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一、二次函数与面积
中考二次函数综合题复习(含答案)
面积的求法:
①公式法:
S=1/2*底*高②分割法/拼凑法
1、如何表示各图中阴影部分的面积?
图二图三
图四图五图六
2、抛物线y=-x2-2x+3与x轴交与A、B(点A在B右侧),与y轴交与点C,D为抛物线的顶
点,连接BD,CD,
(1)求四边形BOCD的面积.
(2)求△BCD的面积.
3、已知抛物线y=1x2-x-4与x轴交与A、C两点,与y轴交与点B,
2
(1)求抛物线的顶点M的坐标和对称轴;
(2)求四边形ABMC的面积.
4、已二次函数y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点(A在B的左边),与y轴交于点C,顶点为P.
(1)结合图形,提出几个面积问题,并思考解法;
(2)
求A、B、C、P的坐标,并求出一个刚刚提出的图形面积;
(3)在抛物线上(除点C外),是否存在点N,使得S
∆NAB
=S∆ABC,
若存在,请写出点N的坐标;若不存在,请说明理由。
P
变式一:
在抛物线的对称轴上是否存点N,使得S∆NAB=S∆ABC,若存在直接写出N的坐标;若不存在,请说明理由.y
AB
Ox
C
变式二:
在双曲线y=3上是否存在点N,使得S
x
在,请说明理由.
∆NAB
=S∆ABC
,若存在直接写出
变式一图
N的坐标;若不存
5、抛物线y=-x2-2x+3与x轴交与A、B(点A在B右侧),与y轴交与点C,若点E为第二象限抛物线上一动点,点E运动到什么位置时,△EBC的面积最大,并求出此时点E的坐标和△EBC的最大面积.
【模拟题训练】
1.(2015•三亚三模)如图,直线y=﹣
x+2与x轴交于点B,与y轴交于点C,已知二次函数的图象
经过点B、C和点A(﹣1,0).
(1)求B、C两点坐标;
(2)求该二次函数的关系式;
(3)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D,则在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?
如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(4)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?
求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.
二、二次函数与相似
【相似知识梳理】
二次函数为背景即在平面直角坐标系中,通常是用待定系数法求二次函数的解析式,在求点的坐
标过程中需要用到相似三角形的一些性质,如何利用条件找到合适相似三角形是需要重点突破的难点。
其实破解难点以后不难发现,若是直角三角形相似无非是如图1-1的几种基本型。
若是非直角三角形有如图1-2的几种基本型。
利用几何定理和性质或者代数方法建议方程求解都是常用的方法。
【例题点拨】
【例1】如图1-3,二次函数y=ax2+bx+2的图像与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,经过
点A的直线y=kx-2与y轴相交于点D,与直线BC垂直于点E,已知AB=3,求这个二次函数的解析式。
【例2】如图1-4,直角坐标平面内,二次函数图象的顶点坐标为C(4,-AB的长为6.
(1)求二次函数解析式;
,且在x轴上截得的线段
(2)
在x轴上方的抛物线上,是否存在点D,使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似?
若存在,求出点D的坐标,若不存在,请说明理由。
【例3】如图1-6,在平面直角坐标系中,二次函数y=-1x2+bx+c-的图像经过点A(4,0),
4
C(0,2)。
(1)试求这个二次函数的解析式,并判断点B(-2,0)是否在该函数的图像上;
(2)
设所求函数图像的对称轴与x轴交于点D,点E在对称轴上,若以点C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似,试求点E的坐标。
图1-6
【模拟题训练】
2.(2015•崇明县一模)如图,已知抛物线y=
x2+bx+c经过直线y=﹣
+1与坐标轴的两个交点A、B,点C为抛物线上的一点,且∠ABC=90°.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点C坐标;
(3)直线y=﹣
x+1上是否存在点P,使得△BCP与△OAB相似?
若存在,请直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
三、二次函数与垂直
【方法总结】
①应用勾股定理证明或利用垂直②三垂直模型
【例1】:
如图,直线l过等腰直角三角形ABC顶点B,A、C两点到直线l的距离分别是2和3,则AB的长是()
【例2】:
在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(-3,0)、B(1,0)过顶点C作CH⊥x轴于点H.
(1)直接填写:
a=,b=,顶点C的坐标为;
(2)在y轴上是否存在点D,使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形?
若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;
【例3】、如图,已知抛物线y=x2+bx-3a过点A(1,0),B(0,-3),与x轴交于另一点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若在第三象限的抛物线上存在点P,使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形,求点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,在抛物线上是否存在一点Q,使以P,Q,B,Cy
为顶点的四边形为直角梯形?
若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,
请说明理由.
COAx
B
(图26图图)
【模拟题训练】
3.(2015•普陀区一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(m,0)和点B(0,2m)(m>0),
点C在x轴上(不与点A重合)
(1)当△BOC与△AOB相似时,请直接写出点C的坐标(用m表示)
(2)当△BOC与△AOB全等时,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A、B、C三点,求m的值,并求点C的坐标
(3)P是
(2)的二次函数图象上的一点,∠APC=90°,求点P的坐标及∠ACP的度数.
4.如图,已知抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为M,与x轴交于A、B两点.
(1)判断△MAB的形状,并说明理由;
(2)过原点的任意直线(不与y轴重合)交抛物线于C、D两点,连接MC、MD,试判断MC、MD
是否垂直,并说明理由.
四、二次函数与线段
题目类型:
①求解线段长度(定值,最值):
充分利用勾股定理、全等、相似、特殊角(30°,45°,60°,90°,120°等)、特殊三角形(等腰△、等腰直角△、等边△)、特殊线(中位线、中垂线、角平分线、弦等)、对称、函数(一次函数、反比例函数、二次函数等)等知识。
②判断线段长度关系:
a=b,a=√2b,a+b=c,a+b=√2c,a2+b2=c2,a*b=c2
【模拟题训练】
5.(2015•ft西模拟)如图1,P(m,n)是抛物线y=
x2﹣1上任意一点,l是过点(0,﹣2)且与x
轴平行的直线,过点P作直线PH⊥l,垂足为H.
【特例探究】
(1)填空,当m=0时,OP=,PH=;当m=4时,OP=
,PH=.
【猜想验证】
(2)对任意m,n,猜想OP与PH大小关系,并证明你的猜想.
【拓展应用】
(3)如图2,如果图1中的抛物线y=
x2﹣1变成y=x2﹣4x+3,直线l变成y=m(m<﹣1).已知抛物线y=x2﹣4x+3的顶点为M,交x轴于A、B两点,且B点坐标为(3,0),N是对称轴上的一点,直线y=m(m<﹣1)与对称轴于点C,若对于抛物线上每一点都有:
该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离.
①用含m的代数式表示MC、MN及GN的长,并写出相应的解答过程;
②求m的值及点N的坐标.
五、二次函数与角度结题方法总结
角度相等的利用和证明:
①直接计算②平行线③等腰三角形④全等、相似三角形⑤角平分线性质⑥倒角(∠1=∠3,∠2=∠3→∠1=∠2)
【构造三垂直模型法】例1:
如图,在平面直角坐标系xOy中,点P为抛物线上一动点,点A
的坐标为(4,2),若∠AOP=45°,则点P的坐标为()
【直接计算】例2.如图,抛物线与x轴交于
A,B两点,与y轴交于点C,点D是抛物线的对称轴与x轴的交点,点P是抛物线上一点,且
∠DCP=30°,则符合题意的点P的坐标为()
【与几何图形结合】例4、二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于C点,在二次函数的图象上是否存在点P,使得∠PAC为锐角?
若存在,请你求出P点的横坐标取值范围;若不存在,请你说明理由。
【利用相似】例3、已知抛物线y=ax2+byx+c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与轴交于点C(0,3),过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D,抛物线的顶点为M,
直线y=x+5经过D、M两点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)连接AM、AC、BC,试比较∠MAB和∠ACB的大小,并说明你的理由.
【模拟题训练】
6.(2015•松江区一模)已知在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx的图象经过点(1,﹣3)
和点(﹣1,5);
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)将这个二次函数的图象向上平移,交y轴于点C,其纵坐标为m,请用m的代数式表示平移后函数图象顶点M的坐标;
(3)在第
(2)小题的条件下,如果点P的坐标为(2,3),CM平分∠PCO,求m的值.
六、二次函数与平行四边形
解题方法总结:
①平行线的性质(同位角,内错角,同旁内角)②比较一次函数k值③平行四边形的性质④注意多解性
【模拟题训练】
7.如图,抛物线y=x2+bx﹣3与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),直线l与抛物线交于
A、C亮点,其中C的横坐标为2.
(1)求A、C两点的坐标及直线AC的函数解析式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点E,求△ACE面积的最大值;
(3)点G是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形?
如果存在,求出所有满足条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
七、二次函数与图形转换
常见图像变换:
①平移(上加下减,左加右减)②轴对称(折叠)
【模拟题训练】
8.(2014•西城区一模)抛物线y=x2﹣kx﹣3与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,其中点B的坐标为
(1+k,0).
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)将
(1)中的抛物线沿对称轴向上平移,使其顶点M落在线段BC上,记该抛物线为G,求抛物线G所对应的函数表达式;
(3)
将线段BC平移得到线段B′C′(B的对应点为B′,C的对应点为C′),使其经过
(2)中所得抛物线G的顶点M,且与抛物线G另有一个交点N,求点B′到直线OC′的距离h的取值范围.
模拟训练题参考答案
1考点:
二次函数综合题.
分析:
(1)分别令解析式y=﹣
x+2中x=0和y=0,求出点B、点C的坐标;
(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,将点A、B、C的坐标代入解析式,求出a、b、c的值,进而求得解析式;
(3)由
(2)的解析式求出顶点坐标,再由勾股定理求出CD的值,再以点C为圆心,CD为半径作弧交对称轴于P1,以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2,P3,作CE垂直于对称轴与点E,由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论;
(4)设出E点的坐标为(a,﹣
a+2),就可以表示出F的坐标,由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△
CEF+S△BEF求出S与a的关系式,由二次函数的性质就可以求出结论.解答:
解:
(1)令x=0,可得y=2,
令y=0,可得x=4,
即点B(4,0),C(0,2);
(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,将点A、B、C的坐标代入解析式得,
,
解得:
,
即该二次函数的关系式为y=﹣x2+x+2;
(3)∵y=﹣x2+x+2,
∴y=﹣(x﹣)2+,
∴抛物线的对称轴是x=.
∴OD=.
∵C(0,2),
∴OC=2.
在Rt△OCD中,由勾股定理,得
CD=.
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形,
∴CP1=DP2=DP3=CD.
如图1所示,作CH⊥x对称轴于H,
∴HP1=HD=2,
∴DP1=4.
∴P1(,4),P2(,),P3(,﹣);
(4)当y=0时,0=﹣x2+x+2
∴x1=﹣1,x2=4,
∴B(4,0).
∵直线BC的解析式为:
y=﹣x+2.
如图2,过点C作CM⊥EF于M,设E(a,﹣a+2),F(a,﹣a2+a+2),
∴EF=﹣a2+a+2﹣(﹣a+2)=﹣a2+2a(0≤x≤4).
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN,
=+a(﹣a2+2a)+(4﹣a)(﹣a2+2a),
=﹣a2+4a+(0≤x≤4).
=﹣(a﹣2)2+
∴a=2时,S四边形CDBF的面积最大=,
∴E(2,1).
点评:
本题考查了二次函数的综合运用,涉及了待定系数法求二次函数的解析式的运用,勾股定理的运用,等腰三角形的性质的运用,四边形的面积的运用,解答时求出函数的解析式是关键.
2.
考点:
二次函数综合题.
分析:
(1)根据直线的解析式求得A、B的坐标,然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式;
(2)作CD⊥x轴于D,根据题意求得∠OAB=∠CBD,然后求得△AOB∽△BDC,根据相似三角形对应边成比例求得CD=2BD,从而设BD=m,则C(2+m,2m),代入抛物线的解析式即可求得;
(3)分两种情况分别讨论即可求得.
解答:
解:
(1)把x=0代入y=﹣
x+1得,y=1,
∴A(0,1),
把y=0代入y=﹣
x+1得,x=2,
∴B(2,0),
把A(0,1),B(2,0)代入y=
x2+bx+c得,,解得,
∴抛物线的解析式y=
x2﹣
x+1,
(2)如图,作CD⊥x轴于D,
∵∠ABC=90°,
∴∠ABO+∠CBD=90°,
∴∠OAB=∠CBD,
∵∠AOB=∠BDC,
∴△AOB∽△BDC,
∴
=
=2,
∴CD=2BD,
设BD=m,
∴C(2+m,2m),
代入y=
x2﹣
x+1得,2m=
(m+2)2﹣
(m+2)+1,解得,m=2或m=0(舍去),
∴C(4,4);
(3)∵OA=1,OB=2,
∴AB=
,
∵B(2,0),C(4,4),
∴BC=2
,
①当△AOB∽△PBC时,则
=
∴
=
,解得,PB=,
作PE⊥x轴于E,则△AOB∽△PEB,
∴=,即=,
∴PE=1,
∴P的纵坐标为±1,代入y=﹣
x+1得,x=0或x=4,
∴P(0,1)或(4,﹣1);
②当△AOB∽△CBP时,则
=
,即
=
,解得,PB=4,
作PE⊥x轴于E,则△AOB∽△PEB,
∴
=
,即
=
,
∴PE=4,
∴P的纵坐标为±4,代入y=﹣
x+1得,x=﹣6或x=10,
∴P(﹣6,4)或(10,﹣4);
综上,P的坐标为(0,1)或(4,﹣1)或(﹣6,4)或(
10,﹣4).
点评:
本题是二次函数和一次函数的综合题,考查了待定系数法、三角形相似的判定和性质,数形结合运用是解题的关键.
3.
考点:
二次函数综合题.
分析:
(1)分类讨论:
△BOC∽△BOA,△BOC∽△AOB,根据相似三角形的性质,可得答案;
(2)根据全等三角形的性质,可得C点坐标,根据待定系数法,可得函数解析式;
(3)根据相似三角形的性质,可得关于a的方程,根据解方程,可得a的值可得p点坐标,分类讨论当点P的坐标为(
,1)时,根据正弦函数据,可得∠COP的度数,根据等腰三角形得到性质,可得答案;当点P的坐标为(﹣
,1)时,根据正弦函数据,可得∠AOP的度数,根据三角形外角的性质,可得答案.
解答:
解:
(1)点C的坐标为(m,0)或(4m,0).或(﹣4m,0);
(2)
当△BOC与△AOB全等时,点C的坐标为(m,0),二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A、B、C三点,
,解得.
二次函数解析式为y=﹣x2+4,点C的坐标为(2,0);
(3)作PH⊥AC于H,设点P的坐标为(a,﹣a2+4),
∵∠AHP=∠PHC=90°,∠APH=∠PCH=90°﹣∠CPH,
∴△APH∽△PCH,∴
=
,即PH2=AH•CH,
(﹣a2+4)2=(a+2)(2﹣a).
解得a=
,或a=﹣
,即P(
,1)或(﹣
,1),如图:
当点P1的坐标为(,1)时,
OP1=2=OC,sin∠P1OE=
=75°
当点P的坐标为(﹣
=,∠P2OF=30°.
=∴∠COP=30°,∴∠ACP=
,1)时,sin∠P2OF=
由三角形外角的性质,得∠P2OF=2∠ACP,即
∠ACP=15°.
点评:
本题考查了二次函数综合题,
(1)利用了相似三角形的性质,分类讨论是解题关键;
(2)利用全等三角形的性质,解三元一次方程组;(3)利用了相似三角形的性质,分类讨论是解题关键,正弦函数及等腰三角形的性质,三角形外角的性质.
4.
考点:
二次函数综合题.
分析:
(1)由抛物线的解析式可知OA=OB=OM=1,得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°从而得出△MAB是等腰直角三角形.
(2)分别过C点,D点作y轴的平行线,交x轴于E、F,过M点作x轴的平行线交EC于G,交DF于H,设D(m,m2﹣1),C(n,n2﹣1),通过EG∥DH,得出
=
,从而求得m、n的关系,根据m、n的关系,得出△CGM∽△MHD,利用对应角相等得出∠CMG+∠DMH=90°,即可求得结论.
解答:
解:
(1)△MAB是等腰直角三角形.理由如下:
由抛物线的解析式为:
y=x2﹣1可知A(﹣1,0),B(1,0),
∴OA=OB=OM=1,
∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°,
∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°,AM=BM,
∴△MAB是等腰直角三角形.
(2)MC⊥MD.理由如下:
分别过C点,D点作y轴的平行线,交x轴于E、F,过M点作x轴的平行线交EC于G,交DF于H,
设D(m,m2﹣1),C(n,n2﹣1),
∴OE=﹣n,CE=1﹣n2,OF=m,DF=m2﹣1,
∵OM=1,
∴CG=n2,DH=m2,
∵EG∥DH,
,
解得m=﹣,
∴=,
∵∠CGM=∠MHD=90°,
∴△CGM∽△MHD,
∴∠CMG=∠MDH,
∵∠MDH+∠DMH=90°
∴∠CMG+∠DMH=90°,
∴∠CMD=90°,即MC⊥MD.
5.(2015•ft西模拟)如图1,P(m,n)是抛物线y=
x2﹣1上任意一点,l是过点(0,﹣2)且与x轴平行的直线,过点P作直线PH⊥l,垂足为H.
【特例探究】
(1)填空,当m=0时,OP=1,PH=1;当m=4时,OP=5,PH=5.
【猜想验证】
(2)对任意m,n,猜想OP与PH大小关系,并证明你的猜想.
【拓展应用】
(3)如图2,如果图1中的抛物线y=
x2﹣1变成y=x2﹣4x+3,直线l变成y=m(m<﹣1).已知抛物线y=x2﹣4x+3的顶点为M,交x轴于A、B两点,且B点坐标为(3,0),N是对称轴上的一点,直线y=m(m<﹣1)与对称轴于点C,若对于抛物线上每一点都有:
该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离.
①用含m的代数式表示MC、MN及GN的长,并写出相应的解答过程;
②求m的值及点N的坐标.
考点:
二次函数综合题.
分析:
(1)根据勾股定理,可得OP的长,根据点到直线的距离,可得可得PH的长;
(2)根据图象上的点满足函数解析式,可得点的坐标,根据勾股定理,可得PO的长,根据点到直线的距离,可得PH的长;
(3)①根据该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离,可得CM=MN,根据线段的和差,可得GN的长;
②对于抛物线上每一点都有:
该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离,可得方程,根据解方程,可得m的值,再根据线段的和差,可得GN的长.
解答:
解:
(1)当m=0时,P(0,﹣1),OP=1,PH=﹣1﹣(﹣2)=1;
当m=4时,y=3,P(4,3),OP=
=5,PH=3﹣(﹣2)=3+2=5,故答案为:
1,1,5,5;
(2)猜想:
OP=PH,
证明:
PH交x轴与点Q,
∵P在y=
x2﹣1上,
∴设P(m,
m2﹣1),PQ=|
x2﹣1|,OQ=|m|,
∵△OPQ是直角三角形,
∴OP=
===
m2+1,
PH=yp﹣(﹣2)=(m2﹣1)﹣(﹣2)=m2+1OP=PH.
(3)①CM=MN=﹣m﹣1,GN=2+m,
理由如下:
对于抛物线上每一点都有:
该点到直线y=m
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