解析数学中考史上十大难题.docx
- 文档编号:28119518
- 上传时间:2023-07-08
- 格式:DOCX
- 页数:19
- 大小:334.13KB
解析数学中考史上十大难题.docx
《解析数学中考史上十大难题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《解析数学中考史上十大难题.docx(19页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
解析数学中考史上十大难题
解析数学中考史上十大难题
原题:
25.已知△ABC,分别以AB、BC、CA为边向外作等边△ABD、等边△BCE、等边△ACF。
(1)如图1,当△ABC是等边三角形时,请你写出满足图中条件,四个成立的结论;
(2)如图2,当△ABC中只有∠ACB=60°时,请你证明S△ABC与S△ABD的和等于S△BCE与S△ACF的和。
题目简要分析:
这道题目之所以才位例第10为完全是因为第一问太简单了。
对于第二问在我们平时教学过程中很少遇见面积等的问题,尤其是面对这种面积和等的问题,不仅缺少一些直接的定理去支持这些结论,且缺少一些必要的手段和方法去证明,平时练习也相对少一些,故本题第二问得分率很低。
关于第二问本文提供3种解法,仅供参考。
解法一:
解题思路:
观察AF∥BC,在△ABC中利用平行四边形构造一个三角形面积等于S△ACF,证明余下部分面积等于S△BCE即可(很容易能观察出△DAM≌△BAC≌△EMC,剩余部分DBEM是平行四边形,对角线平分面积)
解:
(1)AB=CE,AC=BE,AF=BE,S△ABC=S△ABD等等
(2)过A作AM∥FC交BC于M,连结DM、EM。
∵∠ACB=60°,∠CAF=60°,
∴∠ACB=∠CAF
∴AF∥MC
∴四边形AMCF是平行四边形.
又∵FA=FC,
∴四边形AMCF是菱形.
∴AC=CM=AM,且∠MAC=60°,且S△MAC=S△ACF
在△BAC与△EMC中,
CA=CM,∠ACB=∠MCE,CB=CE,
∴△BAC≌△EMC.
∴AB=ME
又∵AB=DB
∴DB=ME
又∵∠DAM=∠DAB+∠BAM,∠BAC=∠CAM+∠BAM且∠DAB=∠CAM=60°
∴∠DAM=∠BAC,
在△DAM与△BAC中,
AD=AB,∠DAM=∠BAC,AM=AC
∴△DAM≌△BAC
∴DM=BC
又∵BC=BE
∴DM=BE
∴四边形DBEM是平行四边形
∴S△BDM=S△BEM
由上所述∴△DAM≌△EMC
∴S△DAM=S△EMC
∴S△BDM+S△DAM+S△MAC=S△BEM+S△EMC+S△ACF
即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF
所用知识点:
图形的分割能力,平行四边形面积,旋转,全等
本题需要有类比的思想,面积和等于面积和,证明方法可类似于线段和等于线段和。
可先证明部分相等,再证明剩余部分相等。
解法二:
解题思路:
观察AF∥BC,AC∥BE利用平行线间等积去转换S△ACF.和S△BCE转换后能够发现较明显的图形旋转。
连结BF,DC,AE
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC,
∠BAF=∠CAF+∠BAC,且∠DAB=∠CAF=60°
∴∠DAC=∠BAF
在△DAC与△BAF中
AD=AB,∠DAC=∠BAF,AC=AF
∴△DAC≌△BAF
∴S△DAC=S△BAF
又∵∠ACB=60°,∠CAF=60°,
∴∠ACB=∠CAF
∴AF∥BC
∴S△BAF=S△ACF
∴S△DAC=S△ACF
同理可证:
S△DBC=S△CBE
∵∠DBC=∠DBA+∠ABC,
∠EBA=∠CBE+∠ABC,且∠DBA=∠CBE=60°
∴∠DBC=∠EBA
在△DBC与△ABE中
BD=AB,∠DBC=∠EBA,BC=BE
∴△DBC≌△ABE
∴S△DBC=S△ABE
又∵∠ACB=60°,∠CBE=60°,
∴∠ACB=∠CBE
∴AC∥BE
∴S△ABE=S△CBE
∴S△DBC=S△CBE
∴S△DAC+S△DBC=S△ACF+S△CBE
即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF
所用知识点:
图形的分割能力,旋转,全等,平行线间三角形等积转换
请注意:
平行线间三角形等积转换是分割图形很重要的思想
解法三:
解题思路:
由结论可知分别是4个三角形面积和,设两边AC、BC长度,利用夹角是特殊角可算出第三边AB长度,利用都是等边三角形,用边长强行表示出各三角形面积,余下就是代数整理过程。
解:
过点A作AG⊥BC交BC于点G,过点C作CH⊥AF交于点H,设在△ABC中,BC=a,AC=b,
所用知识点:
三角函数计算,三角形面积计算(尤其是对等边三角形面积结论要很熟悉哦),建议各位同学能记忆等边三角形面积计算公式S=a2(a为边长,在选择和填空题方面可直接应用,比较方面)
由本题我们可以联想到:
2005年本题出现后,旋转一个古老的专题又再一次在以后的考试中活跃起来,关于面积转换和分割在近几年考试和练习中也越来越多。
现针对于旋转和面积转换分割问题列举出一些常规试题。
(一)旋转
1.2009年石景山区数学二模第25题
如图①,四边形ABCD中,AB=CB,∠ABC=60°,∠ADC=120°,请你猜想线段DA、DC之和与线段BD的数量关系,并证明你的结论;
(2)如图②,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,若点P为四边形ABCD内一点,且∠APD=120°,请你猜想线段PA、PD、PC之和与线段BD的数量关系,并证明你的结论。
解题思路:
第一问是一个典型的截长补短或者旋转的题目。
连接AC就能构造等边三角形,就能旋转。
第二问,多条线段关系,一定先利用各种条件尽量转化为三条线段,再求解。
发现第二问条件类似于第一问,关键条件120°位置转变,可以利用第一问结论去构造图形,转换PA+PD为一条线段。
解:
(1)如图①,延长CD至E,使DE=DA.连结AC,
∵∠ADC=120°
∴∠ADE=60°
∴△EAD是等边三角形.
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD
∠CAE=∠DAE+∠CAD
∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAD=∠CAE
∴在△BAD和△CAE中
BA=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE.
∴BD=CE=DE+CD=AD+CD
(2)如图②,在四边形ABCD外侧作正三角形AB'D,连结B'C,AC
∵四边形AB'DP符合
(1)中条件,
∴B'P=AP+PD
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD
∠CAB'=∠DAB'+∠CAD
∠BAC=∠DAB'=60°
∴∠BAD=∠CAB'
在△ADB和△AB'C中
AB=AC,∠BAD=∠CAB',AD=AB'
△ADB≌△AB'C
B'C=DB
(i)若满足题中条件的点P在B'C上,
则B'C=PB'+PC.
∴B'C=AP+PD+PC
∴BD=PA+PD+PC
(ii)若满足题中条件的点P不在B'C上,
∵B'C<PB+PC
∴B'C<AP+PD+PC
∴BD<PA+PD+PC
综上,BD≤PA+PD+PC。
所用知识点:
旋转,截长补短,构造前一问图形,三角形三边关系,全等。
请注意:
在几何问题中第二问常常用到第一问的结论。
要善于去构造第一问的图形或结论去帮助解决较难的第二问。
2.如图1,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别EB,CD的中点,易证:
CD=BE,△AMN是等边三角形。
(1)当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时,CD=BE是否仍然成立?
若成立请证明,若不成立请说明理由;
(2)当△ADE绕A点旋转到图3的位置时,△AMN是否还是等边三角形?
若是,请给出证明,并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比;若不是,请说明理由。
解题思路:
本题是典型的旋转题目,条件中有较多等边三角形,伴随等边三角形的旋转,图中各点连线构成的三角形也在旋转,通过全等后,注意利用全等结论“边等”和“角等”的转换,本题应该可以轻松破解。
所用知识点:
旋转,勾股定理,相似比与面积比关系
请注意:
全等后的结论一定要多利用,多与之前已有的条件相结合,尤其是角,这样方面我们去导角,从而进行下一次的转换
3.如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
(1)求证:
CE=CF;
(2)在图1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?
为什么?
(3)运用
(1)
(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,求DE的长.
解题思路:
(1)典型SAS全等
(2)利用第一问结论,转化条件后,再用一次全等
(3)利用
(1)
(2)中结论,构造图1,利用线段长度放在RT△中计算
所用知识点:
旋转,勾股定理
本题相对前两题较简单,但是前两题中所用到的,“多利用前面问题的结论,多构造前面问题图形”“全等后的结论的利用,与已知条件相结合”在这道题目中都有所展现。
(二)平行线间等积转化
如图ABCD为平行四边形,EF平行AC,如果△ADE的面积为4平方厘米,求△CDF的面积。
解题思路:
明显△ADE与△CDF不全等,故不考虑全等证明。
图中有多组平行线,可以构造平行线间三角形等积转化
提示:
S△ADE=S△AEC=S△AFC=S△DFC=4平方厘米
(解法二:
分别以AE,DC为底强行构造出S△ADE和S△DFC的表达式,利用相似去计算表达式相等,同学们可自行完成)
(三)操作能力平分面积
(1)(08年西城一模)如图:
梯形纸片ABCD,AD∥BC,,设AD=a,BC=b
请你设计两种方法,只需用剪刀剪一次就将梯形纸片ABCD分割成面积相等的两部分,画出设计的图形并简要说明理由。
解题思路:
①直接构造梯形面积一半S=1/4(a+b)h,利用高h不变,构造底=1/2(a+b)的三角形;
②将梯形转化为面积相等的平行四边形,利用过平行四边形对称中心的直线平分平行四边形面积,从而平分梯形面积。
解:
方法一:
如图①,取BM=(a+b)/2,连接AM.AM把梯形纸片ABCD分成面积相等的两部分.
方法二(如图②):
1.取DC的中点G,过G作EF∥AB,交BC于点F,交AD的延长线于点E.
2.连接AF,BE,相交于点O.
3.过O任作直线MN,分别与AD,BC相交于点N、M,沿MN剪一刀即把梯形纸片ABCD分成面积相等的两部分.
(2).已知四边形ABCD,在AD上求一点P,使BP平分四边形ABCD的面积(四边形ABCD是任意的)
解题思路:
因为在AD上找一点,可以将四边形ABCD转化为面积以AD所在直线为底的面积相等的三角形,通过中线平分三角形面积,从而平分四边形面积。
解:
如图
1).连结BD,过C作CE∥BD交AD的延长线于E
2).连结BE,则四边形ABCD的面积等于三角形ABE的面积
3).取AE的中点P,连结BP即可。
(中线平分三角形的面积)
后语:
1.关于旋转问题,永远是初三考试中常考问题,在这类问题中常有很明显的条件出现,比如等腰三角形,等边三角形,正方形等等,需要同学做题时常观察,要心细。
这类题目的解法相对较单一,只要能观察出旋转后续全等转换等应该不是难事。
2.纵观现今的中考真题或各区初三期末考试或者是一二模考试,对面积的问题考察的越来越频繁,考察的方向越来越多样化,题目出得越来越“活”,需要自己动手操作的题目越来越多。
这类题目常常需要注意整体面积不变去构造边长或图形的旋转,翻折等,还要善于构造平行线,利用等积去转换问题。
3.再难的题目不管是处于22、23、24或25题,请注意这些题目的第一问或者前两问往往都比较简单或者难度一般,但是这些问题里面往往提示或者暗示了后续问题的一个思考方向。
要学会善于利用他们去解决问题。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 解析 数学 中考 史上十大 难题