湖南省衡阳市届高三三校联考.docx
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湖南省衡阳市届高三三校联考
湖南省衡阳市2022届高三三校12月联考
数学试卷(理)
衡南县一中衡阳县一中衡阳市一中编审李晓平
时量:
120分钟满分:
150分
一.选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列有关命题的说法正确的是()
A.命题“若
,则”的否命题为:
“若
,则”
B.“
”是“
”的必要不充分条件
C.命题“
,使得
”的否定是:
“
,均有
”
D.命题“若
,则
”的逆否命题为真命题
2.在等差数列中,已知
,那么()
;;;
3.若
(为实常数)在区间
上的最小值为-4,
则a的值为
(A)4(B)-3
(C)-4(D)-6
4.设变量满足约束条件
,则
的最大值是()
A.1B.
C.
D.2
5.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,设向量
若
,C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是(A)
6.已知函数
的图像如图所示,那么()
A.
B.
C.
D.
7.定义:
区间
的长度等于
.函数
的定义域为
值域为.若区间
的长度的最小值为
则实数的值为()
A.
B.2C.
D.4
8.已知函数f(x)=
在[1,+∞]上为减函数,则a的取值范围是()
A.
B.
C.D.
二.填空题:
本大题共7小题,每小题5分,共35分
9.设函数
的部分图象如右图所示,则f(x)的表达式。
10.若关于的不等式
的解集恰好是,则
_______.
11.已知函数
在x=-1时有极值0,则m+n=--------------.
12.已知
的周长为6,三边长
构成等差数列,则
的取值范围为__________.
13.已知向量
,其中为坐标原点,若任意实数,使得
成立,则实数的取值范围是__________.
14.已知集合
,函数
的定义域为Q.
(I)若
,则实数a的值为;
(II)若
,则实数a的取值范围为.
15.电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC,AB=6,AC=7,BC=8,如果跳蚤开始时在BC边的点P0处,BP0=2.跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1(第1次落点)处,
且CP1=CP0;第二步从P1跳到AB边的P2(第2次落点)处,且AP2=AP1;
第三步从P2跳到BC边的P3(第3次落点)处,且BP3=BP2;
跳蚤按上述规则一直跳下去,第n次落点为Pn(n为正整数),
则点P2022与P2022间的距离为.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)在
中,已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量
,
,且
。
(I)求锐角B的大小;
(II)如果,求
的面积的最大值。
17.已知集合是由满足下列性质的函数的全体所组成的集合:
在定义域内存在,使得
成立。
(1)指出函数
是否属于,并说明理由;
(2)设函数
属于,求实数的取值范围。
18.某种出口产品的关税税率t,市场价格x(单位:
千元)与市场供应量p(单位:
万件)之间近似满足关系式:
,其中k,b均为常数。
当关税税率为75﹪时,若市场价格为5千元,则市场供应量均为1万元;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件。
(1)试确定k、b的值;
(2)市场需求量q(单位:
万件)与市场价格x近似满足关系式:
q==q时,市场价格称为市场平衡价格。
当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值。
19.已知二次函数
有最大值,且最大值为正实数,集合
,集合
(1)求集合A和B;
(2)定义:
“
”设
均为整数,且
。
记
为取自集合
的概率,
为取集合
的概率。
已知
。
记满足上述条件的所有的值从小到大排列构成的数列为,所有的值从小到大排列构成数列。
①求
和
;
②请写出数列和的通项公式(不必证明);
③如果在函数中,
,记的最大值为,
,
,求证:
.
20.已知函数
设
.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(II)是否存在实数m,使得函数
的图像与函数
的图像恰有四个不同的交点?
若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由。
21.已知函数
的图象按向量
平移后便得到函数的图象,数列满足
(n≥2,nÎN*).
(Ⅰ)若
,数列满足
,求证:
数列是等差数列;
(Ⅱ)若
,数列中是否存在最大项与最小项,若存在,求出最大项与最小项,若不存在,说明理由;
(Ⅲ)若
,试证明:
.
三校联考数学(理)试卷答案
一:
选择题
3.C4.B5.A6.B7.D
二:
填空题
9、
10。
411。
1112。
[2,3)13。
14.
;
15。
3
三:
解答题
16.
(1)解:
m∥nÞ2sinB(2cos2B2-1)=-cos2B
Þ2sinBcosB=-cos2BÞtan2B=-……4分
∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3……6分
(2)由tan2B=-ÞB=π3或5π6————————7分
①当B=π3时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)……9分
∵△ABC的面积S△ABC=12acsinB=34ac≤
∴△ABC的面积最大值为……10分
②当B=5π6时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a2+c2+ac≥2ac+ac=(2+)ac(当且仅当a=c=-时等号成立)
∴ac≤4(2-)……11分
∵△ABC的面积S△ABC=12acsinB=14ac≤2-
∴△ABC的面积最大值为2-……12分
17.解:
:
(1)若
属于,则存在
,使得
,
则
因为方程
无解,所以
不属于。
。
。
。
。
。
。
5分
(2)由
属于知,有
有解,
即
有解;。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
8分
当时,
;。
。
。
。
。
。
。
。
。
9分
当时,由
,得
,得
,。
。
。
11分
所以
。
。
。
。
。
。
。
。
12分
18.解:
(1)由已知,
解得b=5,k=1。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
5分
(2)当p=q时,
。
。
。
。
。
。
。
。
6分
。
。
。
。
。
。
。
9分
而
在上单调递减
∴当x=4时,f(x)有最大值
。
。
。
11分,此时t=5
故当x=4时,关税税率的最大值为500﹪……12分
19.解:
(1)∵f(t)有最大值,∴a<0.
由
得b>1,…………2分
故
…分………4
(2)①因为
,所以考虑一下情形:
当A中有3个整数时,A-B中有2个,
中有1个,则a=-4,b=2;
当A中有6个整数时,A-B中有4个,
中有2个,则a=-7,b=3;
当A中有9个整数时,A-B中有6个,
中有3个,则a=-10,b=4;
故a1=-4,a2=-7,a3=-10;b1=2,b2=3,b3=4............7分
②an=-3n-1,bn=n+1............9分
③
...13分
20.解:
(I)
,
…….2分
∵,由
,∴
在
上单调递增。
由
,∴
在
上单调递减.
∴
的单调递减区间为
,单调递增区间为
。
…..5分
(II)若
的图象与
的图象恰有四个不同得交点,即
有四个不同的根,亦即
有四个不同的根。
……….7分
令
,
则
……..9分
当x变化时,
、
的变化情况如下表:
x
的符号
+
-
+
-
的单调性
由表格知:
,
….11分
画出草图和验证
可知,当
时,
与
恰有四个不同的交点。
∴当
时,
的图象与
的图象恰有四个不同的交点。
…….13分
21.解:
,则
(n≥2,nÎN*).
(Ⅰ)
,
,∴
(n≥2,nÎN*).∴数列是等差数列.………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,数列是等差数列,首项
,公差为1,则其通项公式
,
由
得
,故
.……6分
构造函数
,则
.函数
在区间
,
上为减函数.
∴当
时,
,且在
上递减,故当时,取最小值
;当
时,
,且在
上递减,故当时,取最大值
.故存在.…………8分
(Ⅲ)先用数学归纳法证明
,再证明
.
①当n=1时,
成立,
②假设n=k时命题成立,即
,
则当n=k+1时,
,
,则
,故当n=k+1时也成立.
综合①②有,命题对任意nÎN*时成立,即
.…….11分
下证
.
∵
,∴
.
综上所述:
…13分
内容总结
(1)10.若关于的不等式的解集恰好是,则_______.
11.已知函数在x=-1时有极值0,则m+n=--------------.
12.已知的周长为6,三边长构成等差数列,则的取值范围为__________.
13.已知向量,其中为坐标原点,若任意实数,使得成立,则实数的取值范围是__________.
14.已知集合,函数的定义域为Q.
(I)若,则实数a的值为
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