立体几何平行垂直问题专题复习.docx
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立体几何平行垂直问题专题复习
立体几何平行
垂直问题
【基础知识点】
」、平行问题
1.直线与平面平行的判定与性质
定义
判定定理
性质
性质定理
图形
条件
a//a
结论
a//a
b/a
aAa=
a//b
2.面面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图形
条件
all3,a?
3
结论
all3
all3
a//b
alla
平行问题的转化关系:
41*
、垂直问题
、直线与平面垂直
1.直线和平面垂直的定义:
直线I与平面a内的都垂直,就说直线I与平面a
互相垂直.
2.直线与平面垂直的判定定理及推论
文字语言
图形语言
付号语言
判定定理
一条直线与一个平面
内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直
推论
如果在两条平行直线中,有一条垂直于平
面,那么另一条直线也
垂直这个平面
3.直线与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
付号语言
性质定理
垂直于冋一个平面的
两条直线平行
4.直线和平面垂直的常用性质
1
直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线
2垂直于同一个平面的两条直线平彳
3垂直于同一条直线的两平面平彳
二、平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
付号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平
面垂直
2.平面与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
付号语言
性质定理
两个平面垂直,则一个
平面内垂直于交线的
直线垂直于另一个平
面
【典例探究】类型一、平行与垂直
例1、如图,已知三棱锥ABPC中,APPC,ACBC,M为AB中点,D为
DM//平面APC;
PB中点,且△PMB为正三角形。
(I)求证:
(U)求证:
平面ABC平面APC;
(川)若BC4,AB20,求三棱锥D例2.如图,已知三棱柱ABCABC,中,
ACBC2,AA4,AB2.2,M,N分别是棱CC,,AB中点•
(I)求证:
CN平面ABB,A;
(U)求证:
CN//平面AMB,;
(川)求三棱锥B,AMN的体积.
【变式11.如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AAi平面ABC,ABC为等腰直角三角形,BAC90,且ABAA1,D,E,F分别是
点。
(1)求证:
DE//平面ABC;
(2)求证:
B1F平面AEF;
(3)设ABa,求三棱锥DAEF的体积。
二、线面平行与垂直的性质
例3、如图4,在四棱锥PABCD中,平面PAD平面ABCD,
AB〃DC,△PAD是等边三角形,已知BD2AD4,
AB2DC2.5.
(1)求证:
BD平面PAD;
(2)求三棱锥APCD的体
积.
例4、如图,四棱锥P—ABCD中,PD平面ABCD底面ABCD为正方形,BC=PD=2
E为PC的中点,CG^CB.(I)求证:
PCBC;(II)求三棱锥
3
C-DEGW体积;
(III)AD边上是否存在一点M,使得PA//平面MEG若存在,求AM的长;否则,说明理由。
【变式2】直棱柱ABCDABCD底面ABCD是直角梯形,/BAD^ZADG90°,
AB=2AD=2CD=2.
(I)求证:
AC平面BBCQ;(II)A1B上是否存一点P,使得DP与平面BCB
与平面ACB都平行?
证明你的结论
、三视图与折叠问题
例5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图
若F为PD的中点,求证:
AF面PCD;
(1)证明:
BD//面PEC;
(2)求三棱锥EPBC的体积。
例6.已知四边形ABCD是等腰梯形,
1)o现将ADE沿DE折起,使得AE
(I)求证:
平面ADE平面ACD;
(II)试在棱AB上确定一点M,使截面EMC把几何体分成两部分的体积比D
VADCME:
VMECB2:
1;
(III)在点M满足(II)的情况下,判断直线AD是否平行于平面EMC,并
说明理由
【变式3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示,E为PD中点.
(I)求证:
PB//平面AEC(II)求四棱锥CPAB的体积;
(川)若F为侧棱PA上一点,且
圧,贝V为何值时,PA平面BDF.
FA
【变式4】如图1所示,正ABC的边长为2a,CD
是AB边上的高,E,F分别是AC,BC的中点。
现
将ABC沿CD翻折,使翻折后平面ACD平面BCD
(如图2)
(1)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;
(2)求三棱锥C-DEF的体积。
四、立体几何中的最值问题
例7.图4,AiA是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于A,
B的任意一点,AiA=AB=2.
⑴求证:
BC丄平面AAC;
(2)求三棱锥Ai-ABC的体积的最大值.
C图4
AC于点D,现将PDA沿PD翻折至PDA',使平面PDA'平面PBCD.
(1)当棱锥A'PBCD的体积最大时,求PA的长;
(2)若点P为AB的中点,E为AC的中点,求证:
A'BDE.
【变式5】如图3,已知在ABC中,C90,PA平面ABCAEPB于E,AFPC
于F,APAB2,AEF,当变化时,求三棱锥PAEF体积的最大值。
高三文科数学专题复习:
立体几何平行、垂直问题(答案)
【典例探究】
例1解:
(I):
M为AB中点,D为PB中点,
•••MD//AP,又二MD平面APC
•••DM//平面APC
(n):
△PMB为正三角形,且D为PB中点,•••MDPB又由
(1)二知MDAP,二APPB
又已知APPC二AP平面PBC,
•••APBC,又tACBC
因为AC
BC
2,N是AB中点,
所以CN
AB.
因为AAI
AB
A,
所以CN
平面
ABB1A1.
•••BC平面APC,二平面ABC平面PAC,
(m)vAB20,二MB10,aPB10
又BC4,PC..10016,84
2.21
111
--SBDCSpbcPC?
BC—
244
42.21
2.21
1
…VDBCMVMBCD―SBDC?
DM
3
-2.21
3
5乜
10C
例2.(I)证明:
因为三棱柱ABC
A1B1C1中,
AA1
底面ABC
又因为CN平面ABC,所以AACN.
(U)证明:
取AB!
的中点G,连结MG,NG,因为N,G分别是棱AB,AB!
中点,
1
所以NG//BB,,NGBB「
2
又因为CM//BB,,CMBB,,
2
所以CM//NG,CMNG.
所以四边形CNGM是平行四边形.……
分
所以CN//MG.
分
因为CN平面AMB1,GM平面AMB1,
(川)由(U)知GM平面AB1N.
10分
所以Vb,AMNVmABN112
4-24.
13分
322
3
变式1.
(1)根据中点寻找平行线即可;
(2)易证AF
B,F,在根据勾股定理的逆定
所以CN//平面AMB1.
9分
、线面平行与垂直的性质
•AD2BD2AB2
•••ADBD
BD平面PAD.
⑵解:
过P作P。
AD交AD于o.
又平面PAD平面ABCD,PO平面ABCD.
•••△PAD是边长为2的等边三角形,•PO'3
由
(1)知,ADBD,在Rt△ABD中,
h空
斜边AB边上的高为AB5
例4、(I)证明:
PD平面ABCDPDBC又•••ABCD是正方形,二BCLCD
•••PDICE=D二BCL平面PCD
又•••PC面PBC二PCLBC
(II)解:
:
BC丄平面PCD二GC是三棱锥G-DEC的高
TE是PC的中点,SEDC—SEDC—SPDC-(—22)1
2222
(III)连结AC,取AC中点0,连结EOGO延长GC交AD于点M则PA//平面MEG
下面证明之
•••E为PC的中点,O是AC的中点,二EO//平面PA
又EO平面MEG,PA平面MEG,二PA//平面MEG在正方形ABCC中O是AC中点,OCG也OAM
22
AMCG,二所求AM的长为一
33
变式2.证明:
(I)直棱柱ABCDA1B1C1D中,BB丄平面ABCD:
BBLAC
又•••/BAD:
/AD(=90°,AB=2AD=2CD=2,
•••AC=2,/CAB=45°,.・.BC=2,二BC丄AC
又BBGBC=B,BB,BC平面BBCC,:
AC丄平面BBCC.
(II)存在点P,P为A1B1的中点。
1
证明:
由P为A1B1的中点,有PB//AB,且PB=丄AB
2
1
又tDC//AB,DC:
丄AB,二DC//PB,且DC=PB,
2
•••DCEP为平行四边形,从而CB//DP又CB//ACB,DP面ACB,「.DP//面ACB.
同理,DP//面BCB
4
4
例5、
(1)由几何体的三视图可知,底面
PA//EB,PA2EB4.
QPAAD,F为PD中
又QCDDA,CD
(2)取PC的中点
CD
ABCD是边长为4的正方形,PA面ABCD,
PDAF.
AF,AF]面PCD
iI
A
C与BD的交点为N,
MN
-PA,MN//PA,
2
MNEB,MN
//
EB,
故BEMN为平行D边形,
EM//BN,
(3)VepbcVc
BD//面PEC。
1116
pbeg^-gBEgAB)gBC—
323
例6.答案略变式3.解:
(1)棱锥的高为3,设AC
由三视图得,四棱锥底面ABC场菱形,
BDO,则PO即是棱锥
的高,底面边长是2,
连接OE,QE,O分别
是DP,DB的中点,
OE//BP,
QOE面AEC,BP
面AECPB
//面AEC
V三棱锥C-PABV三棱锥P-ABC
§V四棱锥P-ABCD
、.3
(3)过O作OF
PA,在RtVPOA中,PO
3,AO、、3,PA
2、.3AF
Sr
2
PF:
FA3时即
QPOBD,AC
=3时,OFPA,
BD,POACOBD面PAC
12
BDPA,由OF
PA且BDOFOPA面BDF
14
变式4.解:
(1)判断:
AB//平面DEF证明:
因在ABC中,E,F分别是
ACBC的中点,有
EF//AB..5分
又因
AB平面DEF
EF平面DEF
分
C
..6
图
(1)
..2分
A
C
图
(2)
所以
AB〃平面DEF..7分
(2)过点E作EMDC于点M,
面ACD面BCD面ACD面BCD=CD而EM面ACD
EM=1AD爲分
22
故三棱锥C-DEF的体积为
四、立体几何中的最值问题
例7.证明:
TC是底面圆周上异于A,B的任意一点,AB是圆柱底面圆的直径,二BCLAC,
•••AA丄平面ABCBC平面ABC
•••AA丄BC……4分
•••AAGAC=AAA平面AAC,AC平面AAC,
•••BCL平面AAC.……6分
⑵解法1:
设AC=x在Rt△ABC中,
BC=.AB2AC2.4
x2
(0vx<2),
B
C图4
A
故VAt-ABC
=1
=:
SvABCAA1
3
1ACBC
2
AA1
4x2(0 3 即Va^abc =新4 x2 〉x2(4X2) }(x22)24. 11分 ■/0 x2=2,即x=.2时, 三棱锥A-ABC的体积的最大值为-. 3 解法2: 在Rt△ABC中,AC+BC=AB=4, 当且仅当AC=BC时等号成立,此时AC=BC=2. 例8.解: 11x (1)设PAX,则Va-pbcd3PAS底面PDCB3x(21) ‘2小3 令f(x)1x(2勿字沪x0) 2x2 则f(x)3亍 单调递增 极大值 单调递减 由上表易知: 当PAx 守时, 有Va-PBCD取最大值。 证明: (2)作AB得中点F,连接EF、FP 1 由已知得: EF〃BC//PDED//FP 2 APB为等腰直角三角形,ABPF所以ABDE. 变式6.解: 因为PA平面ABC BC平面ABC 所以PABC 又因为BCAC,PAACA, 所以BC平面PAC 又AF平面PAC 所以BCAF, 又AFPC,PCBCC, 所以AF平面PBC即AFEF。 EF是AE在平面PBC上的射影, 因为AEPB, 所以EFPB, 即PE平面AEF 在三棱锥PAEF中, APABA2,EPB, 所以PE 2,AE 因为0 所以02 sin21 因此,当 4时, Vpaef取得最大值为二 6
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- 立体几何 平行 垂直 问题 专题 复习