(AB<BC)的对角线交点O旋转(如图①→②→③),图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点.
(1)该学习小组中一名成员意外地发现:
在图①(三角板的一直角边与OD重合)中,BN2=CD2+CN2;在图③(三角板的一直角边与OC重合)中,CN2=BN2+CD2.请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由.
(2)试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系,写出你的结论,并说明理由.
二.矩形的判定
矩形的判定方法:
①有一个角时直角的平行四边形是矩形;
②对角线相等的平行四边形是矩形;
③三个角都是直角的四边形是矩形.
典例1.(2018春•费县期末)如图,D,E是△ABC中AB,BC边上的点,且DE∥AC,∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H.则下列结论错误的是( )
A.若BG∥CH,则四边形BHCG为矩形
B.若BE=CE时,四边形BHCG为矩形
C.若HE=CE,则四边形BHCG为平行四边形
D.若CH=3,CG=4,则CE=2.5
典例2.(2018春•北海期末)如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E,F.
(1)若CE=4,CF=3,求OC的长.
(2)连接AE、AF,问当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?
请说明理由.
三.矩形的判定与性质
1.矩形的性质:
①边:
对边平行且相等;
②角:
四个角都是直角;
③对角线:
对角线互相平分且相等;
④对称性:
矩形是中心对称图形,也是轴对称图形.
矩形性质的推论:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2.矩形的性质:
典例1.(2018春•岚山区期末)在△ABC中,AB=12,AC=5,BC=13,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,则PM的最小值为__________.
典例2.(2018春•如皋市期末)如图,矩形ABCD中,CE⊥BD于E,CF平分∠DCE与DB交于点F.
(1)求证:
BF=BC;
(2)若AB=4cm,AD=3cm,求CF的长.
典例3.(2018秋•临渭区期末)如图,平行四边形ABCD中,AB=4cm,BC=6cm,∠B=60°,G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.
(1)求证:
四边形CEDF是平行四边形;
(2)①AE为何值时四边形CEDF是矩形?
为什么?
②AE为何值时四边形CEDF是菱形?
为什么?
巩固练习
1.(2018春•邢台期末)如图,矩形ABCD的顶点A,C分别在直线a,b上,且a∥b,∠1=50°,则∠2的度数为( )
A.30°B.40°C.50°D.60°
2.(2018春•滦县期末)如图,过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ,那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是( )
A.S1>S2B.S1=S2C.S1<S2D.无法确定
3.(2018春•资阳期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点P为斜边AB上一动点,过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连结EF,则线段EF的最小值为( )
A.1.2B.2.4C.2.5D.4.8
4.(2018春•临西县期末)如图,矩形ABCD中,DE⊥AC于E,且∠ADE:
∠EDC=3:
2,则∠BDE的度数为( )
A.36°B.18°C.27°D.9°
5.(2018春•张家港市期末)如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F,连接CE,则△DCE的面积为( )
A.
B.
C.2D.1
6.(2018春•宜宾期末)如图,平行四边形ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上,点B与点E、F不重合,若△ACD的面积为4,则图中阴影部分两个三角形的面积和为___.
7.(2018春•婺城区期末)如图,矩形ABCD中,AB=8,点E是AD上的一点,有AE=4,BE的垂直平分线交BC的延长线于点F,连结EF交CD于点G,若G是CD的中点,GE=5,则FO的长是___.
8.(2018春•庐阳区期末)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(8,0),(0,3),OD=5,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为_____________.
9.(2018春•增城区期末)如图,矩形ABCD对角线AC、BD交于点O,AB=6,BC=8,点P为AD边上的一个动点,PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F,则PE+PF=_______.
10.(2018春•洛阳期末)如图,O是矩形ABCD对角线AC的中点,AB=4,BC=8,P是边AD上一动点(不与A、D重合)
(1)PO的延长线交BC于Q.求四边形AQCP是平行四边形;
(2)连接BP、DQ,四边形BPDQ能否成为菱形?
若能,请直接写出此时AP的长;若不能,请说明理由.
11.(2018春•黄陂区期末)如图,在矩形ABCD中,AF平分∠BAD交BC于E,交DC延长线于F,点G为EF的中点,连结DG.
(1)求证:
BC=DF;
(2)连BD,求BD:
DG的值.
12.(2018春•沙坪坝区校级期末)如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E、F在BD上,BE=DF.
(1)求证:
AE=CF;
(2)若AB=3,∠AOD=120°,求BC的长度.
13.(2018春•洪山区期末)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C,点E,F分别在边AB,BC上,AE=DF=DC.
(1)求证:
四边形AEFD是平行四边形;
(2)当∠FDC与∠EFB满足数量关系____________时,四边形AEFD是矩形.
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