数论02二次同余式与平方剩余43勒让德符号.docx
- 文档编号:28121765
- 上传时间:2023-07-08
- 格式:DOCX
- 页数:11
- 大小:469.53KB
数论02二次同余式与平方剩余43勒让德符号.docx
《数论02二次同余式与平方剩余43勒让德符号.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数论02二次同余式与平方剩余43勒让德符号.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
数论02二次同余式与平方剩余43勒让德符号
第
章
二次同余式与平方剩余
4.3勒让彳惠苻号
■一勒让德符号定义
■二欧拉判别法则■三高斯引理
■四定理3及其证明
ate
2013-410
一勒让彳惠符号定以
思考题
(一):
.Oo(r)求模17的平方剩余和平方非剩余
I2=162=1,22=152=4,
32三14?
三9,4?
三13,三16三一1,
52=122=&F三11?
三2,
72=102=15,82=92=13(modl刀
2013-410
勒iJL徳号定义
思考题
(二):
・。
。
辽]
判断5是不是模17的平方剩余?
52=25=8(mod17),51=82三—l(mod17)
5s=(-4)=16=-1(mod17)
所以5是模17的平方非剩余
ate
2013-410
—r勒庁上德符号
定义1设p是素数,定义勒让德符号如下:
卜若。
是模"的平方剩余
(a)=<-L若d是模#的平方非剩余
P0,若p'a
~r勒德符号
由定义駅
瓠P冋财■仔卜1,翻»
敦论
Sodp)有解或杖有解.
2013-410
二欧拉判别法
定土甲.1(欧扌立判另IJ法贝IJ)设P是奇-素数,贝驭寸任意執数a,
(自三a乎(modp)
例2证明2是模17平方剩余;3是17平方非剩余.
解:
因为(17-1)/2=2',且有
2=4,2’=4=—1,2、=(—I)2=l(mod17)
32三9,34三9’三-4,38三(-4)2三一l(mod17)
2013-4-10»tC
二欧拉判别法
根据欧拉判断法则,并注意到a二1时,
=1以及a=・l时,<<=(一1)丁,且P是
奇数.
推论1,设p是奇素数,则
2013-4-10敷陀7
二欧拉判另!
J法
例1若质数9=如+1,期一1是p的平方剩余;若P0
4匕一I..则一1是P的平方非剩余.
=一1・于是由定义知绪论成立.
二欧拉判别法
推论2设p是奇索数,刃R么
若p三1(mod4)若p三3(mod4)
iiR木2掬;区久J立旳J另U法贝iJ•找彳门YZ
=(一1)丁
贝ijwxlK轄数k仗码卩=41<+1,从而(于〕=j
2013-410
二欧拉判别法
(iii)设3"则(p)=1
2013-4-10Ste
二欧拉判别法
ill:
(i)I大I为=a4-p(modp)
咎价JT4:
^工弋x2=a(modp)
2013-410
二欧拉判别法
因为勒让徳符号取值±1,且p是奇素数,所以我们有
'ab、
Ip?
Ip>
二欧拉判别法
推论设p是奇素数,如果整数爲b满足
二欧拉判别法
2013-410
证:
由欧拉判别法则及a=b(modp)知
—=a2=b2=—(modp)
Ip丿Ip丿
所以一——=0(modp)Ip丿Ip丿
证毕.
2013-4-10敷堆
三高斯引理
引理(Gauss)设p是奇素数,a是整数,
(a,p)=l,如果整数a•1,a•2,…,a・—
2
中模p的最小正剩余大于R的个数是m,
2
/、
则-三(_1广
(p丿
2013-4-10ftte1»
三高斯弓I理
址设a(,a?
---,at是整数a・l,a・2,…,
a模P的小于舟的最小正剩余,
22
b「b,・・,»是这些整数模p的大于号的最小正剩余,则
2
三高斯弓I理
)!
=IIak=nafib
k—・K1j—1J
(—l),nIItijfl(p—b)(modp)
易矢口,…,p—・・・,p—叽是
模P网网不同余的,否则,我们有ak=p—ak」,S^ak+ak」三0(modp)
三高斯弓I理
因而匕+kj三0(modp),这不可自巨,因为1Mk+kV+已二vp.
1J22”因为(ak,p)=I,k=1,•••,P以
个整数码,…,a.,p_—bm
是1,…,呼的一个排列,故
2
三高斯弓I理
a叮(&^)!
三(-1)fla.nCp-b)
(:
]=(-l)m证毕.
2013-410
例子計算勧镶徳拧兮(書)的値。
这电寺S-丄)=\(31-1)-15.我們求出,數口
15,—30,3-15^45,4・15=60,5-15=75,
G・17・15^105,8・15=120・9-W—135.
10.15—15(),11・15=165・工2・1活=180.1B-I5=1<>f
1.4-15=210,15.15—226
钺31除时所得的余数分別处:
15130,14,^»18,28,12,27,11,2«,10,25>9,24,8.
我們石山,共有7个余数:
30,29,28,27,26,25,24,
是大丁寺护==弩旳。
所以,(醫)=(—H)7"—*1.
2013-4-102»
三高斯弓I理
定理3设p是奇素数.
(i)—=(一1)Ip丿
(ii)若(a,2p)=l,则
(、a
=(一
ak
JP丿
LpJ
2013-4-10
ate
21
PT
8
9
定理3的证明
uE因为
+!
;,()vrkVp,k=1,
p-1
对k=i,•…,与1求和,我们有p2-1宁「ak
a—=PS
8—
p-l
p-i
=PS
+±込+±(p-b)+2±b-mp•-1Jj->
一P一
+牙“p+2討
ate
定理3的证明
内此,
2_|
因而mm(mod2)
8
定理3白勺证明
故由引理知定理1成立.
本节小结
•1介绍勒让徳符号定义
•2重新定义欧拉判别法则
•3证明了高斯引理及相应定理3
2013-410
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数论 02 二次 同余式 平方 剩余 43 勒让德 符号