曲线积分与曲面积分解题方法归纳.docx
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曲线积分与曲面积分解题方法归纳
第十一章解题方法归纳
一、曲线积分与曲面积分的计算方法
1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下 :
(1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分.
(2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分
(3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分.
(4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分.
(5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分.
(6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分.
2. 在具体计算时,常用到如下一些结论:
(1)若积分曲线 L 关于 y 轴对称,则
⎰
L
⎧⎪ 0
f ( x, y)ds = ⎨
1
f 对x为奇函数
f 对x为偶函数
⎧⎪0P对x为奇函数
LP对x为偶函数
1
⎧⎪0Q对x为偶函数
L
1
其中 L 是 L 在右半平面部分.
1
若积分曲线 L 关于 x 轴对称,则
⎰
L
⎧⎪ 0
f ( x, y)ds = ⎨
1
f 对y为奇函数
f 对y为偶函数
⎧⎪0P对y为偶函数
LP对y为奇函数
1
⎧⎪0Q对y为奇函数
L
1
其中 L 是 L 在上半平面部分.
1
(2)若空间积分曲线 L 关于平面 y = x 对称,则⎰
L
1 / 13
f ( x)ds = ⎰ f ( y)ds .
L
(3)若积分曲面 ∑ 关于 xOy 面对称,则
⎰⎰
∑
⎧0 f 对z为奇函数
⎪
⎪
⎧0R对z为偶函数
⎪
∑
其中 ∑ 是 ∑ 在 xOy 面上方部分.
1
若积分曲面 ∑ 关于 yOz 面对称,则
⎰⎰
∑
⎧0 f 对x为奇函数
⎪
⎪
⎧0P对x为偶函数
⎰⎰ P( x, y, z)dydz = ⎪ 2⎰⎰ P( x, y, z)dydzP对x为奇函数
∑
其中 ∑ 是 ∑ 在 yOz 面前方部分.
1
若积分曲面 ∑ 关于 zOx 面对称,则
⎰⎰
∑
⎧0 f 对y为奇函数
⎪
⎪
⎧0Q对y为偶函数
⎪
∑
其中 ∑ 是 ∑ 在 zOx 面右方部分.
1
⎧ x = x(t )
(4)若曲线弧 L :
⎨(α ≤ t ≤ β ) ,则
⎩ y = y(t )
⎰
L
f ( x, y)ds = ⎰ β f [x(t ), y(t )] x'2 (t ) + y'2 (t )dt
α
(α < β )
若曲线弧 L :
r = r (θ )(α ≤ θ ≤ β ) (极坐标),则
⎰
L
f ( x, y)ds = ⎰ β f [r (θ )cos θ , r (θ )sin θ ] r 2 (θ ) + r '2 (θ )dθ
α
⎧ x = x(t )
⎪
⎩
2 / 13
⎰
Γ
f ( x, y, z)ds = ⎰ β f [x(t ), y(t ), z(t )] x'2 (t ) + y'2 (t ) + z'2 (t )dt (α < β )
α
⎧ x = x(t )
⎩
⎰
L
P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ⎰ β {P [x(t ), y(t )]x'(t ) + Q [x(t ), y(t ) ]y'(t )}dt
α
⎧ x = x(t )
⎪
⎩
⎰
P( x, y, z)dx + Q( x, y, z)dy + R( x, y, z )dz
Γ
= ⎰ β {P [x(t ), y(t ), z (t )]x'(t ) + Q [x(t ), y(t ), z (t )]y'(t ) + R [x(t ), y(t ), z (t ) ]z '(t )}dt
α
(6)若曲面 ∑ :
z = z ( x, y)(( x, y) ∈ D ) ,则
xy
⎰⎰ f ( x, y, z)dS = ⎰⎰ f [x, y, z( x, y)] 1 + z' 2 ( x, y) + z' 2 ( x, y)dxdy
xy
∑
D
xy
其中 D 为曲面 ∑ 在 xOy 面上的投影域.
xy
若曲面 ∑ :
x = x( y, z )(( y, z) ∈ D ) ,则
yz
⎰⎰ f ( x, y, z)dS = ⎰⎰ f [x( y, z), y, z ]
∑Dyz
其中 D 为曲面 ∑ 在 yOz 面上的投影域.
yz
若曲面 ∑ :
y = y( x, z )(( x, z ) ∈ D ) ,则
zx
⎰⎰ f ( x, y, z)dS = ⎰⎰ f [x, y( x, z), z ]
1 + x' 2 ( y, z) + x'2 ( y, z)dydz
y z
1 + y'2 ( y, z) + y' 2 ( y, z)dzdx
z x
∑
Dzx
其中 D 为曲面 ∑ 在 zOx 面上的投影域.
zx
(7)若有向曲面 ∑ :
z = z( x, y) ,则
⎰⎰ R( x, y, z)dxdy = ± ⎰⎰ R[ x, y, z( x, y)]dxdy (上“+”下“-”)
∑Dxy
其中 D 为 ∑ 在 xOy 面上的投影区域.
xy
若有向曲面 ∑ :
x = x( y, z) ,则
⎰⎰ P( x, y, z)dydz = ± ⎰⎰ P[ x( y, z), y, z]dydz (前“+”后“-”)
∑Dyz
其中 D 为 ∑ 在 yOz 面上的投影区域.
yz
3 / 13
若有向曲面 ∑ :
y = y( x, z) ,则
⎰⎰ Q( x, y, z)dzdx = ± ⎰⎰ Q[ x, y( x, z ), z ]dzdx (右“+”左“-”)
∑
Dzx
其中 D 为 ∑ 在 zOx 面上的投影区域.
zx
⎰
(8) ⎰ Pd x + Qd y 与路径无关 ⇔ ÑPd x + Qd y = 0 ( c 为 D 内任一闭曲线)
Lc
⇔ du ( x, y) = Pdx + Qdy (存在 u ( x, y) )
∂Q
=
∂ y∂ x
其中 D 是单连通区域, P( x, y), Q( x, y) 在 D 内有一阶连续偏导数.
(9)格林公式
ÑP( x, y)dx + Q( x, y)dy = ⎰⎰ ⎛ ∂Q - ∂P ⎫dxdy
D
其中 L 为有界闭区域 D 的边界曲线的正向, P( x, y), Q( x, y) 在 D 上具有一阶连续
偏导数.
(10)高斯公式
⎝ ∂x∂y∂z ⎭
∑Ω
或
∑ Ω
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎭
其中 ∑ 为空间有界闭区域 Ω 的边界曲面的外侧, P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) 在
Ω 上具有一阶连续偏导数, cos α ,cos β ,cos γ 为曲面 ∑ 在点 ( x, y, z) 处的法向量的
方向余弦.
(11)斯托克斯公式
dydzdzdxdxdy
⎰
ÑPdx + Qdy + Rdz = ⎰⎰∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Γ∑
P
Q
R
其中 Γ 为曲面 ∑ 的边界曲线,且 Γ 的方向与 ∑ 的侧(法向量的指向)符合右手螺
旋法则, P, Q, R 在包含 ∑ 在内的空间区域内有一阶连续偏导数.
1. 计算曲线积分或曲面积分的步骤:
4 / 13
(1)计算曲线积分的步骤:
1)判定所求曲线积分的类型(对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分);
2)对弧长的曲线积分,一般将其化为定积分直接计算;
对坐标的曲线积分:
①判断积分是否与路径无关,若积分与路径无关,重新选取特殊路径积分;
②判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件,若满足条件,利用
格林公式计算(添加的辅助线要减掉);
③将其化为定积分直接计算.
④对空间曲线上的曲线积分,判断是否满足斯托克斯公式的条件,若满足
条件,利用斯托克斯公式计算;若不满足,将其化为定积分直接计算.
(2)计算曲面积分的步骤:
1)判定所求曲线积分的类型(对面积的曲面积分或对坐标的曲面积分);
2)对面积的曲面积分,一般将其化为二重积分直接计算;
对坐标的曲面积分:
① 判断是否满足或添加辅助面后满足高斯公式的条件,若满足条件,利用
高斯公式计算(添加的辅助面要减掉);
② 将其投影到相应的坐标面上,化为二重积分直接计算.
例 1计算曲线积分 I = ⎰
L
dx + dy
x + y + x2
,其中 L 为 x + y = 1取逆时针方向.
解I = ⎰
L
dx + dy dx + dy dx dy
x + y + x 2 L 1 + x 2 L 1 + x 2 L 1 + x 2
由于积分曲线 L 关于 x 轴、 y 轴均对称,被积函数 P = Q =
函数,因此
1
1 + x2
对 x 、 y 均为偶
dx
L 1 + x
2
= 0 ,
dy
L 1 + x
2
= 0
故I = ⎰
L
dx + dy
x + y + x
2
= 0
『方法技巧』对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不
同,记清楚后再使用.事实上,本题还可应用格林公式计算.
5 / 13
例 2计 算 曲 面 积 分 I = ⎰⎰ (ax + by + cz + n)2 dS , 其 中 ∑ 为 球 面
∑
x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .
解I = ⎰⎰ (ax + by + cz + n)2 dS
∑
= ⎰⎰ (a2 x2 + b2 y 2 + c2 z 2 + n2 + 2abxy + 2acxz + 2bcyz + 2anx + 2bny + 2cnz)dS
∑
由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知
⎰⎰ xydS = ⎰⎰ xzdS = ⎰⎰ yzdS = ⎰⎰ xdS = ⎰⎰ ydS = ⎰⎰ zdS = 0
∑∑∑∑∑∑
又由轮换对称性知
dS = ⎰⎰ y dS = ⎰⎰ z
⎰⎰ x222dS
∑∑∑
故I = a2 ⎰⎰ x2dS + b2 ⎰⎰ y 2dS + c2 ⎰⎰ z 2dS + n2 ⎰⎰ dS
∑∑∑∑
= (a2 + b2 + c2 )⎰⎰ x2dS + n2 ⎰⎰ dS
∑∑
=
a2 + b2 + c2
2
+ y 2 + z 2 )dS + 4π R2n2
∑
a2 + b2 + c2R2
33
∑
『方法技巧』 对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不
同,理解起来更容易些.若碰到积分曲面是对称曲面,做题时可先考虑一下对称
性.
⎰⎰
例 3计算曲面积分 Ò ( x2 + y 2 + z 2 )dS ,其中 ∑ 为球面 x2 + y 2 + z 2 = 2ax .
∑
解乙 x + y 2 + z 2 )dS =
∑
⎰⎰ 2axdS = 2a 乙x - a)dS + 2a 2 ⎰⎰ dS
∑ ∑ ∑
⎰⎰
= 0 + 2a2 Ò dS = 2a2 g4π a2 = 8π a4
∑
『方法技巧』 积分曲面 ∑ 是关于 x - a = 0 对称的,被积函数 x - a 是 x - a 的
⎰⎰
奇函数,因此 Ò ( x - a)dS = 0
∑
例 4计算曲线积分 Ñ
L
xy 2dy - x2 ydx
6 / 13
时针方向.
解法 1直接计算. 将积分曲线 L 表示为参数方程形式
⎧ x = a cosθ
L :
⎨
⎩ y = a sin θ
(θ :
0 → 2π )
代入被积函数中得
22 ydx
Lx2 + y 2
= a3 ⎰ 2π [cosθ sin 2 θ cosθ - cos2 θ sin θ (- sin θ )]dθ
0
= 2a3 ⎰ 2π sin 2 θ cos2 θ dθ = 2a3 ⎰ 2π sin 2 θ (1- sin 2 θ )dθ
0
0
π
0⎝ 2 24 2 2 ⎭2
解法 2利用格林公式
22 ydx
Lx2 + y 2=
1
L
xy 2dy - x2 ydx = 1
a
⎰⎰ ( x2 + y 2 )dxdy
D
其中 D :
x 2 + y 2 ≤ a 2 ,故
2 2 ydx
L x2 + y 2
=
1 2π
a 0 2
『方法技巧』本题解法 1 用到了定积分的积分公式:
⎧ n - 1 n - 3
π
⎰ 2 sin n θ dθ = ⎨
0
⎪⎩ nn - 2
2
3
3 1 π
4 2 2
解法 2 中,一定要先将积分曲线 x 2 + y 2 = a 2 代入被积函数的分母中,才能应
用格林公式,否则不满足 P, Q 在 D 内有一阶连续偏导数的条件.
例 5计算曲线积分 ⎰( x + y)dx - ( x - y)dy ,其中 L 为沿 y = π cos x 由点
Lx2 + y 2
A(-π , π ) 到点 B(-π , -π ) 的曲线弧.
解直接计算比较困难.
由于P =
x + y - x + y
Q =
x2 + y 2 x2 + y 2
,
∂P x2 - y 2 - 2 xy ∂Q
= =
∂y ( x2 + y 2 )2 ∂x
因此在不包含原点 O(0,0) 的单连通区域内,积分与路径无关.
取圆周 x 2 + y 2 = 2π 2 上从 A(-π , π ) 到点 B(-π , -π ) 的弧段 L' 代替原弧段 L ,
7 / 13
其参数方程为:
L
⎧⎪ x = 2π cos θ
' :
⎨
π
4 →
5π
4
) ,代入被积函数中得
⎰
L
( x + y)dx - ( x - y)dy 1
=
x2 + y 2 2π 2
⎰
L'
( x + y)dx - ( x - y)dy
5π
π
-
4
5π
π
-
4
『方法技巧』本题的关键是选取积分弧段 L' ,既要保证 L' 简单,又要保
证不经过坐标原点.
例 6计算曲面积分 ⎰⎰ xdydz + ydzdx + zdxdy ,其中 ∑ 为 x +y + z = 1 的法
∑
向量与各坐标轴正向夹锐角的侧面.
解由于曲面 ∑ 具有轮换对称性, ⎰⎰ xdydz = ⎰⎰ ydzdx = ⎰⎰ zdxdy , ∑ 投影到
(
xOy 面的区域 D = {x, y)
xy
∑ ∑ ∑
x + y ≤ 1},故
⎰⎰ xdydz + ydzdx + zdxdy = 3⎰⎰ zdxdy = 3⎰⎰ (1-
∑∑∑
x - y )2 dxdy
Dxy 0
= 3⎰⎰ (1- x -y )2 dxdy = 3⎰1 dx⎰ (1-
0
1
t = 1 - x - ⎰ 0 t 4 (1- t )dt =
30
1
x )2
1 1
2 0
『方法技巧』由于积分曲面 ∑ 具有轮换对称性,因此可以将 dydz, dzdx 直
接转换为 dxdy , ∑ 只要投影到 xOy 面即可.
例 7计算曲面积分 ⎰⎰ ( x - y 2 )dydz + ( y - z 2 )dzdx + ( z - x2 )dxdy ,其中 ∑ 为锥
∑
面 z 2 = x 2 + y 2 在 0 ≤ z ≤ h 部分的上侧.
解利用高斯公式. 添加辅助面 ∑ :
z = h ( x 2 + y 2 ≤ h2 ) ,取下侧,则
1
⎰⎰ ( x - y
∑
2
)dydz + ( y - z 2 )dzdx + ( z - x2 )dxdy
=
⎰⎰ ( x - y
2
)dydz + ( y - z 2 )dzdx + ( z - x 2 )dxdy
∑+∑1
8 / 13
-⎰⎰ ( x - y 2 )dydz + ( y - z 2 )dzdx + ( z - x2 )dxdy
∑1
= -⎰⎰⎰ 3dxdydz - ⎰⎰ (h - x2 )dxdy = -3⎰⎰⎰ dxdydz + ⎰⎰ (h - x2 )dxdy
Ω∑1ΩDxy
其中 Ω 为 ∑ 和 ∑ 围成的空间圆锥区域,D 为 ∑ 投影到 xOy 面的区域,即
1xy
(
D = { x, y) x2 + y 2 ≤ h2},由 D 的轮换对称性,有
xyxy
⎰⎰ x2dxdy = 1 ⎰⎰ ( x
2
DxyDxy
2
+ y 2 )dxdy
故⎰⎰ ( x - y 2 )dydz + ( y - z 2 )dzdx + ( z - x2 )dxdy
∑
11
32
DxyDxy
12π
204
『方法技巧』添加辅助面时,既要满足封闭性,又要满足对侧的要求 .本
题由于积分锥面取上侧(内侧),因此添加的平面要取下侧,这样才能保证封闭
曲面取内侧,使用高斯公式转化为三重积分时,前面要添加负号.
2 + y 2 = 1
L⎩ x - y + z = 2
从 z 轴的正向往负向看, L 的方向是顺时针方向.
解应用斯托克斯公式计算. 令 ∑ :
x - y + z = 2 ( x 2 + y 2 ≤ 1)取下侧,∑ 在 xOy
(
面的投影区域为 D = { x, y) x2 + y 2 ≤ 1},则
xy
dydzdzdxdxdy
⎰
Ñ( z - y)dx + ( x - z)dy + ( x - y)dz = ⎰⎰
L
∑
∂
∂x
z - y
∂
∂y
x - z
∂
∂z
x - y
= ⎰⎰ 2dxdy = -2 ⎰⎰ dxdy = -2π
∑Dxy
『方法技巧』 本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线 L 的参数方程代入
要简单,所有应用斯托克斯公式的题目,曲面 ∑ 的选取都是关键, ∑ 既要简单,
又要满足斯托克斯的条件,需要大家多加练习.
二、曲线积分与曲面积分的物理应用
9 / 13
1.曲线积分与曲面积分的物理应用归纳如下 :
(1) 曲线或曲面形物体的质量.
(2) 曲线或曲面的质心(形心).
(3) 曲线或曲面的转动惯量.
(4) 变力沿曲线所作的功.
(5) 矢量场沿有向曲面的通量.
(6) 散度和旋度.
2. 在具体计算时,常用到如下一些结论:
(1)平面曲线形物体M = ⎰ ρ ( x, y)ds
L
空间曲线形物体M = ⎰ ρ ( x, y, z)ds
L
曲面形构件M = ⎰⎰ ρ ( x, y, z)dS
∑
(2) 质心坐标
平面曲线形物体的质心坐标:
x =
⎰ xρ ( x, y)ds
L
y =
⎰ y ρ ( x, y)ds
L
L
L
空间曲线形物体的质心坐标:
x =
⎰ xρ ( x, y, z)ds
L
L
y =
⎰ y ρ ( x, y, z)ds
L
L
⎰ z ρ ( x, y, z )ds
L
L
曲面形物体的质心坐标:
⎰⎰ xρ ( x, y, z)dS
⎰⎰ y ρ ( x, y, z)dS
⎰⎰ z ρ ( x, y, z)dS
x =
∑
y =
∑
z =
∑
∑
∑
∑
L L
xy
L
当密度均匀时,质心也称为形心.
(3) 转动惯量
平面曲线形物体的转动惯量:
I = ⎰ y 2 ρ ( x, y)ds ,I = ⎰ x2 ρ( x, y)ds
xy
空间曲线形物体的转动惯量:
I = ⎰ ( y 2 + z 2 ) ρ ( x, y, z)ds,I = ⎰ ( z 2 + x2 ) ρ( x, y, z)ds
LL
I = ⎰ ( x2 + y 2 ) ρ ( x, y, z)ds
z
10 / 13
曲面形物体的转动惯量:
I
x
(y2 z2 ) (x,y,z)dS , I
y
(z2 x2 ) (x,y,z)dS
I
z
(x2 y2 ) (x,y,z)dS
其中 (x,y)和 (x,y,z)分别为平面物体的密度和空间物体的密度.
(4) 变力沿曲线所作的功
平面上质点在力 FP (x,y) i+ Q (x,y) j 作用下,沿有向曲线弧 L 从 A 点运
动到 B 点, F 所做的功
WP (x,y)dx Q (x,y)dy
AB
空间质点在力 FP (x,y,z) i+ Q (x,y,z) j+ R (x,y,z) k 作用下,沿有向曲线
弧 L 从 A 点运动到 B 点, F 所做的功
WP (x,y,z)dx Q (x,y,z)dy R (x,y,z)dz
AB
(2) 矢量场沿有向曲面的通量
矢量场 AP (x,y,z) i+ Q (x,y,z) j+ R (x,y,z) k 通过有向曲面指定侧的通
量
P (x,y,z)dydz Q (x,y,z)dzdx R (x,y,z)dxdy
(3) 散度和旋度
矢量场 AP (x,y,z) i+ Q (x,y,z) j+ R (x,y,z) k 的散度
div APQR
xyz
矢量场 AP (x,y,z) i+ Q (x,y,z) j+ R (x,y,z) k 的旋度
rotA( RQ
yz
P R Q P
)i ( ) j+ ( )k
z x x y
x
P
i
y
Q
j k
z
R
1. 曲线积分或曲面积分应用题的计算步骤:
11 / 13
(1)根据所求物理量,代入相应的公式中;
(2)计算曲线积分或曲面积分.
ππ
r 222
π
2
解积分曲线 L 如图 11.7 所示. 场力所做的功为
y
W = ⎰
AB
A
P( x, y)dx + Q( x, y)dy
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