数学思维训练五年级.docx
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数学思维训练五年级
教学系列之七:
等差数列求和
(1)
教学目标:
1、让学生了解数学家高斯的生平,感受数学的魅力,激发学生学习数学的热情。
2、在趣味数学中学习等差数列在实际问题中的应用,提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。
教学过程:
一、高斯的故事
德国著名大科学家高斯(1777~1855)出生在一个贫穷的家庭。
高斯在还不会讲话就自己学计算,在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时,还纠正父亲计算的错误。
长大后他成为当代最杰出的天文学家、数学家。
他在物理的电磁学方面有一些贡献,现在电磁学的一个单位就是用他的名字命名。
数学家们则称呼他为“数学王子”。
他八岁时进入乡村小学读书。
教数学的老师是一个从城里来的人,觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书,真是大材小用。
而他又有些偏见:
穷人的孩子天生都是笨蛋,教这些蠢笨的孩子念书不必认真,如果有机会还应该处罚他们,使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣。
这一天正是数学教师情绪低落的一天。
同学们看到老师那抑郁的脸孔,心里畏缩起来,知道老师又会在今天捉这些学生处罚了。
“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。
谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。
”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了。
教室里的小朋友们拿起石板开始计算:
“1加2等于3,3加3等于6,6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果,再加下去,数越来越大,很不好算。
有些孩子的小脸孔涨红了,有些手心、额上渗出了汗来。
还不到半个小时,小高斯拿起了他的石板走上前去。
“老师,答案是不是这样?
”
老师头也不抬,挥着那肥厚的手,说:
“去,回去再算!
错了。
”他想不可能这么快就会有答案了。
可是高斯却站着不动,把石板伸向老师面前:
“老师!
我想这个答案是对的。
”
数学老师本来想怒吼起来,可是一看石板上整整齐齐写了这样的数:
5050,他惊奇起来,因为他自己曾经算过,得到的数也是5050,这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢?
高斯解释他发现的一个方法,这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数1+2+3+…+n的方法。
高斯的发现使老师觉得羞愧,觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的。
他以后也认真教起书来,并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。
在他的鼓励下,高斯以后便在数学上作了一些重要的研究了。
二、趣味数学之等差数列
(一)等差数列的基本知识
1.数列的基本知识
2.等差数列的基本知识
(二)等差数列的项——等差数列的通项公式
1.等差数列的某一项=首项+公差×(项数-1)
例:
已知数列2、5、8、11、14……
求:
(1)它的第10项是多少?
(2)它的第98项是多少?
(3)这个数列各项被几除有相同的余数?
2.等差数列的项数=(末项-首项)÷公差+1
例:
已知数列2、5、8、11、14、17,这个数列有多少项?
3.小结等差数列项的有关规律
4.练习
1、一串数:
1、3、5、7、9、……49。
(1)它的第21项是多少?
(2)这串数共有多少个?
2、一串数:
2、4、6、8、……2008。
(1)它的第25项是多少?
(2)这串数共有多少个?
3、一串数:
101、102、103、104、……199。
(1)它的第30项是多少?
(2)这串数共有多少个?
4、一串数:
7、12、17、22……。
(1)它的第60项是多少?
(2)这个数列各项被几除有相同的余数?
三、总结:
说说上课后的感想
教学系列之八:
等差数列求和
(2)
教学目标:
1、让学生了解数学家斐波纳契的生平,提升学生的学习兴趣,激发学生学习数学的热情。
2、在趣味数学中学习等差数列在实际问题中的应用,提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。
教学过程:
一、意大利数学家斐波那契
经过12世纪的传播时期之后,初等数学在欧洲获得了相应的发展.在13世纪欧洲大多数国家里,城市成为商业和手工业发展的中心.特别是商业的发展,带来了相当复杂的计算.这时的欧洲出现了第一批理论数学家.意大利作为当时的商业中心,培育了中世纪最杰出的教学家——斐波那契。
斐波那契是一个商人的儿子,早年随父到过北非,跟从—阿拉伯教师学习计算。
后来到埃及、叙利亚、希腊、西西里和法国旅游,拜访各地的学者,熟悉了不同国家在商业上使用的算术体系。
经过研究和比较,他认为其他数系无一能与印度—阿拉伯数系相媲美。
斐波那契于1200年回到家乡,把在各地学得的数学知识加以总结,写成《算盘书》这是向西欧介绍印度—阿拉伯数系和阿拉伯数学的最早的著作。
这本书的开头介绍了一些算盘知识,而后却偏离了这一课题。
因此,书名中“算盘”一词已失去它作为计算工具的本意,而应理解为“算术”或由印度—阿拉伯数系而产生的“算法”。
斐波那契大量吸收并系统地总结了来自阿拉伯文献的数学知识,改进了欧氏几何的某些技巧,归纳了同种类型的方法和习题。
在算术和一、二次方程的代数学方面,已成为中世纪欧洲数学之典范。
下面简要介绍一下《算盘书》的主要内容。
《算盘书》共有15章.第1---5章介绍印度—阿拉伯数码记数法及其四则运算。
第6,7章介绍分数记法及其运算。
第8---11章讨论商业上实用的各种算术问题的解法。
在第11章讨论的混合问题。
第12章的内容最为丰富,涉及各种类型的问题,如各种数列的求和法:
算术级数、几何级数、平方数数列和递归数列等.几何级数的求和是为解决来自埃及纸草书中的问题,而递归数列的求和则出现在关于家兔繁殖的问题中:
假定每对大兔每月能生一对小兔,每对小兔生长两个月就成大兔,问在不发生死亡的条件下,由一对小兔开始,一年之后可繁殖成多少对兔子?
这个问题使斐波那契名垂史册.问题的答案由下列和式给出:
1+1+2+3+5+8+…+233.
其中从第三项起,每一项都是前两项的和。
这个数列现称斐波那契数列,这是在欧洲最早出现的递归数列,它有许多重要而有趣的性质,在以后的近800年中一直是许多学者研究的对象。
第13章是用双设法解线性方程。
第14章介绍平方根和立方根的近似计算。
第15章是问题汇编。
《算盘书》以它的内容丰富、方法有效、多样化的习题和令人信服的论证而名列12---14世纪数学著作之冠,对欧洲数学的发展产生了重要的影响。
2、趣味数学之等差数列求和
1.例:
6+10+14+18+22+26+30+34+38
2.例:
计算1+6+11+16+21+26+......+276
3.练习:
(1)7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37
(2)7+11+15+19+......+403
(3)9+19+29+39+......+99
(4)1+3+5+7+......+99
三、等差数列知识总结:
怎样判断一个数列是等差数列
怎样求出等差数列的任意一项或项数
怎样求出等差数列前几项的和
必须牢记等差数列的基本公式和重要结论
教学系列之九:
等差数列求和(3)
教学目标:
1、让学生了解数学家韩信的生平,感受数学魅力,激发学生学习数学的热情。
2、在趣味数学中学习等差数列在实际问题中的应用,提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。
教学过程:
一、韩信的故事
韩信是中国历史上最有名的军事家之一,被刘邦和吕后出于嫉妒和私心害死了。
历史上很多史家和学者为他平反,众多的诗人为他留下大量的诗篇。
围绕着韩信还流传了各种各样的传说。
在今天我们所介绍的两则传说中,人们把他作为智慧的化身,就寄托着历代人们对他的深切的同情和怀念。
韩信分油
据说有一天,韩信骑马走在路上,看见两个人正在路边为分油发愁。
这两个人有一只容量10斤的篓子,里面装满了油;还有一只空的罐和一只空的葫芦,罐可装7斤油,葫芦可装3斤油。
要把这10斤油平分,每人5斤。
但是谁也没有带秤,只能拿手头的三个容器倒来倒去。
应该怎样分呢?
韩信骑在马上,了解情况以后,说:
¡°葫芦归罐罐归篓,二人分油回家走。
¡±说完了,打马就走。
两个人按照韩信的办法倒来倒去,果然把油平均分成两半,每人5斤,高高兴兴,各自回家。
究竟是怎样倒来倒去的呢?
三种容器各自装油斤数的变化过程,可从下面的表中看出。
篓
10
7
7
4
4
1
1
8
8
5
5
罐
0
0
3
3
6
6
7
0
2
2
5
葫芦
0
3
0
3
0
3
2
2
0
3
0
韩信所说的¡°葫芦归罐¡±,是指把葫芦里的油往罐里倒;¡°罐归篓¡±是指把罐里的油往篓里倒。
通常分油要把油从大容器往小容器里倒,现在却把小容器里的油往大容器里¡°归¡±。
往油葫芦里倒油,只能得到3斤的油量;把葫芦里的油往罐里¡°归¡±,¡°归¡±到第三次,葫芦里就出现2斤的油量。
再把满满一罐油¡°归¡±到篓里,腾出空来,把葫芦里的2斤油¡°归¡±到空罐里;最后再倒一葫芦3斤油,¡°归¡±到罐里,就完成分油任务了。
韩信点兵
秦朝末年,楚汉相争。
一次,韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。
苦战一场,楚军不敌,败退回营,汉军也死伤四五百人,于是韩信整顿兵马也返回大本营。
当行至一山坡,忽有后军来报,说有楚军骑兵追来。
只见远方尘土飞扬,杀声震天。
汉军本来已十分疲惫,这时队伍大哗。
韩信兵马到坡顶,见来敌不足五百骑,便急速点兵迎敌。
他命令士兵3人一排,结果多出2名;接着命令士兵5人一排,结果多出3名;他又命令士兵7人一排,结果又多出2名。
韩信马上向将士们宣布:
我军有1073名勇士,敌人不足五百,我们居高临下,以众击寡,一定能打败敌人。
汉军本来就信服自己的统帅,这一来更相信韩信是¡°神仙下凡¡±、¡°神机妙算¡±。
于是士气大振。
一时间旌旗摇动,鼓声喧天,汉军步步进逼,楚军乱作一团。
交战不久,楚军大败而逃。
二、趣味数学之等差数列求和应用
1.例:
在一个分成64小格的方板的每个格子中放入石子。
如果第一格放入2粒,第二格放入4粒,第3格放入6粒,第四格放入8粒……依次类推,放满64格,一共要放入多少粒石子?
2.例:
在下图中,每个最小的等边三角形的面积是12厘米2,边长是1根火柴棍。
(1)最大三角形的面积是多少平方厘米?
(2)整个图形由多少根火柴棍摆成?
3.练习:
(1)丽丽学英语单词,第一天学会了6个,以后每天都比前一天多学会1个,最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中共学会了多少个单词?
(2)有一家电影院,共有30排座位,后一排都比前一排多两个位置,已知第一排有28个座位,那么这家电影院共可以容纳多少名观众?
(3)盒子里放有三只乒乓球,一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3只球后放回盒子里;第二次又从盒子里拿出二只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球,将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球?
(4)时钟在每个整点敲打,敲打的次数等于该钟点数,每半点钟也敲一下。
问:
时钟一昼夜敲打多少次?
三、总结:
说说上课后的感想
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- 关 键 词:
- 数学 思维 训练 年级