解题策略特殊角的妙用12345模型.docx
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解题策略特殊角的妙用12345模型
几何图形中经常会出现一些特殊角,熟悉的有30°、45°、60°等等,特殊角往往伴随着固有属性运用于题目中,也是解题思路来源之一。
比如看到30°角我们会想到
,45°角总是跟等腰直角三角形说不清道不明,60°甚至能牵出一只等边三角形。
关于特殊角,除了用角度表示,诸如15°角的倍数,还可以用三角函数表示,只要最终的结果是:
(1)好看;
(2)好用,就可以将其归为特殊角。
比如tanA=1/2,诚然我并不知道∠A的度数到底是多少,而且∠A也一定不是一个整数度数,但这并不妨碍∠A的特殊性,∠A所对的直角边是邻边的两倍,这与30°角的
并无本质区别。
今天,故事的主角也是一个特殊角,哦不,是一组特殊角。
01从一道北京中考题说起
【2019北京中考第12题】
如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA=___°.(点A、B、P是网格线交点)
解法有很多,这里就根据现有的方格纸来构造一下:
∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°
这里的∠PAB和∠PBA便是今天要说的特殊角,除了它们的和为45°之外,用三角函数的观点来看:
tan∠PAB=1/2,tan∠PBA=1/3
这个正切值可以说很好看了。
02“12345模型”
12345模型
对于这里的数据,为了便于记忆,通常称为“12345”模型。
上文所举的北京中考题已经足够说明这个结论,考虑到使用这个结论的多样性,以下用3种方法给出证明:
法一:
方格纸中的构造
小学的时候我们可能就遇到过这样一个题目:
求∠1+∠2.
考虑∠1和∠2的正切值,这不正是刚刚所说的α和β吗?
构造等角,将α和β组合到一起:
根据这里的等腰直角△ABC,可得∠1+∠2=45°
此外,模型还可变式为:
法二:
勾三股四弦五
如图,AC=4,BC=3,AB=5,这个三角形我们再熟悉不过了。
在这里:
分别延长CB、CA可构造构造
此处我们还可得:
这个也是在解题中常用的结论。
法三:
构造矩形
直角中夹一个45°角也是一种常见的构图。
此处我们还可得:
03慧眼识角
做题从来都不是靠题目告诉我什么,而是结合已知信息,分析这里需要什么
1已知45°+α寻β、已知45°+β寻α
留意题中给的45°角以及由正切值确定的α和β。
【2018湖北中考第9题】
如图,正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点,将△ABG沿AG对折至△AFG,延长GF交DC于点E,则DE长是( )
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
【分析解答】
根据BG是AB的一半,可得tan∠BAG=1/2,
连接AE,易证△AEF≌△AED,
∴tan∠DAE=1/3,∴DE=2,
故此题选C.
【2019盐城中考第16题】
如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B,将直线AB绕点B顺时针旋转45°,交x轴于点C,则直线BC的函数表达式是_______________.
【分析解答】
根据解析式可知:
即可求得C点坐标(3,0),可求得解析式。
【2017浙江丽水第16题】
如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+m分别交x轴、y轴于A、B两点,已知点C(2,0),点P为线段OB的中点,连接PA、PC,若∠CPA=∠ABO,则m的值是__________.
【分析解答】
∠PAO=α,∠APC=45°,∴∠OPC=β,∴OP=6,∴OA=12,m=12.
【2017无锡中考第18题】
在如图的正方形方格纸上,每个小的四边形都是相同的正方形,A、B、C、D都在格点处,AB与CD相交于O,则tan∠BOD的值等于__________.
【分析解答】
取点E如图所示,则∠OAE=α,∠OEA=45°,∠BOD=α+45°,tan∠BOD=3
2发掘潜在的2α、2β
已知有3:
4:
5的直角三角形,其锐角的一半即为所求的α与β,反之,2α、2β也存在着特殊的三角函数值。
【2016甘肃天水第16题】
如图,把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA、OC分别落在x轴、y轴上,连接OB,将纸片OABC沿OB折叠,使点A落在点A’位置,OB为根号5,tan∠BOC=1/2,则点A’的坐标为____________.
【分析解答】
tan∠ABO=tan∠BOC=1/2,∴tan∠ABA’=4/3,
即△A’HB三边之比为3:
4:
5,
再根据BA’=BA=2,
即可求得A坐标.
【2017宜宾中考第7题】
如图,在矩形ABCD中,BC=8,CD=6,将△ABE沿BE折叠,使点A恰好落在对角线BD上F处,则DE的长是( )
A.3 B.24/5 C.5 D.89/16
【分析解答】
考虑tan∠ABD=4/3,tan∠ABE=1/2,
∴AE=3,DE=5.故选C.
3正方形中的角度构造
正方形是中考最常出现的几何图形之一,由于对角线平分对角使得45°成为常客。
【一个小题目】
在正方形ABCD中,边长为6,BE=2AE,连接DE,在AD、BC上分别存在点G、F,连接GF交DE于H点,且∠GHD=45°,求线段FG=_________.
【分析解答】
观察发现tan∠ADE=1/3,且∠GHD=45°,条件已经具备,考虑GF可动,平移GH,将α、β、45°汇于直角处。
可知CF=3,
所以DF长度为3倍根号5.
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