届高三第一轮数学复习复数doc.docx
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复数
【基础知识】
一.复数的概念
内容
意义
备注
复数的
概念
形如a+仞(aWR»6ER)的数叫复数•共中实部为今虚部为。
若6=0,则a+ln为实数;
若a=0且IV则a・l)\
为纯虚数
复数
相等
a•bi=c+di<=>a=c且b=d
实部与实部、虚部与虚部对
应相等
共辄
复数
ci+bi与c4-d'\共牠
Ua=c且b=_d
(u,b.c、d€R)
实数的共牠复数是它本身
内容
意义
备注
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面•工轴叫实轴•,轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数;除了原点外•虚轴上的点都表示纯虚数•乞象限内的点都表示虚数
复数
设(龙对应的复数为z=a+h\.则向竝的氏度叫做复数N=a+bi的模
的模
Iz\=|a+〃i|=Ju1+G
二、复数的几何意义
1・复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以原点。
为起点的向量组成
的集合也是一对应的,即
(1)
(2)复数z=a+b\(a,bwR)■二ZlAt应*
平面向量
0Z.
复数z=a+b\^对应A复平面内的点Z(a,b)(a,Z?
eR).
2・复数加、减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义:
若复数zi,辺对应的向量0兀近不共线,则复数右+辺是以茗,堰为两邻
边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数.
(2)复数减法的几何意义:
复数z1-z2^OZ1-OZ2=Z2Z,所对应的复数.
三.复数的代数运算
1.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z{=a+bi,z2=c+dl(a,b,c,dwR),则
1加法:
Z]+z?
=(o+/?
i)+(c+di)=(d+c)+(/?
+d)i;
2减法:
Z]_z?
=(a+方i)_(c+di)=(a_c)+(b_〃)i;
③乘法:
Z]•2
r2=(a+bi)・(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
④除法:
三二
Z2
d+bi(a+bi)(c-di)cic+bd+(bc—小
==-=厂亠^(c+diHO).
c+di(c+di)(c-di)c1+d〜
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何N1,G/丘C,有Z|+Z?
=Z2+Z|,(可+Z?
)+Z3=Z|+(Z?
+Z3)・
(3)复数乘法的运算定律
复数的乘法满足交换律、结合律、分配律,即对于任意N1迈ZGC有召・
z1(z2+z3)=z1z2+zIz3.
2・常用结论
.1+i1-i
(1)(1土i)>±2i;IT?
i;市=-・
(2)-b+ai=i(a+bi).
(3)i4w=1,i4n+,=i,严卄2=_i,严卄3=_i(nGnJ.
(4)(〃+j4“+i+f“+2+『卄3nJ・
(5)模的运算性质:
①|z|2=|z|2=z-z;②忖勾日引窗;@|^|
Z2~Z2*Z1XZi*Z2)'Z3=Zr(Z2*Z3)•
IZ|||22I
【知识运用】
考向一复数的有关概念
【答案】
【变式】1.若2=些,贝愎数〒=()
A.—2—iB<—2+iC.2—/D.2+i
【例1】•复数z=匕2(i为虚数单位)的虚部为(
【答案】D【解析】==+z•故选D.
ii
2.已知复数z二(1+i)(・2+引)(i为虚数单位),则z的共觇复数乏=()
A.1+iB.1-i
C.-5+iD.-5-i
【答案】D
【解析】因为z=(l+i)(—2+3i)=(—2—3)+(—2+3)i=—5+i,r.z=-5-i,故选D.
3・i是虚数单位,复数蛙等于()
\-i
A.l+2iB.2+4iC.・1・2iD.2-i
【答案】A
考向二复数的几何意义
【例2】已知复数z满足z"(2-i)(i为虚数单位),则|z|等于
A.2B.V5C.5D.8
【答案】B
【解析】因为z“(2—i)=l+2i,所以忖=7471=75,故选B.
【变式】1复数z=|(V3-zj/|+r°,8(i为虚数单位),则忖=()
A.2B.V3C.1D.V2
【答案】C【解析】z=|l+V3i|+i2016+2=2+i3=2-1=1
考点三象限问题
【例3】复数厶一严7在复平面内对应的点在
14-Z
A.
1-/•_13.
(l+z)(l-/)_Z-2~2Z
第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
倭数1:
厂
-严17在复平面内对应的点在第四象限故选D.
【变式】1、
若复数Z满足z(-l+2i)=|l+3汗(i为虚数单位),则复数Z的共觇复数〒为()
【答案】D【解析】•••复数右4
A.-2-4iB.-2+4/C.4+2/D.4-2i
【答案】B【解析】由z(-1+2归1+3讦,得z=黑=(_鳥):
〕2旷=亠组,
则复数Z的共觇复数〒为-2+4i.故选:
B.
2•在复平面内,复数可和Z2对应的点分别是A(2,l)和B(O,l),则三=()
Z2
A.—1—2/B.—l+2iC.1—2zD.l+2i
70-i-/
【答案】c【解析】由复数召和Z2对应的点分别是A(2,l)和B(O,1)得:
Z严2+i,S=i,故4=—=1-2/,-z2I
故选C.
3・若复数z满足z(2-z)=l+7z,则z=()
A.a/5B.V10C.2V2D.2
【答案】B[解析】"穿冑嚮十R
考点四数的分类
【答案】c【解析】A.z(1+/)2=/(2z)=-2;B、
上心=-=-2;所以纯虚数的是C。
故选C。
ii
2+4/
關已知,是虚数单位,吐百廐的共嗨n在复平面内对应的点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】A【解析】“帚-寻二字二警U一加=2+,,所期应点在第-象限
故选A
2・已知Z是纯虚数,若(G+i)・Z二引—1,则实数0的值为()
A.1B.3C.-1D.-3
【答案】B【解析】由题意,设z=bi,beR/.(tz+z)-bi=3z-l,即abi-b=3z-l,
b=1•••{c,••・Q=3故选:
B
ab=3
B.1-i
C•-1+i
D.-1-i
【答案】D
ric-1(l+i)‘(l+i)~l+i~+2i•站汪c
【解析】才一^=才*(1+1)J/・(l+i)=_l_i,故选D.
(1一1)「(1一1)「l+r-2i
【变式】1复数z=-4t(i是虚数单位)的共觇复数乏=()
2+r
A.2-iB.2+iC.-2-iD.-2+i
【答案】A【解析】由题可得:
z=-^-=2+z^z=2-z
2-i
【课堂练习】
1.若复数z满足(2-i)z=if其中i为虚数单位,则三=
12
【答案】-i-±z
2.已知复数z=严,其中,是虚数单位,则z的实部是
1-1
3.复数z=(1+20(3—0,其中i为虚数单位,则z的虚部为
【答案】5
【解析】因为z=(l+2/)(3-z)=5+5z-,所以z的虚部为5.
4•已知理*「为虚数单位‘若它为纯虚数‘则。
的值为——
2-i
§•已知'为虚数单位’则ITT——
2_J(2_i)(l_i)二l_3i
7+7-(l+z)(I-z)
6.若复数z满足®4i)z二4+犬则z|二
A.3-4i
B.-3+4i
【答案】1
【强化练习】
1•已知i为虚数单位,则复数上
1
2.已知复数z=i(4-3i2017),则复数z的共觇复数为
C・4—3iD.-4-3i
3.复平面内,复数(1+的0'对应的点位于
A・第一象限B•第二象限
C.第三象限D.第四象限
4.已知复数z=土艺,则复数z的虚部为
4+71
65
47
65
47.
——1
65
A.第一象限
C.第三象限
6・下列命题中为真命题的是
A•实数不是复数
C.1+V3i不是纯虚数
B•第二象限
D.第四象限
B.3+i的共觇复数是-3-i
D.zz=z
5.如果复数z=sin&+icos&在复平面内对应的点位于第四象限,那么角&所在的象限是
7.已知z=/_i+(加2_3〃+2)i(応R,i为虚数单位),则"m=-V是"z为纯虚数"的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8.若复数罕2
1-1
(i为虚数单位)为实数,则实数加等于
D•-2
C•-1
9•若i为虚数单位,z=,则|z|二
1+1
A.4
10•设为实数,若复数上呂=l+i,则
A•a=—,h=—
22
13
C.a=—,b=—D.a=l,b=3
22
a2-i
口・已知复数Z=o.+/的实部与虚部的和为2,则实数a的值为
2-15
C.2D.3
12•若复数Z|,Z2在复平面内的对应点关于实轴对称,召=2-i,则Z|3二
A.一5B.5
D.-4-i
13.已知i为虚数单位,则下列各式计算错误的是
A.i2017
1+i
=-i
1-i
14.若原命题为:
〃若%Z2为共觇复数,则Z|=zj,则该命题的逆命题.否命题、逆否命题真假性的判断依次
A真真真
C•假假真
D.假假假
aex
①妙=1;②万=1;③万";
④刃+0'=2.
/有下列四个结论:
15•对于两个复数
其中正确的结论的个数为
16•
3-4i
5i
17•已知i为虚数单位,复数z=上却,则复数z的实部是・
1-1
1X
18•设xwR,i为虚数单位,且.+,gR,^ix=.
1+i1-i
19.若复数z严G+2i4=2+i(i是虚数单位),且卒2为纯虚数,则实数Q二.
■
20.已知复数z=(兀R)」是虚数单位,在复平面上对应的点在第四象限,则实数。
的取值范围是
【高考真题】
1.(2017年高考新课标I卷)下列各式的运算结果为纯虚数的是
A.i(l+i)2B.i2(l-i)
C・(1+i)2D.i(l+i)
2.(2017年高考新课标II卷)(1+i)(2+i)=
A.1-iB.l+3i
C.3+iD.3+3i
3•复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于
A・第一象限B・第二象限
C.第三象限D.第四象限
4.(2017年高考北京卷)若复数(l-i)(d+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数刁的取值范围是
C.(1z+oo)D.(-1f+oo)
5.(2016年高考新课标I卷)igd+2i)(6/+i)的实部与虚部相等,其中日为实数,则b二
A.-3B.-2
C.2D.3
6.(2016年高考新课标II卷)设复数z满足z+i=3-i,则:
二
A.一l+2iB.l-2i
C.3+2iD.3-2i
7.(2017年高考山东卷)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则才二
A.-2iB.2i
C・-2
8.(2017年高考江苏卷)已知复数"(1+i)d+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.
9・(2017年高考浙江卷)已知a,bER,d+biF=3+4i(i是虚数单位)则/+b=,ab=.
•..ci—\
10•(2017年高考天津卷)已知兀R,i为虚数单位,若厂为实数,则d的值为
2+1
【强化练习参考答案】
■
1
=(1+1)^=-1+1=_.+1,故选b
—1
=2_2i二(2_2i)(l_i)=_4i
•l+i-(l+i)(l-i)~^2
z=2r故选C.
ai2-i_o(2+i)(2-i_(2d+2)((a-l)i
I—I—I
2a+2d—1
1
55
B.
5「复数z=sin&+icos0在复平面内对应的点P(sin&,cos&)位于第四象限「J:
;:
》,二角&所在的象限
是第二象限.故选B.
【解析】逐一考查所给的选项:
对于选项A,实数是复数,原说法错误;
对于迭项B,3+i的共觇复数罡3-i,原说法错误;对于选项C,1+J5i不罡纯虚数,原说法正确;对于选项D,zT^z2,原谢去错误.
故选C.
7・当加=一1时,z=(-l)2-l+l(-l)2-3x(-l)+2Ji=&是纯虚数…••充分脱立,当
{加2—1=0
/解得加=-1,・・・必要14成立,・••加=一1是Z为纯虚
加2—3加+2工0
数的充分必要条件,故选C.
11.=+——+——=-—
2-i5555
12・.•复数21,辺在复平面内的对应点关于实轴对称,Z|=2-i,.-.z2=2+i,则召•Z2=(2-i)(2+i)=2?
+卩=5.本题选择B选项.
13.【解析】i20,7=i504x4+1=i,(i+l)i=—1+i,M=£+?
£+?
=刍日,2+i=V47T=V5,l-i(l-i)(l+i)2
故选C.
14•【答案】C
15•【答案】
(1Q
3
1
3
1宀
<1)
—d1
+
1
=2
——+3x
——1
22丿
~2~
2
8
12丿
\/
/
、/
\/
=2,所以正确的结论的个数为3,选
【解析】a/3=[-丄+晅iY-
22
a3+0'
0…丽
4
C.
17•-1
19.因为z】Z2=(d+2i)(2+i)二(2a—2)+(4+a)i,其为纯虚数,所以2a-2=0t解得“1.故答案为1.
20.【答案】(0,+oo)
因为Z=
=—(d+i)i=l—历,所以由题意得—av0»>0,故应填(0,+oo).
【高考真题】
1.c【解析】由(i+i)2=2i为纯虚数知选C・
2.B由题意(l+i)(2+i)=2+3i+『=l+3i,故选B.
3.cz=i(-2+i)=-1-2i”则表示复数z=i(-2+i)的点位于第三象限.所以选C.
5.(1+万)(a+i)=d—2+(1+2d)it由已知)得a—2=1+2a)解得a=—3,选A.
6・由z+i=3—i得z=3—2i,所以:
=3+2i,故选C・
7.由zi=l+i得⑵)2=(l+i)2,即一z2=2i,所以z2=-2i,故选A.
8.価|z|=|(l+i)(l+2i)|=卩+i||l+2i|二血x亦二你,故答案为・
9.5,2
丄C
5i为实数,则±—=0,。
=一2.
呻门Q—i(q—i)(2—i)(2a—1)—(a+2)i2a—1a+2io=
•2+i(2+i)(2-i)
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